Понятие функции.

Непрерывность функции
Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности
точки х 0 .
Определение 1.
U ( х0 )
Функция f(x) называется
если
непрерывной в точке х0 ,
1) она имеет предел в точке х 0 ,
2) этот предел равен значению функции f(x) в точке
lim f ( x)  f ( x0 )
x x0
х0 .
Замечания.
Для непрерывной функции символ lim предельного
перехода и символ f функции можно менять местами.
1.
lim x  x0
 lim f ( x)  f ( lim x)
x  x0
x x0
2. Пусть
x  x0
f ( x0 )  A  const  
 lim f ( x)  B  const  
x x0
AB
Если нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция
f(x) в точке х 0 имеет разрыв.
Приращение аргумента и функции
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности
U ( х0 )
(
х
.
x
х0
.
х0  x
U ( х0 ) точки х 0 .
)
x
- приращение аргумента
y  f ( x0  x)  f ( x0 )
y - приращение функции f в точке х 0 , отвечающее
приращению аргумента х точки х 0 .
Замечание.
Условие непрерывности f(x) в точке х 0 .
lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0
 lim f ( x0  x)  f ( x0 ) 
x 0
 lim [ f ( x0  x)  f ( x0 )]  0 
x 0
 lim y  0
x 0
Определение непрерывности через
приращения аргумента и функции
Определение 3.
Функция f(x) называется
если
непрерывной в точке х0  U ( x0 ),
приращение  y функции в этой точке,
отвечающее приращению х аргумента,
стремится к нулю при х  0 .
lim y  0
x 0
Пример.
Показать, что функция
yx
непрерывна в любой точке
х0
2
числовой оси.
Решение.
y  ( x0  x)  x0  2 x0 x  (x) 2  x(2 x0  x)
2
2
y  0 при
х  0
 lim y  0
x 0
Определение непрерывности на языке 

Определение 2.
Функция f(x) называется
если
непрерывной в точке х0 ,
для любого числа   0 существует число   0
такое, что
для всех x  U ( х0 ) , удовлетворяющих условию
x  x0  
выполняется неравенство
f ( x)  f ( x 0 )  
  0  ( , x0 )  0 : x, x  x0    f ( x)  f ( x0 )  
Определение непрерывности по Гейне
Пусть функция f(x) задана на произвольном множестве
пусть точка х0  E.
Определение 4.
ERи
Функция f(x) называется
непрерывной в точке х0 ,
если для любой последовательности точек
{xn }, xn  E,
сходящихся к точке х0  E ,
соответствующая последовательность значений функции
{ f ( x n )}
сходится к точке f ( x0 ).
Пример.
Функция Дирихле
1, x  Q
D( x)  
0, x  I
По определению Гейне функция Дирихле не является непрерывной
в любой точке х0  R.
lim y  0
lim f ( x)  f ( x0 )
x 0
x x0
Определение 1
Определение2
Непрерывность
в точке
Определение 4
x n  x0
f ( x n )  f ( x0 )
Определение 3
  0  ( , x0 )  0 :
x, x  x0  
 f ( x)  f ( x0 )  
Локальные свойства функции,
непрерывной в точке
Теорема 13.
Если функция f (x )
1) непрерывна в точке х 0 ,
2) f ( x0 )  A ( f ( x0 ) 
то существует такое 
A)
 0 , что
f ( x)  A ( f ( x)  A)
для всех x из интервала ( х0   , x0   ).
Доказательство.
f ( x0 )  A
Пусть
Зададим

 f ( x0 )  A  h, h  0
h
2
По определению непрерывности f(x) в точке
х0
  0  ( , x0 )  0 : x, x  x0    f ( x)  f ( x0 )  
h
 f ( x)  f ( x0 ) 
2
h
h
   f ( x)  f ( x0 ) 
2
2
x  ( х0   , x0   )
h
h
h
 A  A
f ( x)  f ( x0 )   A  h 
2
2
2
 f ( x)  A
x  ( х0   , x0   )
Устойчивость знака непрерывной
функции
Теорема 14.
Если функция f (x )
1) непрерывна в точке
2) f ( x0 )  0,
х0 ,
то существует окрестность ( х0   , x0   ) точки х 0 ,
в которой функция f (x )
1) не обращается в нуль f ( x)  0
2) сохраняет один и тот же знак (знак числа f ( x0 )).
Доказательство следует из теоремы 13, если задать
A  0.
f ( x0 )  A
  0 x  U ( х0 ,  )
( f ( x0 )  A)
f ( x0 )  0,
  0 x  U ( х0 ,  )
sgn f ( x)  sgn f ( x0 )
Основные элементарные
функции и их непрерывность

Степенная функция y  x ,   R
x0
Область определения:
Монотонно возрастает, если
y
yx
  0 и монотонно убывает, если   0.
y
1/ 2
1
0
yx
3 / 2
1
1
х
0
1
х
y
  Z
y  x3
1
1
y
yx
1
0
1
1
1
y 2
x
   x  
Область определения:
х
1
Область определения:
  Z
0
x0
y
y
1
1
х
1
y
x
1
1
0
1
0
1
p
  0
q
х
q
q
нечётное
чётное
1
х
   x  
x0
4
Показательная функция
x
y  a , a  0, a  1
   x  
Монотонно возрастает, если a  1 и монотонно убывает, если 0  a  1
Область определения:
y
y
y  a (a  1)
x
y  a x (0  a  1)
1
1
0
х
а- основание степени
0
х
Логарифмическая функция
y  log a x, a  0, a  1
x0
Область определения:
y
y  log a x(0  a  1)
y
0
1
х
1
0
Монотонно возрастает, если
х
y  log a x(a  1)
a  1 и монотонно убывает, если 0  a  1
а- основание логарифма
y  log a x обратная функция для
y  ax
Тригонометрические функции
y  sin x y  cos x
Область определения:  
синусоида
y
y  sin x

 x  
T  2
Периодическая
1


х
0

2
3
2

2
1
y  cos x
y
Область определения:  
Периодическая
 x  
T  2
1



2
0
1

2

3
2
х
Тригонометрические функции
y  tg x y  ctg x
y
Область определения:

x  (2k  1) , k  0,1,2,...
2
Периодическая
T 
y  tg x
х
  
2

0

2
3
2
y
y  ctg x
х



2
0

2

3
2
Область определения:
x  k , k  0,1,2,...
Периодическая
T 
Обратные тригонометрические
функции
 
y  sin x
x  [ , ]
y

arcsin
x
2 2
y
y  sin x
1


0
монотонно возрастает .
х

2
2
y  arcsin x
1
Область определения:
Область значений:
y
x  [1,1]
x  [
2
 
, ]
2 2

х
0
1
1


2
Функции, которые получены из основных с помощью
конечного числа арифметических операций или
операций взятия функции от функции, применённое
конечное число раз,
называются элементарными функциями .
Утверждение.
Все основные элементарные функции непрерывны
в каждой точке своих областей определения.
Доказательство.
y  cos x    x  
| sin x || x | x
Покажем непрерывность функции
Докажем неравенство
Пусть
 BC  2 sin x
OA  1

AOB  AOC

2
BC  BC
BC  2  x
AOB  x, 0  x 
 2  sin x  2x  sin x  x

В
| sin x || x | x  (0, )
2
О
А
| sin(  x) ||  sin x || sin x |
|  x || x |

| sin x || x | x  ( ,0)
С
2
 
sin 0  0 | sin x || x | x  ( , )
2 2
 

x  ( , )  | x |  1 | sin x | 1 x
.
2 2
2
| sin x || x | x
y  cos x
Возьмём
x  R.
   x  
Зададим приращение
х.
x
x
y  cos( x  x)  cos x  2 sin( x  ) sin
2
2
x
x
x
x
| y || 2 sin( x  ) sin
|  2 | sin( x  ) |  | sin
|
2
2
2
2
x
x | x |
| x |
| sin( x  ) | 1 | sin
|
| y | 2  1 
| x |
2
2
2
2
 0 | y || x |
По теореме о пределе промежуточной функции
 lim | y | 0
x  0
 y  cos x
непрерывна в любой точке R.
Замечательные пределы
1-й замечательный предел
S
OAB
 S сектораOAB  S OAC
1 2
sin x  
R
2
R
2
x
1 2
 R tgx
2 2
 sin x  x  tgx
sin x  0
AOB  x, 0  x 

x  (0, )
x 2 1
1

sin x cos x
sin x
1
 cos x
x


Верно для x  (0, ) и верно для x  (  ,0)
2
sin(  x) sin x 2
Разделим на
x
Функция

x
sin x
1
lim
x
x 0

2
В
О
.
С
А
OA  1
cos(  x)  cos x
y  cos x
непрерывна в любой точке x, в том числе в точке x=0.
 lim cos x  cos 0  1
x 0
По теореме о пределе промежуточной функции
 lim
x 0
sin x
1
x
2-й замечательный предел lim (1  x)
n
1 n
(
1

) e
lim
n
n
x 0
n  x  n  1, n  N
n
x
1
1 1
1
1
1
1 

 1
 1
  
 1   1  1   1 
  1    1  
x
 n  1

 n
n 1 x n
n 1
x
n
x    n  
n 1
n
1 
1  
1 


1


1

1







lim
lim
n

1
n

1
n

1

 

x  
n  
n 1
n
1
 1
 1  1
1




 1   1    e
lim
lim
n
n  n
n  
n  
Пусть
x  . Зададим t  ( x  1).
x
1 
 1

1    lim 1 

lim
x
t

1


x   
t   
lim 1  x 
1/ x
x 0
 ( t 1)
y
 t 
 lim 

t

1

t   
 1
 lim 1    e
y
y  
e
1  при n  .

(
1

)

n 

Нам известен предел последовательности
Докажем для x  R.
Рассмотрим случай x   : x
1
x
n 1
1
e
x
по т. 4
 1
  lim 1    e
x
x   
x    t  
 ( t 1)
 t 1
 lim 

t

t   
lim (1  x)
x 0
1
x
t 1
t
1
 1  1
 lim 1   1    e
t  t
t   
e
Операции над непрерывными
функциями
Арифметические операции над
непрерывными функциями
Теорема 15.
Пусть функция f (x ) и  (x ) определены в некоторой окрестности
точки x 0 .
Если f (x ) и  (x ) непрерывны в точке x 0 ,
то также непрерывны в точке x 0 их
сумма
разность
произведение
частное
f ( x)   ( x),
f ( x)   ( x),
f ( x)   ( x),
f ( x)
 ( x)
( ( x0 )  0).
Доказательство.
Пусть
Докажем для
f ( x)
 ( x)
f (x ) и  (x ) непрерывны в точке
x0
и
 ( x0 )  0.
По теореме 14 (устойчивость знака непрерывной функции)
U ( x0 )  окрестность точки x0 :  ( x)  0 x  U ( x0 )
 F ( x) 
f ( x)
 ( x)
определена в окрестности
lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0
U ( x0 ).
lim  ( x)   ( x0 )  0
x  x0
По теореме о пределе частного
f ( x ) f ( x0 )

 F ( x0 )
lim F ( x)  lim
x  x0
x  x0  ( x )
 ( x0 )
По определению непрерывности
f ( x)
Функция F ( x) 
 ( x)
непрерывна в точке
x0 .
Сложная функция. Непрерывность
сложной функции
E  R.
Пусть функция u   (x ) задана на множестве
E1  {u  R : u   ( x) x  E}
-множество значений u.
Пусть функция y  f (u ) задана на множестве
Функция
y  f [ ( x)]
E1  R.
- сложная функция от x.
y  f (u )  f [ ( x)]
.
y
E2
u   (x)
.
Пример.
u  sin x y  e
ye
cos x
u
.
x
E1
E
u
x
Переход к пределу под знаком
непрерывной функции
Теорема 16.
Если
1) функция u   (x ) в точке x 0 имеет предел,
равный числу А,
2) функция y  f (u ) непрерывна в точке u  A,
то функция y  f [ ( x)] в точке
равный f ( A).
x 0 имеет предел,
y  f (u )
Доказательство.
непрерывна в точке u=A.
  0   0 : u, u  A    f (u)  f ( A)  
По условию
A  lim  ( x)
x  x0
  0   0 : x, x  x0     ( x)  A  
 u  A 
 f [ ( x)]  f ( A)  
lim f [  ( x)]  f ( A)
x x0
 lim f [  ( x)]  f [lim  ( x)]
x x0
x x0
Правило перехода под знаком непрерывной функции.
Пример.
Показать, что
ln( 1  x)
lim
1
x 0
x
Решение.
ln( 1  x)
 ln( 1  x)
x
Функция
y  ln( 1  x)
Функция
y 1 ln u
1
x
-сложная:
1
x
y  ln u u  (1  x)
1
x
непрерывна в точке u=e.
lim (1  x) x  e
x  x0
1
x
1
ln( 1  x)
lim
 lim ln( 1  x)  ln[ lim (1  x) x ]  ln e  1
x  x0
x  x0
x  x0
x
Непрерывность сложной функции
Теорема 17.
Если функция u   (x) непрерывна в точке x 0 ,
а функция y  f (u ) непрерывна в точке u 0   ( x0 ),
то сложная функция y  f [ ( x)] непрерывна в точке
x0 .
Доказательство.
Функция
u   (x)
непрерывна в точке
x0
 lim  ( x)   ( x0 )  u0
x  x0
Функция y  f (u ) непрерывна в точке u
0
По теореме 16 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции
lim f [ ( x)]  f (u 0 )  f [ ( x0 )]
x  x0
Функция
y  f [ ( x)]
непрерывна в точке
x0 .
Непрерывность функции
•
•
•
•
•
определения непрерывности в точке,
локальные свойства непрерывности,
основные элементарные функции,
замечательные пределы,
арифметические операции над
непрерывными функциями,
• сложная функция и её непрерывность.