86891_glava_2

Глава 2. Дифракционная теория
формирования изображения
Изображение можно представить в виде
суперпозиции импульсных реакций
на воздействие независимыми точечными
источниками, распределёнными по всей
плоскости предметов.
Эдвард О’Нейл
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
2.1. Моделирование
распространения света через
оптическую систему
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Теория формирования
изображения
Основная задача - описание распространения э.м. волн от
предмета до изображения через оптическую систему

для моделирования оптическую систему можно представить как
совокупность оптических (прозрачных, однородных) сред, разделённых
оптическими поверхностями (регулярными гладкими поверхностями
определённой формы)
n1
n
Поверхность
предмета
n2
ni
n'
S1
Si
S2
Оптическая система
Поверхность
изображения
Теория формирования
изображения
Волновой фронт, исходящий из точки предмета, преломляется
(отражается) на оптических поверхностях, а затем сходится к
точке изображения:



нарушение формы волнового фронта (изменение фазы поля)
волновой фронт ограничивается оправами и диафрагмами (экраны с
отверстиями), на которых поле претерпевает дифракцию
ослабляется интенсивность поля.
n1
n
Поверхность
предмета
n2
ni
n'
S1
Si
S2
Оптическая система
Поверхность
изображения
Описание распространения
света
Для описания распространения света через о.с. заменим показатель
преломления в уравнении Гельмгольца на функцию N(r):
U r   k 2  N r   U r   0

(2.1)
где N(r) – функция, описывающая влияние оптической системы на
комплексную амплитуду проходящего поля
 описывает оптические среды, форму и расположение преломляющих и
отражающих поверхностей, оправы и диафрагмы в виде совокупности граничных
условий
Частное решение уравнения Гельмгольца, соответствующее заданной
функции N(r) и заданной к.а. поля на поверхности предмета, будет
описывать поле в любой точке пространства между предметом и
изображением
 получить универсальное решение для произвольной системы практически
невозможно, поэтому, распространение поля через произвольную о.с.
описывается частными решениями этого уравнения, полученными с
использованием дополнительных приближений и допущений
Дифракционное распространение
поля в оптической системе
Рассмотрим поверхности SM и SP разделенные оптической системой
о.с. – набор последовательно расположенных оптических поверхностей S1, …,Si ,
между которыми среды имеют показатели преломления n1, …,ni

Предположим, что:
все поверхности гладкие по сравнению с длиной волны, а показатели преломления
либо постоянны, либо плавно меняются, т.е. дифракцией на поверхностях S1, …,Si и на
неоднородностях показателя преломления можно пренебречь
поверхности SM и SP не сопряжены оптически



y
т.е. существует не более одного луча, соединяющего любую пару точек этих поверхностей из
окрестностей достаточно протяжённых по сравнению с длиной волны
y'
d
dSP
dSM q
M

'
n
n1
z
x'
ni-1
n
SM
q'
n'
x
U(rM)
n'
P
U(rP)
… Si
S1
S2
z'
SP
Вывод из дифракционного
интеграла
расстояние r между
точками M и P
оптический путь между точками M
и P – эйконал E rM , rP 
множитель 1 r
d  n 2 dS P  cos  

где d – элементарный телесный угол
y
y'
n

P
U(rM)
r
M
ro
SM
SP


U(rP)
x
O
z
x'
O'
e iknr
U rP   U rM  
 K  dS M
r
S
M
лучевой трубки, выходящей из точки M
dS P – элементарная площадка,
вырезаемая этой трубкой на
поверхности
cos  – проекция орта луча на
нормаль к поверхности
Коэффициент энергетического
пропускания учитывает возможные
потери энергии поля
 rM , rP 
Распространение поля в
оптической системе
Описание дифракции при прохождении поля через о.с.:
1
1
 ikErM , rP 
2




U rP  
U
r


r
,
r

e
 K rM , rP dSM
M
M
P

i S
(2.2)
M


2
где K rM , rP   cos   d  n dSP  cos
,  
cos  – проекция орта луча q на нормаль к поверхности .
Множители, описывающие влияние о.с. на поле прошедшее от
точки M до точки P объединяются в коэффициент
комплексного пропускания:
1
(2.3)
f r , r    2 r , r   e ikErM ,rP 
M
P
M
P
Таким образом, обобщённое выражение, описывающее
распространение поля в о.с. с учётом явления дифракции:
1
(2.4)






U rP  
U
r

f
r
,
r

K
r
,
r
dS
M
M P
M P
M
i S
M
Модели формирования
изображения
Cтрогая модель формирования изображения:



должна учитывать действие всех диафрагм, а также оправ линз
рассматривать распространение поля как ряд последовательных
дифракций на каждой оправе и диафрагме.
построение такой модели не только затруднительно, но и бесполезно: на
фоне неизбежной сложности потеряются общие закономерности,
описывающие связь между предметом и его изображением
Используются упрощённые, но универсальные модели, в
которых учитывается дифракция только на одной диафрагме

или её изображении, то есть зрачке
2.2. Модели формирования
изображений оптической
системой
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Модель Аббе
Дифракционное распространение
Поверхность
предмета
Оптическая
система
Дифракционное
распространение
Задняя
фокальная
плоскость
Поверхность
изображения
Одну из первых моделей работы
оптической системы при
формировании изображения
сформулировал Аббе. Он впервые
использовал волновую теорию света в
прикладной оптике, бывшей до этого
исключительно сферой применения
геометрической оптики. Исходя из
результатов экспериментальных
исследований объективов микроскопов
при наблюдении объектов, имеющих
периодическую структуру, Аббе
предложил модель формирования
изображения с двойной дифракцией.
Предмет ведёт себя как дифракционная решётка, поэтому
рассматривается распространение дифрагированного поля от
предмета до задней фокальной плоскости объектива


дифракционная картина задней фокальной плоскости объектива в приближении
Фраунгофера (1.34) представляет собой спектр плоских волн
На втором этапе рассматривается распространение поля от фокальной плоскости до
плоскости изображения (так же с использованием приближения Фраунгофера)
Модификации модели Аббе
Недостатки модели Аббе:


описывает преобразование поля между поверхностями предмета и
изображения, но не учитывает влияние оптической системы на амплитуду и
фазу проходящих волн
нет учёта ограничения размеров волнового фронта, проходящего через
оптическую систему
В модификациях модели Аббе рассмотрение дифракции
переносится в пространство предметов или изображений, а
ограничение волнового фронта не связывается с реальным
положением диафрагм в системе

Такой подход позволяет получить достаточно простые и универсальные
модели, отличие которых заключается в выборе поверхности
интегрирования в дифракционном интеграле
 с целью получения наиболее простых и удобных выражений часто выбирается
поверхность сферической формы
 поверхность интегрирования помещается в бесконечность или в зрачок,
положение которого в общем случае не определяется однозначно
Модель с учётом дифракции на
апертурной диафрагме


Наиболее близкая к реальным процессам, происходящим в оптической
системе
Основана на предположении, что в о.с. световой пучок, исходящий из
любой точки предмета ограничивается одной апертурной диафрагмой, а
размеры всех других диафрагм настолько больше размеров проходящего
через них пучка, что влиянием дифракции на них можно пренебречь
Все диафрагмы системы заменяются одной эквивалентной им
по ограничению пучка апертурной диафрагмой
Дифракция выносится за пределы о.с. в пространство
предметов и пространство изображений.
Роль оптической системы в процессе формирования
изображения сводится к переносу поля от входной
поверхности, которая находится в пространстве предметов, до
выходной поверхности в пространстве изображений.
Модель с учётом дифракции на
апертурной диафрагме
Процесс распространения поля через о.с. разбивается на три
этапа:



Дифракционное распространение поля от предмета до входной
поверхности
Прохождение поля от входной до выходной поверхности
Дифракционное распространение поля в пространстве изображений
Дифракционное
распространение
Поверхность
предмета
Входная
поверхность
Геометрическое
распространение
Дифракционное
распространение
Поверхность
изображения
Выходная
Апертурная поверхность
диафрагма
Оптическая система
2.3. Дифракционное
распространение поля в
пространстве предметов
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Решение задачи дифракции







SM – поверхность предмета
M0 – центр некоторой зоны на поверхности предмета
M – произвольная точка в окрестности M0
SP – некоторая входная поверхность
P – произвольная точка на поверхности SP
r0 – вектор с началом в точке M0 и концом в точке P
r – вектор с началом в точке M и концом в точке P
Упрощения и допущения
Угловая апертура оптической системы невелика




телесный угол, в котором распространяется поле, невелик
=> расстояние r >> области ΔM
=> угол между вектором r и нормалью к поверхности будет мал
=> зависимость от угла можно считать постоянной
Входная поверхность – сфера с центром в точке M0

тогда зависимость r0 от точки P будет постоянной r r   const
o P
Декартовы координаты на предмете

выбраны так, чтобы координаты вектора ΔM были равны обобщённым координатам на
предмете (x,y)
для предмета близкого типа:
начало координат в точке M0, а ось z направлена перпендикулярно поверхности предмета
 для предмета дальнего типа:
начало координат в центре зрачка P0, а ось z проходит через точку M0

Зрачковая система координат выбрана так, чтобы координаты
вектора r были пропорциональны предметным направляющим
X  cos  x  и Y  cos y 
косинусам

тогда зрачковые координаты определяются как произведение показателя преломления
на направляющий косинус  p x  nX , p y  nY 
Вывод выражения для дифракции – посмотреть самостоятельно
Дифракционное распространение
поля в пространстве предметов
Дифракция в пространстве предметов, то есть распространение
поля от поверхности предмета до входной поверхности:
 
(2.9)


U p x , p y  c1

 U  x, y   e
 ik xp x  yp y 
dxdy
 




где x,y – декартовы координаты на предмете
рx,рy – декартовы координаты на зрачке
с1 – константа, объединяющая все постоянные множители
k – волновое число
Таким образом, распространение поля в пространстве
предметов описывается преобразованием Фурье


интегрирование производится по плоскости предмета
поле определяется на входной поверхности
(сфера, которая проходит через центр входного зрачка, а её центр
располагается в центре рассматриваемой зоны предмета)
Дифракция в пространстве предметов в
канонических координатах
Зрачковые канонические координаты определяют относительное
положение на зрачке:
x 

px
Ax
y 
py
(2.10)
Ay
где Ax и Ay – передние обобщённые апертуры
Предметные канонические координаты:
x  x 
Ax

y  y 
Ay
(2.11)

Дифракция в пространстве предметов в канонических координатах:
 
(2.13)
 2i     


U  x ,  y  c2



U  x , y  e
x
x
y
y
d x d y
 


где с2 – константа, объединяющая все постоянные множители
выражение справедливо для предметов ближнего и дальнего типа
Спектр плоских волн
Рассмотрим подынтегральную часть выражения (2.13):


U  x , y d x d y  e

2i  x  x  y  y 
 U0  e
2i  x  x  y  y 
(2.14)
частное решение уравнения Гельмгольца (1.16) для плоской волны, описывает к.а.
волны, фронт которой плоский и перпендикулярен вектору распространения.
Выражение (2.13) рассматривает исходное поле как сумму
(суперпозиция) полей, образованных в точке  x , y  элементарными
плоскими волнами


распространение поля от плоскости предмета можно представить в виде независимого
распространения множества таких плоских волн
на входной поверхности их комплексные амплитуды складываются
Таким образом, выражение (2.13) описывает разложение поля на
плоскости предмета в спектр плоских волн и сборку прошедших волн в
поле на входной поверхности оптической системы.
2.4. Геометрическое распространение
поля через оптическую систему
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Прохождение поля от входной
до выходной поверхности
Прохождение поля от входной до выходной
поверхности о.с:


если размеры а.д. >> длины волны, то дифракционными
явлениями происходящими в узкой области вблизи её краёв,
можно пренебречь и считать, что внутри оптической системы
дифракции не происходит
размеры поля проходящего через систему ограничивает только а.д.
– в области а.д. поле проходит, а за её пределами поле не
проходит (обрезается)
Можно воспользоваться геометрическим
приближением: поле распространяется через
оптическую систему вдоль лучей, соединяющих
входную и выходную поверхности
Геометрическое приближение
Пусть поверхности Sp и S’p являются входной и выходной сферой



луч входит в систему через точку P на входной сфере, проходит через оптическую
систему и выходит через точку P` на выходной сфере
зная комплексную амплитуду поляU rP , необходимо найти комплексную амплитуду

поля U  rP
в геометрическом приближении полагают, что поле распространяется вдоль лучей
внутри узких световых трубок, соединяющих элементарные площадки dS P и dS P 
волнового фронта.
 
 
Вывод выражения – посмотреть самостоятельно
Комплексная амплитуда
Комплексная амплитуда:
1
 dpx dp y  2

U  px , py  c0  U p x , p y  f p x , p y  
 dpx dpy 



где с – константа, объединяющая все постоянные
множители




0

f px , p y  

1
2
 

(2.21)
px , p y  eik  ΔE p , p  – функция комплексного
x
y
пропускания оптической системы или зрачковая функция
 описывает изменение амплитуды и эйконала при прохождении полем
пространства от точки P до точки P’)
Координаты на входной и выходной поверхности в пределах
небольших зон пропорциональны, и множитель  dpx dp y 


 dpx dpy 
можно считать постоянным, тогда:


(2.22)
U  px , py  c1 U p x , p y  f p x , p y




 

где с1 – константа, объединяющая все постоянные множители
Зрачковая функция
Таким образом, зрачковая функция играет роль передаточной
характеристики о.с. в процессе преобразования к.а. поля

Если бы оптическая система не влияла на проходящее поле:
 зрачковая функция =1
 к.а. поля на выходной поверхности = к.а. поля на входной поверхности
 изображение в точности подобно предмету
Влияние оптической системы:


размеры о.с. ограничены => поле на выходной поверхности будет обрезано
по сравнению с полем на входной поверхности
в области своего существования зрачковая функция может отличаться от
единицы из-за неравномерности влияния на амплитуду поля
 непостоянство, которое вызывается различием в оптическом пути, проходимом
лучами, а так же различием в углах падения лучей на поверхности раздела сред
(и соответственно неодинаковостью френелевского отражения и поглощения),
описывает функция амплитудного пропускания

в области своего существования зрачковая функция может отличаться от
единицы из-за непостоянства оптической длины хода лучей т.е.
неравномерности влияния на эйконал поля в различных его точках
Зрачковая функция
Зрачковая функция в общем случае определяется выражением:
 ik  ΔE  p x , p y  p , p  ;
(2.24)
 12

f px , p y  





px , p y  e
,
0,
 x y
 px , p y  ,
где Ω – область существования зрачковой функции, которая определяется
формой а.д.
Изменение эйконала поля:

оптическая длина луча, который проходит от предмета через входную
p x , p y , всю оптическую систему до изображения:
сферу в точке



n


ΔE p x , p y   ni li p x , p y

i 0

где n – количество сред, через которые проходит поле в оптической
системе.
(2.23)
Зрачковая функция
Фазовая компонента зрачковой функции может быть
преобразована:
2 n
k  ΔE p x , p y 
  ni li p x , p y  2W p x , p y





i0



(2.25)
где W  p x , p y  – функция волновой аберрации, выраженная в единицах длин
волн и описывающая разность оптических длин хода произвольного луча и
главного луча пучка.
В канонических координатах зрачковая функция о.с. с круглым
зрачком:
1
2
2
 2iW  x ,  y 

 2  x ,  y  e
,  x   y  1;
(2.26)
f x ,  y  
2
2



 1.

0
,
x
y






используется для описания влияния о.с. на проходящее поле при
формировании изображения данной точки предмета на данной длине
волны
Комплексная амплитуда поля
на выходной поверхности
Итак, комплексная амплитуда поля на выходной
поверхности с точностью до постоянного множителя
равна произведению комплексной амплитуды поля
на входной поверхности на зрачковую функцию
оптической системы для данной точки поля:
(2.27)
  



 
U x ,  y  U x ,  y  f x ,  y

Геометрическое приближение справедливо когда:

амплитуда поля и амплитудное пропускание оптической системы
не имеют резких изменений, размеры которых сравнимы с длиной
волны
 не соблюдается вблизи поверхности предмета и изображения и вблизи
краёв диафрагм, где функция пропускания претерпевает резкое
изменение до 0. В этом случае обязательно нужно учитывать явление
дифракции
2.5. Дифракционное распространение
поля в пространстве изображений
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Распространение поля в
пространстве изображений
Выходная поверхность – сфера, которая проходит через центр
выходного зрачка P`, а её центр располагается в точке M o – центре
рассматриваемой зоны изображения
Декартова система координат:


для конечного расстояния до изображения:
начало системы координат в точке M’0, а ось z – нормальна поверхности
для бесконечно удалённого изображения:
начало системы координат в точке P’ (центр выходного зрачка), а ось z направляется в
точку M’0 (центр зоны изображения)
Распространение поля в
пространстве изображений
Распространение поля в пространстве изображений от
выходной поверхности до поверхности изображения,
описывается дифракционным интегралом

вывод по аналогии с выводом выражения, описывающего дифракцию в
пространстве предметов:
В канонических координатах, пренебрегая постоянным
множителем:

 
  U  x ,  y   e
U   x , y 
2i  x x  y   y 
d x d y
(2.31)
 


Распространение поля в пространстве изображений описывается обратным
преобразованием Фурье, в котором интегрирование осуществляется по
выходной поверхности, а поле определяется на поверхности изображения
Выражение показывает разложение поля на выходной поверхности в
спектр плоских волн и сборку прошедших волн в поле на поверхности
изображения