Уравнение Шредингера

Волновые свойства микрочастиц
Волновое движение носит
распространено в природе.
разнообразный
характер
и
весьма
Любая волна несет с собой энергию.
До конца XIX в. считалось, что излучение имеет чисто волновую природу.
Правда, гипотеза о корпускулярном строении света высказывалась ранее
неоднократно. Её разделял, например, Ньютон. Однако, после
исследований Френеля и Юнга в начале XIX в. по интерференции и
дифракции световых волн и, особенно, после создания Максвеллом
электродинамики во второй половине XIX в. возобладала волновая
концепция.
Но на рубеже XIX и XX вв. появились факты, свидетельствующие в пользу
квантовой природы излучения.
В 1900 г. Планк в основу теории чёрного тела положил гипотезу о
квантованных осцилляторах. Он предположил, что стенки полости
обмениваются энергией с полем излучения, причём порции энергии не
могут быть меньше, чем ħω, где ω — собственная частота осциллятора.
Позднее, в 1905 г. Эйнштейн предложил объяснение фотоэффекта, в
котором квантовые свойства имеет уже само излучение, а не только
гипотетические осцилляторы полости.
Электромагнитное излучение характеризуется волновым вектором k и
частотой ω. Описание плоской волны с точки зрения волновой теории
имеет вид:
где ψ— любая величина, принимающая участие в волновом движении,
а ψ0 — её амплитуда
По Планку энергия кванта (фотона) связана с частотой волны:
а его импульс — с её волновым вектором:
В результате корпускулярная интерпретация формулы (1)
выглядит следующим образом:
В этом уравнении описание волны в качестве параметров содержит
энергию и импульс, параметры свойственные лишь частицам.
Физика в своем развитии часто встречалась с границами применимости
существующих теорий. При этом разрабатывались новые, более общие
решения. «Более общие» в том смысле, что старая теория входила в новую
как частный, ограниченный случай.
Совсем по-другому сложились взаимоотношения волновой и квантовой
оптики. Ни одна из них не стала частью другой. Остались задачи
(дифракция, интерференция, поляризация электромагнитных волн)
которые решаются в рамках только волновой теории излучения. С другой
стороны, были обнаружены явления (фотоэффект, эффект Комптона,
“ультрафиолетовая катастрофа” в теории Рэлея-Джинса теплового
излучения), которые объясняются только корпускулярной природой света.
Как пошутил Уильям Брэгг, «сложилась ситуация, когда каждый физик
вынужден по понедельникам, средам и пятницам считать свет
состоящим из частиц, а в остальные дни – из волны».
Гипотеза де Бройля
Такая двойственность теории излучения – корпускулярно-волновой
дуализм света привела молодого французского физика Луи Виктора
де Бройля, потомка великой королевской династии Бурбонов, к мысли о
глобальном характере этой двойственности.
Если волна – частица, то и материальная частица – волна.
Он показал, что движению электрона может соответствовать некоторая
волна материи, так же как движению светового кванта соответствует
световая волна. Де Бройль предложил объяснить квантовые условия теории
Бора с помощью представления о волнах материи. Волна, движущаяся
вокруг ядра атома, по геометрическим соображениям может быть только
стационарной волной; длина орбиты должна быть кратной целому числу
длин волн.
Волна-частица обладает энергией и импульсом. Де Бройль назвал ее
“фазовой волной”. По де Бройлю (1924) любая материальная частица
обладает
волновыми
свойствами
и
может
характеризоваться
соответствующей частотой и длиной волны
Волны Де Бройля для электрона с n = 2, 3, 4
В 1923 году в одном из своих докладов Парижской Академии наук де
Бройль говорил о возможных путях экспериментальной проверки своей
теории:
«Поток электронов, проходя через узкую щель, должен был бы дать
явление дифракции»
Однако первое подтверждение справедливости волновой механики было
получено в опытах по интерференции электронов.
Интерференция частиц
Пучок ускоренных электронов падает на экран с двумя узкими щелями. Если закрыть одну
щель, то электроны, прошедшие через другую, дадут определенное распределение
интенсивности. Подобное же распределение, но несколько смещенное будет получено, если
закрыть вторую щель и открыть первую. Теперь оставим открытыми обе щели. Здравый смысл
подсказывает, что новое распределение частиц должно равняться сумме первых двух
(распределение 1). Однако опыт свидетельствует совсем о другом ( распределение 2).
Распределение электронов отвечает интерференции двух когерентных волн. Таким образом,
на движение каждого отдельного электрона оказывают влияние обе щели. Этот эксперимент
подтверждает тот факт, что микрочастица-волна не просто «маленькое» материальное тело.
Первый эксперимент осуществили в 1927 г. американские физики Клинтон Джозеф
Дэвиссон (1881–1958) и Лерстер Джермер (1896–1971).
Пучок ускоренных электронов направлялся на монокристалл никеля. Одна из вершин этого
кристалла сошлифована перпендикулярно к большой диагонали кристаллической ячейки.
Отраженные электроны улавливались «цилиндром Фарадея», соединенным с
гальванометром. Этот
измерительный цилиндр мог перемещаться по дуге вокруг
кристалла. Сам кристалл тоже мог поворачиваться относительно оси, совпадающей с
направлением падающего пучка электронов.
Были воспроизведены с дополнениями условия опыта, поставленного Дэвиссоном еще в
1921 г, работавшим тогда в фирме ”Белл телефон” – он еще тогда обнаружил
закономерность в углах отклонений электронов, отраженных от никелевой пластинки, но
не смог найти подходящего объяснения
Расстояние между атомными плоскостями монокристалла никеля – d было известно из
рентгенографических исследований. Сила тока рассеянных электронов оказалась
максимальной при определенном значении угла рассеяния θ. Длина волны,
соответствующая этому интерференционному максимуму, оказалась равной
d cosθ = m λ ⇒ λ = 1.65 Å.
В то же время легко рассчитать длину волны де-Бройля падающих электронов
λ = 2πh / p = 2πh /(mv) =1.65A,
где v = 2eU m — скорость электронов при ускоряющем напряжении U = 54 В.
Совпадение этих длин волн и явилось первым подтверждением волновых свойств частиц –
в данном случае электронов.
Дифракция на щели
Дифракция на щели исследовалось в лабораториях П.С. Тартаковского,
Джорджа Паджета Томсона (1892–1975), Валентина Александровича
Фабриканта (1907–1991) и др. ученых. Схемы их опытов очень близки.
Тонкий пучок ускоренных электронов пронизывал золотую фольгу (в
опытах П.С. Тартаковского) и падал на фотопластинку. Результат
дифракции электронов на кристаллической решетке приведен на рис.
Уравнение Шредингера
Исходя из идеи де Бройля о волнах материи, австрийский физик Эрвин
Шрёдингер в 1926 г. получил основное уравнение волновой механики,
содержащее волновую функцию и позволяющее определить возможные
состояния квантовой системы и их изменение во времени.


При решении задачи построения физических теорий, объясняющих некоторые экспериментальные
факты, обычно сначала выдвигается физическая идея, объясняющая явление качественно, «на пальцах».
Затем идея проверяется на количественное согласие с экспериментом, если ее удается корректно
представить в понятиях математики. В этой процедуре все величины, входящие в уравнения, получают
свое истолкование на стадии составления уравнений, поэтому проблем с интерпретацией их
физического смысла не возникает.
В ряде случаев, однако, за неимением иной возможности, поступают противоположным образом.
Сначала, после ряда математических операций, добывают результат, а затем решают вопрос
физического смысла входящих в решение уравнения величин. Так было в случае с уравнениями
Максвелла, преобразованиями Лорентца, соотношением неопределенности, так было и с уравнением
Шредингера.
Эрвин Шрёдингер
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger
(1887—1961)
Австрийский физик-теоретик, один из создателей квантовой механики.
Лауреат Нобелевской премии по физике (1933).
Шрёдингеру принадлежит ряд фундаментальных результатов в области квантовой теории, которые легли в
основу волновой механики: он сформулировал волновые уравнения (стационарное и зависящее от времени
уравнения Шрёдингера), показал тождественность развитого им формализма и матричной механики,
разработал волновомеханическую теорию возмущений, получил решения ряда конкретных задач.
Шрёдингер предложил оригинальную трактовку физического смысла волновой функции; в последующие
годы неоднократно подвергал критике общепринятую копенгагенскую интерпретацию квантовой механики
(парадокс «кота Шрёдингера» и прочее).
Кроме того, он является автором множества работ в различных областях физики: статистической механике и
термодинамике, физике диэлектриков, теории цвета, электродинамике, общей теории относительности и
космологии; он предпринял несколько попыток построения единой теории поля. В книге «Что такое жизнь?»
Шрёдингер обратился к проблемам генетики, взглянув на феномен жизни с точки зрения физики. Он уделял
большое внимание философским аспектам науки, античным и восточным философским концепциям,
вопросам этики и религии.
Уравнение Шредингера не выводится строго, но его можно получить из так
называемого классического волнового уравнения, которое описывает любое
волновое движение
Согласно гипотезе де Бройля, каждой движущейся микрочастице должна
быть сопоставлена волна.
Пусть свободной микрочастице, летящей вдоль оси x, cоответствует
плоская волна.
Свяжем параметры волны с энергией и импульсом микрочастицы
Теперь уравнение
можно записать в виде
Продифференцируем это выражение один раз по времени и дважды – по
координате:
В случае свободного движения нерелятивистской частицы, ее энергия и
импульс связаны простым соотношением E=p2/2m. Теперь, принимая во
внимание это соотношение, легко связать предыдущие уравнения
Это и есть волновое уравнение Шредингера для одномерного движения
свободной частицы.
В случае движения микрочастицы в силовом поле, потенциальная энергия U,
полная энергия E и импульс р частицы связаны соотношением p2/2m=E–U.
Объединяя в этом выражении те же уравнения,
получим:
Это уравнение Шредингера для одномерного движения микрочастицы в силовом
поле. Для частицы, движущейся в произвольном направлении, запишем волновое
уравнение в таком виде:
Это уравнение получило название нестационарного волнового уравнение
Шредингера . Здесь
При движении микрочастицы в стационарном (неизменном во времени)
силовом поле, решение УШ может быть представлено произведением двух
множителей, один из которых является функцией только координат, а
другой – только времени


Используем это решение
дифференциальном
уравнении
микрочастицы в силовом поле
для
одномерного
в
движения
Сократив на общий множитель exp[−i(E/h)t], получим УШ для
стационарных состояний
Из
указанных
универсальным
вариантов
нестационарное
уравнение
является
Шрёдингер ввел греческую букву ψ (пси) для обозначения «волновой
функции» – зависящей от координат и времени переменной, которая в
определенных ситуациях носит простой колебательный характер, т.е.
представляет собой волну.
Однако в общем случае функция ψ в общем случае комплекснозначная, и
поэтому было трудно понять, каков ее физический смысл.
Шредингер полагал, что в волновой механике «…обычные правила квантования могут
быть заменены другими положениями, в которых уже не вводится каких-либо «целых чисел».
Целочисленность получается при этом … сама по себе подобно тому, как сама по себе
получается целочисленность узлов при рассмотрении колеблющейся струны».
То есть самым существенным Шредингеру кажется то, что он смог описать
таинственные квантовые явления методами, характерными для сугубо
классической физики того времени.
"Не требует особых разъяснений то обстоятельство, что представление, по которому
при квантовом переходе энергия преобразуется из одной колебательной формы в
другую значительно более удовлетворительно, чем представление о
перескакивающем электроне. Изменение формы колебаний всегда может
происходить непрерывно в пространстве и времени, оно может длиться время,
равное определяемому экспериментально времени процесса излучения...".
Основополагающая серия работ в журнале «Annalen der Physik» с 27 января по 21
июня 1926 года.
Первая статья называлась "Квантование как задача о собственных значениях"
("Quantisierung als Eigenwertproblem"). В этой работе и пяти последующих
Шредингером были заложены основы волновой механики.
Спустя 35 лет Макс Борн писал: "Что существует более выдающегося в
теоретической физике, чем его первые шесть работ по волновой механике?"
В "первые шесть работ" Шредингера, входят четыре статьи под общим названием
"Квантование как задача о собственных значениях", работа "Об отношении
квантовой механики Гейзенберга-Борна-Иордана к моей", в которой показана
математическая эквивалентность матричной и волновой механик, и работа
"Непрерывный переход от микро- к макромеханике" - самая слабая в цикле, но
сильно повлиявшая на взгляды самого Шредингера, который почти до конца своей
жизни пытался строить компактные волновые пакеты, которые бы соответствовали
движению микрочастиц, так как это впервые было им проделано в "Непрерывном
переходе..." для частного случая потенциала гармонического осцилятора.
Основные работы Э.Шредингера переведены на русский язык
Принцип неопределенности Гейзенберга
В 1927 годы Гейзенберг и его научный руководитель Макс Борн пришли к
выводу, что квадрат модуля волновой функции в любой точке пространства
и в любой момент времени есть вероятностная мера того, что
соответствующая частица находится в этой точке и в этот момент.
М. Борну было 44 года, он был на три года старше Бора и на два года
младше Эйнштейна. (Гейзенбергу было 25 лет).
Иными словами Борн и Гейзенберг предполагают существование
частицы и связанной с ней непрерывной волны Ψ, но частица не имеет
ни определённой скорости, ни определённой траектории. Речь может идти
лишь о вероятности нахождения частицы в той или иной области
пространства.
Поток микрочастиц подлетает к экрану со щелью. Пусть экран
перпендикулярен потоку.
Достоверно известно, что перед щелью х-компонента импульса
микрочастицы рx = 0. Здесь скорость частиц перпендикулярна экрану, т.е.
оси x. Погрешность этого сведения Δрx = 0. Однако при этом совершенно
не определена х-координата частицы.
Теперь рассмотрим движение частицы-волны за щелью Δх. За щелью
дифрагировавшие частицы будут отклонены в пределах угла ± φ. Это
максимальный угол, соответствующий дифракционному минимуму Δx
sinφ = λ . Отклонение на угол φ означает, что у микрочастицы появилась
х-компонента импульса
Кроме того, теперь в щели мы можем указать х-координату с
погрешностью Δx . Тогда Δpx = 2πh / Δx или Δp ⋅Δx = 2πh = h .
Последний результат обобщен Гейзенбергом и сформулирован как один из
основных
принципов
квантовой
механики:
произведение
неопределенностей значений двух сопряженных переменных не
может быть меньше постоянной Планка h
ΔA⋅ΔB ≥ h
Сопряженными величинами являются координаты и соответствующие
проекции импульса, энергия и время. Произведение неопределенностей
этих величин не может быть меньше по порядку величины постоянной
Планка ħ , т.е.
Последнее соотношение означает, что чем точнее мы хотели бы измерить
энергию частицы, тем большее время займет это измерение.
Волны вероятности, введенные М. Борном, поссорили его с Гейзенбергом, который
обвинил своего шефа и учителя в "измене самому духу матричной механики".
Бор отнесся к представлениям Борна с пониманием, он был убежден, что глубины
материи - мир вероятностных закономерностей.
Гейзенберг не оспаривал этого, он был возмущен тем, что М. Борн в своем
исследовании опирался на волновую механику Шредингера, а не на матричную
механику.
В классической механике предполагается, что человек может наблюдать явление, не
нарушая его естественного хода. Например, можно наблюдать движение небесных
тел в телескоп, и это никак не отразится на их движении. Астроном может
произвести измерения и составить точное математическое описание движения
объекта. Используя полученные формулы, можно предсказать, куда движется
данный объект и где он будет находиться в любой момент времени.
В микромире дело обстоит иначе. Например, исследуя движение электрона с
помощью микроскопа (если бы такое было возможно), мы бы наблюдали
отраженные от электрона волны света, энергия которых по величине сопоставима с
энергией самих исследуемых частиц. Поэтому при выполнении измерений нами
неизбежно вносились бы изменения в состояние электрона (местоположение,
скорость, направление движения и т.д.). Значит, на основании наших измерений
бессмысленно говорить о точном местоположении электрона в каждый момент
времени.
Принцип неопределённости указывает на то, что частицы могут вести себя
как волны – они как бы "размазаны" в пространстве, поэтому можно
говорить не об их точных координатах, а лишь о вероятности их
обнаружения в определённом пространстве.
Таким образом, квантовая механика фиксирует корпускулярноволновой дуализм – в одних случаях удобнее частицы считать
волнами, в других, наоборот, волны частицами.
С принципом неопределённости поначалу соглашались далеко не все
физики; его всеобщему признанию предшествовала довольно длительная
дискуссия. Осуществлённая Гейзенбергом и развитая Бором интерпретация
квантовой теории получила название копенгагенской, названной так по месту
жительства основателя этой школы Нильса Бора.
Квантовая теория - единственная физическая теория, которая имеет не
одну, а не менее четырех различных физических интерпретаций
используемого в ней математического аппарата (копенгагенскую,
статистическую,
многомировую
и
информационную
или
термодинамическую)
Копенгагенская интерпретация предполагает, с одной стороны, описание
экспериментов в понятиях классической физики, а с другой - признание
этих понятий неточно соответствующими действительному положению
вещей. В рамках данной интерпретации основным положением квантовой
теории выступает принцип дополнительности, означающий требование
применять для получения в процессе познания целостной картины
изучаемого объекта взаимоисключающие классы понятий, приборов и
исследовательских
процедур,
которые
используются
в
своих
специфических условиях и взаимозаполняют друг друга.




Осенью 1926 г. Шредингер приехал по приглашению Бора в Копенгаген. Гейзенберг с
весны снова работал у Бора, и они вместе отправились встречать автора волновой
механики. Спор начался прямо на перроне и длился до проводов на том же вокзале через
несколько дней. Шредингер заболел и вообще не был в институте Бора, оставаясь его
домашним гостем. По одной версии причина болезни - сентябрьская непогода, по другой нервное перенапряжение.
Он лежал больной в институтской квартире Бора, дискуссии не прекращались. Бор часто
повторял: "Но, Шредингер, Вы все-таки должны согласиться…" А Шредингер не
соглашался. Бор (в пересказе Гейзенберга): "То, что Вы говорите, абсолютно правильно.
Но это не доказывает, что квантовых скачков нет. Это означает, что мы не можем их
вообразить, что предметно-изобразительные представления, с помощью которых мы
описываем события повседневной жизни и эксперименты классической физики,
становятся непригодными, когда мы переходим к описанию квантовой прерывности".
На что Шредингер заявил, что формулирование представления о природе его вообще не
интересует: "Я предпочитаю оставить это философам". Это было пренебрежение к
философско-физическим размышлениям Бора, и Бор превратился, по словам
Гейзенберга, в "почти лишенного милосердия фанатика".
Бор всегда не мог дождаться, когда проснется больной Шредингер, и будил его для
продолжения дискуссий. В конце концов, изнуренный Шредингер заявил: "Если эти
проклятые квантовые скачки сохранятся в физике, я простить себе не смогу, что вообще
связался с квантовой теорией!"
Шрёдингер полагал, что частицы можно наглядно представлять как
волновые пакеты, должным образом составленные из набора собственных
функций, и, таким образом, полностью отказаться от корпускулярных
представлений.
Невозможность этого обяснялась современными ему учеными: в общем
случае волновые пакеты неизбежно расплываются, что находится в
противоречии с явно корпускулярным поведением частиц в экспериментах
по рассеянию электронов.
Решение
проблемы
данное
Максом
Борном,
предложившим
вероятностную интерпретацию волновой функции, была для него
абсолютно неприемлема
«Шредингер был, по меньшей мере, столь же, как и Эйнштейн, упрям в своем
консервативном отношении к квантовой механике: ведь он отвергал не только
статистическое ее толкование, но и настаивал на том, что его волновая механика
означает возврат к классическому мышлению. »
М. Борн
Высказывание Шредингера, сделанное им уже в преклонном возрасте – в
1957 году:
«Я хочу ясно сказать, что отныне и впредь беру на себя всю
ответственность за свое упрямство. Я иду против течения, но
направление потока изменится»
Члены международной научной группы под общим руководством Анеты Стодольна
из лаборатории AMOLF Нидерландского фонда фундаментальных исследований
все-таки смогли сделать достаточно точный снимок атома водорода.
Внутри закрытой камеры устанавливаются два лазера, между которыми помещается
атом водорода. Лазеры начинают обстреливать этот атом, в результате чего электрон
вылетает из него со скоростью и в направления и, которые зависят от его волновой
функции излучения. Если в камере не один, а несколько атомов, то те,
соответственно, выпустят несколько электронов, которые будут интерферировать.
Отделившиеся электроны направляются на чувствительную матрицу через
положительно заряженное кольцо, причем положение электрона в момент
столкновения с матрицей отражает положение электрона в момент ионизации
атома. Заряженное кольцо, отклоняющее электроны в сторону, играет роль линзы и
с его помощью изображение увеличивается в 20 тысяч раз.
Атом находится в электрическом поле Е и возбуждается лазерными импульсами
(показанных в синим). Ионизированный электрон может выйти из атома вдоль
прямых и косвенных траекторий по отношению к детектору (показан справа).
Разность фаз между этим траекториям приводит к интерференционной картины,
которая увеличивается с помощью электростатической линзы
Hydrogen Atoms under Magnification: Direct Observation of the Nodal Structure of Stark States
A. S. Stodolna, A. Rouzée, F. Lépine, S. Cohen, F. Robicheaux, A. Gijsbertsen, J. H. Jungmann, C.
Bordas, and M. J. J. Vrakking
Члены международной научной группы под общим руководством Анеты Стодольна
из лаборатории AMOLF Нидерландского фонда фундаментальных исследований
все-таки смогли сделать достаточно точный снимок атома водорода.
Внутри закрытой камеры устанавливаются два лазера, между которыми помещается
атом водорода. Лазеры начинают обстреливать этот атом, в результате чего электрон
вылетает из него со скоростью и в направления и, которые зависят от его волновой
функции излучения. Если в камере не один, а несколько атомов, то те,
соответственно, выпустят несколько электронов, которые будут интерферировать.
Размер фотографии 4 на 4 мм