Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Неявно заданная функция Если функция задана уравнением у=f(х), разрешенным относительно у , то функция задана в явном виде ( явная функция). Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0,не разрешенного относительно у. Всякую явно заданную функцию у=f(х) можно записать как неявно заданную уравнением f(х)-у=0, но не наоборот. Не всегда легко ,а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например у+2х+cosy-1=0 или 2у-х+у=0). Если функция задана неявно , то для нахождения производной от у по х нет необходимости рахрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по х,рассматривая при этом у как функцию х ,и полученное затем уравнение разрешить относительно y . Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у. Пример: Найти производную функции у, заданную уравнением x3 y 3 3xy 0 Решение : Функция у задана неявно . Дифференцируем по х x3 y 3 3xy 0 равенство Из полученного соотношения : 3x 2 3 y 2 y 3(1 y x y) 0 y 2 y xy y x 2 y yx y2 x 2 Функция ,заданная параметрически Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений x x (t ) (1) y y (t ) Где t- вспомогательная переменная ,называемая параметром. Функцию у=f(х), определяюмую параметрическими уравнениями(1) , можно рассматривать как сложную функцию у=у(t), где t ( x) . По правилу дифференцирования сложной функции имеем: 1 . Где yx yt t x Получаем: t x xt 1 yt yx yt , т.е. yx xt xt Полученная формула позволяет находить производную yx От функции заданной параметрически , не находя непосредственной зависимости у от х. Пример: Пусть x t 3 Найти yx . 2 y t 2t 2 Решение: Имеем xt 3t , yt 2t. Следовательно, yx 2 , 3t 2 т.е. yx 3t В этом можно убедиться,найдя непосредственно зависимость у от х. 2 2 y 3 Действительно, t 3 x. Тогда y x . Отсюда x 3t , Т.е. 2 yx 3t Логарифмическое дифференцирование В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать.А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием . 2 ( x 2) 4 ( x 1)3 e x Пример: Найти производную функции y ( x 5)3 3 Решение:Можно найти lnyy ln( x с2) помощью правил и формул 4 дифференцирования.Однако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию: ln y ln( x 2 2) 3 ln( x 1) x 3ln( x 5) 4 Дифференцируем это равенство по х: 2 1 1 3 1 1 y 2 2x 1 3 y x 2 4 x 1 x5 Выражаем Т.е y : 2x 3 3 y y 2 1 x5 x 2 4( x 1) ( x 2 2) 4 ( x 1)3 e x 2 x 3 3 y 2 1 3 ( x 5) x5 x 2 4( x 1) Существуют функции ,производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием.К их числу относится так называемая степенно-показательная функция y u v . Где u=u(x) и v=v(x) –заданные дифференцируемые функции от х.Найдем производную этой функции: Логарифмируем : ln y v ln u Дифференцируем: 1 1 y y v ln u v u u 1 y y v ln u v u u 1 v y u v ln u u u u Выражаем y : Т.е.: Или (*) v v v 1 u u ln u v v u u Правило :Производная степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции , при условии u=соnst,и производной степенной функции,при условии v=const/ Пример: Найти производную функции Логарифмируем: ln y ln(sin 2 x) x2 1 y sin 2 x x2 1 ln y ( x 1)lnsin 2 x 2 Дифференцируем: 1 y 2 2 y ( x 1) lnsin 2 x ( x 1)(lnsin 2 x) 1 1 2 y 2 x lnsin 2 x ( x 1) cos2 x 2 y sin 2 x cos 2 x 2 y y (2 x ln sin 2 x ( x 1) ) sin 2 x 2 Подставляем в полученное равенство y (sin 2 x) x 2 1 Получим: y (sin 2 x) x2 1 lnsin 2 x 2 x ( x 1)(sin 2 x) cos2 x 2 2