Алгебра и функции

Авторы:
Астафьев П., Дубровин И.)
Свойства логарифмов.
• 1.loga1=0
•
•
•
•
2.logaa=1
3.logaxy=logax+logay
4.logax/y=logax-logay
5.logaxp=plogax
Логарифмическая функция
• Функцию,заданную формулой y=logax, называют
логарифмической функцией с основанием а.
• Основные свойства логарифмической функции:
• 1.Область определения логарифмической функциимножество всех положительных R +,т.е D(loga)=R+
• 2. Область значений логарифмической функциимножество всех действительных чисел.
• 3.Логарифмическая функция на всей области
определения возрастает(при а>1) или убывает(при
0<a<1).
Тригонометрические функции
Основные свойства функций:
• Функция f называется
четной, если для любого
х из ее области
определения f(-х)=f(x)
• График четной функции
симметричен
относительно оси
ординат.
• Функция f нечетна, если для
любого х из ее области
определения f(-x)=-f(x)
• График нечетной функции
симметричен относительно
начала координат.
Производная показательной и
логарифмической функций
• Формула производной показательной функции.
• Функция ех дифференцируема в каждой точке
области определения u
•
( ex)’=ex
• Натуральным логарифмом (обозначается ln)
называется логарифм по основанию е:
•
lnx=loge x
• Первообразной для функции ах на R является
функция
ах/ln a
Степенная функция
• Функция, заданная формулой f(x)=xa,
называется степенной (с показателем
степени а).
•
(ха)’=аха-1
Вычисление значений степенной
функции
n√1+∆x=(1+∆x)1/n≈1 +∆x/n
Обобщенное понятие степени
• Корнем n-ной степени из числа а называется такое
число n-ная степень которого равна а.
• Арифметическим корнем n-ной степени из числа а
называют неотрицательное число, n_ная степень
которого равна а.
• Пример: Найдем значение а) 3√8
•
3√8=2, так как 23 =8 и 2>0;
• Корень третей степени называют кубическим
корнем
Иррациональные уравнения
• √х-2=0
• Степень числа а больше нуля с
рациональным показателем r=m/n, где m –
целое число, а n- натуральное (n больше
нуля) называется число
• n√am
ПЕРВООБРАЗНАЯ
Функцией F называется первообразной для
функции f на заданном промежутке, если для
всех x из этого промежутка
F’(x)=f(x)
Пример: Функция F(x)=x3/3 есть
первообразная для функции F(x)=x2 на
интервале (-∞; ∞), так как F’(x)=
x3/3=1/3(x3)’=1/3*3x2 =x2 =f(x)
для всех xЭ (-∞; ∞).
Основное свойство первообразной
Любая первообразная для
функции f на промежутке
I может быть записана в
виде
F(x) + C
(1)
Где F(x) одна из
первообразных для
функции f(x) на
промежутке I, а, Спроизвольная постоянная
Какое бы число
ни подставить
выражение (1)
вместо С,
получим
первообразную
для f на
промежутке I.
Таблица первообразных для
некоторых функций
Функци
яF
K
Xn (nЭZ,
(постоян n не
равно ная)
1)
Общий
вид
первооб
разных
Kx+C
X n+1/n+1
+C
1/√x
Sin x
Cos x
2√x+C
-cos x +C Sin x+C
1/cos2x
1/sin2x
Tg x+C
-ctgx +C