Лекция №1 Одномерное движение сжимаемого невязкого газа

Лекция №1
Одномерное движение сжимаемого невязкого газа
1.1. Уравнение Бернулли для адиабатического движения сжимаемого газа
При движении газов с малыми скоростями (менее 70 м/с) присущее им
свойство сжимаемости проявляется слабо, и во многих случаях с
достаточной для практических целей точностью движущийся газ можно
рассматривать как несжимаемую жидкость.
Скорости движения газа в автомобильных двигателях могут
превышать 100 м/с и в выхлопном коллекторе достигать скорости звука.
При появлении детонации в двигателе скорость распространения
ударной волны больше скорости звука.
При больших скоростях влияние сжимаемости может быть настолько
существенным, что законы движения несжимаемой жидкости
оказываются неприменимыми.
Уравнение Бернулли для адиабатического движения сжимаемого газа
При этом плотность газа становится переменной величиной, и
процесс чаще всего сопровождается изменением температуры или
теплообменом. В связи с этим для описания его движения наряду с
уравнениями механики необходимо использовать уравнения
термодинамики.
Изучением законов движения газа с большими скоростями занимается
газовая динамика.
Ограничимся рассмотрением одномерных течений идеального газа,
подчиняющегося уравнению состояния,
p

 RT
,
где R – газовая постоянная, зависящая только от рода газа,
Дж/(кгК); T – абсолютная температура, К; p – абсолютное давление,
Па; p – плотность газа, кг/ м 3 .
Уравнение Бернулли для адиабатического движения сжимаемого газа
Газовая постоянная связана с удельными массовыми теплоемкостями
газа при постоянном давлении и при постоянном объеме зависимостью
c p  cv  R
Основной динамической характеристикой среды является плотность
среды, которая изменяется в пространстве и во времени. Однако
эта функциональная связь не является непосредственной, так как
плотность газов определяется фактически значениями
термодинамических параметров состояния (P и T ), которые при
движении газа зависят от координат и времени .
Уравнение Бернулли для адиабатического движения сжимаемого газа
Заметные отклонения свойств реальных газов от свойств идеальных
газов наблюдаются при низких температурах и высоких давлениях
(вблизи точки сжижения), а также при высоких температурах, когда
происходит диссоциация молекул.
Поэтому предполагаем, что изменение состояния газа происходит по
адиабате в связи с тем, что при течении газов с достаточно большими
скоростями через относительно короткие проточные части машин
теплообмен между газовыми частицами не успевает осуществиться.
Учитывая все вышесказанное и пренебрегая влиянием силы тяжести
интеграл Бернулли примет вид
V2
P
 const
2
Где P   dp

(1)
– функция давления; V– скорость движения газа.
Уравнение Бернулли для адиабатического движения сжимаемого газа
Для адиабатического течения идеального газа р и p связан уравнением
адиабаты Пуассона р  k  const
где k  c p– /показатель
адиабаты.
cv
Связь параметров газа в различных точках адиабатного процесса может
быть представлена одним из следующих соотношений:
k 1
k
1
k
k 1
  
  p
T  p 
  
или
     
 0  p0 
T0  p0 
 0 
где индексом «0» обозначены параметры, значения которых известны.
Используя эти уравнения, преобразуем функцию давления.
p
P
p
0
dp

p

p
0
р 10 k
dp

p 1k
0
0 (
)
p0
р 10 k
k

(р
k  1 0
k 1
k
 р
k 1
k
0
p
p
р 1 k dp 
0
p0
k  p

)

k 1
0


.


Уравнение Бернулли для адиабатического движения сжимаемого газа
Тогда уравнение Бернулли для адиабатического движения сжимаемого
газа применительно к трубке тока принимает вид
V12
k р1 V22
k р2



 const
2
k  1 1
2
k  1 2
(2)
Это уравнение широко применяется в различных формах. Используя
уравнение состояния идеального газа, получим
V12
k
V22
k

RT1 

RT2  const
2
k 1
2
k 1
(3)
V12
a12
V22
a22



 const
2
k 1
2
k 1
Где a  kRT – адиабатическая скорость звука
Для воздуха R = 287 Дж/(кгК); k = 1,4; при T=293 К, а = 344 м/с.
(4)
Уравнение Бернулли для адиабатического движения сжимаемого газа
Вводя в рассмотрение энтальпию
i  c pT  c p
p
p
k р ,
 cp

R
 (c p  c ) k  1 
уравнение (2) преобразуют к виду
V12
V22
 i1 
 i2
2
2
Приведенные уравнения применяют для определения параметров газа в
произвольных сечениях канала, если известны параметры в каком-то
одном сечении.