Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ Математический анализ 1 семестр Лекция 12 Исследование функций. Построение графиков. Длина кривой. 4 декабря 2014 года Лектор: Профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н. Орловский Дмитрий Германович Исследование стационарной точки Пусть функция f(x) дифференцируема в интервале (a–δ;a+δ) и существует f’’(a). Пусть также f’(a)=0, а f’’(a)≠0. Если f’’(a)<0, то x=a является точкой строгого максимума f(x). Если f’’(a)>0, то x=a является точкой строгого минимума f(x). 1 f ' ' (a)( x a) 2 ( x)( x a) 2 2 1 f ( x) f (a ) [ f ' ' (a ) ( x)]( x a ) 2 2 f ( x) f (a) f ' (a)( x a) 1 1 lim [ f ' ' (a) ( x)] f ' ' (a) 0 x a 2 2 В некоторой окрестности (a–δ1;a+δ1) точки x=a Sign ( f ( x) f (a)) Sign f ' ' (a) Исследование стационарной точки Пусть функция f(x) имеет n-1 производную в интервале (a-(a–δ;a+δ) и существует f(n)(a). Пусть также f ' (a) f ' ' (a) . . . f ( n1) (a) 0, f ( n) (a) 0. Тогда если (1) n=2k+1 x=a не является точкой экстремума (2) n=2k f(n)(a)<0 x=a является точкой максимума f(n)(a)>0 x=a является точкой минимума f ( k ) (a) f ( n ) (a) k f ( x) f (a) f ' (a)( x a) ... ( x a) ... ( x a) n rn ( x), k! n! rn ( x) o(( x a) n ) ( x)( x a) n (lim ( x) 0). xa Исследование стационарной точки f ( n ) (a) f ( x) f (a) ( x a) n ( x)( x a) n , n! f ( n ) (a) f ( x) f (a ) ( ( x))( x a) n . n! f ( n ) (a) f ( n ) (a) lim ( ( x)) 0. x a n! n! В некоторой окрестности (a–δ1;a+δ1) точки x=a Sign ( f ( x) f (a)) Sign ( f ( n ) (a)( x a) n ). Выпуклость функции Функция называется выпуклой вниз (выпуклой) в интервале (a;b), если для любой точки x0∊(a;b) и всех x∊(a;b) f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ). Функция называется выпуклой вверх (вогнутой) в интервале (a;b), если для любой точки x0∊(a;b) и всех x∊(a;b) f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ). Выпуклость функции Дифференцируемая в интервале (a;b) функция f(x) выпукла тогда и только тогда ее производная возрастает. (1) Функция выпукла и x1<x2 f ( x) f ( x1 ) f ' ( x1 )( x x1 ), f ( x2 ) f ( x1 ) f ' ( x1 )( x2 x1 ), f ' ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) , x2 x1 f ( x) f ( x2 ) f ' ( x2 )( x x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ' ( x2 )( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ' ( x2 ) x2 x1 f ' ( x1 ) f ' ( x2 ). Выпуклость функции Дифференцируемая в интервале (a;b) функция f(x) выпукла тогда и только тогда ее производная возрастает. (2) Производная функция возрастает. По теореме Лагранжа f ( x) f ( x0 ) f ' (ξ)( x x0 ) а) x x0 ξ x0 f ' (ξ) f ' ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ' (ξ )( x x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) б) x x0 ξ x0 f ' (ξ) f ' ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ' (ξ )( x x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) в) x x0 , неравенство f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) превращается в равенство. Выпуклость функции Дифференцируемая в интервале (a;b) функция f(x) вогнута тогда и только тогда ее производная убывает. Функция f(x) вогнута тогда и только тогда, когда g ( x) f ( x) выпукла, т.е. g’(x) возрастает. Однако, это равносильно тому, что функция f’(x) = – g’(x) убывает Выпуклость функции Дважды дифференцируемая в интервале (a;b) функция f(x) выпукла тогда и только тогда, когда всюду f’’(x)≥0. (1) f ' ' ( x ) 0. f ' ' (ξ ) f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ). 2 (2) Функция выпукла. f ' ' ( x0 ) ( x x0 ) 2 ( x)( x x0 ) 2 (lim ( x) 0). xa 2 f ( x) ( f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )) f ' ' ( x0 ) 2 2 ( x) 2 ( x) 2 ( x x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) f ' ' ( x0 ) 2 lim ( x) 0. xa Выпуклость функции Дважды дифференцируемая в интервале (a;b) функция f(x) вогнута тогда и только тогда, когда всюду f’’(x)≤0. (1) f ' ' ( x ) 0. f ' ' (ξ ) f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ). 2 (2) Функция вогнута. f ' ' ( x0 ) ( x x0 ) 2 ( x)( x x0 ) 2 (lim ( x) 0). xa 2 f ( x) ( f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )) f ' ' ( x0 ) 2 2 ( x) 2 ( x) 2 ( x x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) f ' ' ( x0 ) 2 lim ( x) 0. xa Точка перегиба Точка x=a называется точкой перегиба функции f(x) если существует такое δ>0, что в интервалах (a–δ;a) и (a;a+δ) эта функция выпукла в разные стороны. Это определение равносильно тому, что производная либо меняет возрастание на убывание, либо меняет убывание на возрастание. Точка перегиба Необходимое условие точки перегиба. Пусть точка x=a является точкой перегиба функции f(x) и в этой точке у нее существует вторая производная. Тогда f ' ' (a ) 0. Опасные моменты! Равенство нулю второй производной является необходимым условием наличия перегиба. Однако, достаточным условием оно не является. Точка перегиба y x4 y' 4 x3 y' ' 4 x 2 0 Данная функция выпукла в одну сторону на всей числовой прямой и перегибов не имеет. Тем не менее ее вторая производная в нуле равна нулю. Точка перегиба Перегиб Нет перегиба Перегиб Нет перегиба Точка перегиба Пусть функция f(x) имеет n-1 производную в интервале (a-(a–δ;a+ δ) и существует f(n)(a). Пусть также f ' ' (a) . . . f ( n1) (a) 0, f ( n ) (a) 0. Тогда если (1) n=2k+1 x=a является точкой перегиба (2) n=2k x=a не является точкой перегиба Пример: f ( x) x 4 , a 0. f ' ' ( x) 12 x 2 , f ' ' ' ( x) 24 x, f ( IV) ( x) 24. f ' ' (0) 0, f ' ' ' (0) 0, f ( IV) (0) 0. n=4, x=0 не является точкой перегиба. Асимптоты Вертикальная асимптота Прямая x=a называется асимптотой если lim f ( x) . x a Асимптота может быть односторонней: lim f ( x) (левая односторонняя асимптота) xa 0 lim f ( x) (правая односторонняя асимптота) xa 0 Асимптоты y 1 x 1 асимптота y sin( 1 / x) нет асимптоты y ln x асимптота y e1/ x асимптота y нет асимптоты 1 1 sin x x Асимптоты Наклонная асимптота Наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x→+∞ называется прямая y=kx+b, если выполнены два условия: (1) некоторый луч (a;+∞) целиком содержится в области определения функции; (2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при x→+∞ : lim [ f ( x) (kx b)] 0. x Наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при x→–∞ называется прямая y=kx+b, если выполнены два условия: (1) некоторый луч (–∞;a) целиком содержится в области определения функции; (2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при x→–∞ : lim [ f ( x) (kx b)] 0. x Асимптоты Принято выделять частный случай наклонной асимптоты при k=0. Такая асимптота называется горизонтальной. Прямая y=b является горизонтальной асимптотой при x→+∞ ( x→–∞ ) если lim f ( x) b ( lim f ( x) b). x x Асимптоты Нахождение наклонной асимптоты Прямая y=kx+b является асимптотой функции f(x) при x→+∞ тогда и только тогда, когда f ( x) k lim , b lim ( f ( x) kx). x x x Прямая y=kx+b является асимптотой функции f(x) при x→–∞ тогда и только тогда, когда f ( x) k lim , b lim ( f ( x) kx). x x x Асимптоты Пусть прямая y=kx+b является асимптотой при x→±∞. Тогда lim [ f ( x) (kx b)] 0 x lim x f ( x) f ( x) b f ( x) (kx b) k lim ( k ) k lim k 0 k x x x x x x lim ( f ( x) kx) b lim [ f ( x) (kx b)] b 0 b x x Обратно, пусть выполнены предельные соотношения, тогда lim [ f ( x) (kx b)] lim ( f ( x) kx) b b b 0 x x Примеры Построить график функции ( x 1)3 y ( x 1) 2 3( x 1) 2 ( x 1) 2 ( x 1)3 2( x 1) ( x 1) 2 (3x 3 2 x 2) ( x 1) 2 ( x 5) y' 4 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1)3 x 3 3x 2 9 x 5 (3x 2 6 x 9)( x 1)3 ( x 3 3x 2 9 x 5)3( x 1) 2 y' ' [ ]' 3 6 ( x 1) ( x 1) (3x 3 6 x 2 9 x 3x 2 6 x 9) (3x 3 9 x 2 27 x 15) 24( x 1) 4 ( x 1) ( x 1) 4 Примеры Нахождение асимптот: Вертикальная x=1. Наклонная y=kx+b. y ( x) ( x 1)3 k lim lim 1 2 x x x x( x 1) ( x 1)3 ( x 1) 3 x( x 1) 2 b lim ( y ( x) kx) lim ( x) lim 2 x x ( x 1) 2 x ( x 1) ( x 3 3x 2 3x 1) ( x 3 2 x 2 x) 5x 2 2 x 1 lim lim 5 2 2 x x ( x 1) ( x 1) y x 5 Примеры Знаки функции и производных Точка экстремума x 5; y 13,5 Точка перегиба x 1; y 0 Примеры График ( x 1)3 y ( x 1) 2 Длина кривой Пусть на отрезке [α;β] заданы три функции f1(t), f2(t), f3(t). Множество точек L {( x; y; z ) : x f1 (t ), y f 2 (t ), z f 3 (t ), t } называется параметрической кривой. Точка A(f1(α);f2(α);f3(α)) на кривой L называется началом кривой, а точка B(f1(β);f2(β);f3(β)) называется концом кривой. Часто начало и конец называются одним словом: концы кривой. Если функции f1(t), f2(t), f3(t) непрерывны, кривая L называется непрерывной кривой (кривая класса C или C0). Если функции f1(t), f2(t), f3(t) непрерывно дифференцируемы, то кривая L называется гладкой кривой (кривая класса С1). Длина кривой Замечание. Часто гладкой называют кривую при дополнительном условии [ f1 ' (t )]2 [ f 2 ' (t )]2 [ f 3 ' (t )]2 0. (1) Однако, во многих утверждениях это условие оказывается не нужным. Если для гладкой кривой это последнее условие выполнено, будем называть такую кривую регулярной. Условие (1) может быть выполнено в одних точках и не выполнено в других точках. Точки, в которых условие (1) выполнено, назовем регулярными, а точки, в которых это условие не выполнено, назовем особыми точками кривой. Длина кривой Разбиение T {t0 , t1 , t2 , ... , tn } t0 t1 t2 ... tn каждой точке разбиения отрезка отвечает точка на кривой M i ( f1 (ti ); f 2 (ti ); f 3 (ti )) Длину отрезка Mi-1Mi обозначим li ( f1 (ti ) f1 (ti 1 )) 2 ( f 2 (ti ) f 2 (ti 1 )) 2 ( f 3 (ti ) f3 (ti 1 )) 2 Длина кривой Длину ломаной M 0 M 1M 2 ... M n обозначим n l (T ) li i 1 Определение. Длиной кривой называется величина | L | Sup l (T ) {T } (кривая, у которой существует длина, называется спрямляемой). Длина кривой Аддитивность длины кривой l ( AB) l ( BC ) l ( AC ) Длина кривой 1) Пусть спрямляема кривая AC и пусть T1,T2 – произвольные разбиения AB и BC. Тогда T= T1UT2 является разбиением AC, причем l (T ) l (T1 ) l (T2 ), тогда для любого разбиения T1 кривой AB l (T1 ) l (T ) l (T2 ) | AC | l (T2 ). Поэтому кривая AB спрямляема и | AB || AC | l (T2 ). Но теперь для любого разбиения T2 кривой BC l (T2 ) | AC | | AB | . Следовательно, кривая BC спрямляема и т.е. | BC || AC | | AB | | AB | | BC || AC | . Длина кривой 2) Пусть спрямляемы кривые AB и BC, а T – произвольное разбиение кривой AC. Если точка B не входит в это разбиение, то добавим ее и получим разбиение T+, которое распадается на разбиения T1 и T2 кривых AB и BC. При этом l (T ) l (T ) l (T1 ) l (T2 ) Так как l (T1 ) | AB |, l (T2 ) | BC |, то l (T ) | AB | | BC | . Отсюда следует, что кривая AC спрямляема и | AC || AB | | BC | . Из пунктов 1) и 2) следует, что | AC || AB | | BC | . Длина кривой Теорема. Гладкая кривая спрямляема и ее длина удовлетворяет неравенствам m12 m22 m32 ( ) | L | M12 M 22 M 32 ( ), где m j Inf | f j ' (t ) |, (1 j 3), [ ; ] M j Sup | f j ' (t ) |, (1 j 3). [ ; ] Длина кривой Доказательство. Применим теорему Лагранжа f j (ti ) f j (ti 1 ) f j ' (ξ ij )(ti ti 1 ) m j (ti ti 1 ) | f j (ti ) f j (ti 1 ) | M j (ti ti 1 ) m12 m22 m32 (ti ti 1 ) li M12 M 22 M 32 (ti ti 1 ) Сложим полученные неравенства и учтем, что n (t получим i 1 i ti 1 ) m12 m22 m32 ( ) l (T ) M12 M 22 M 32 ( ) Длина кривой m12 m22 m32 ( ) l (T ) M12 M 22 M 32 ( ) Число, стоящее справа, ограничивает множество длин всех ломаных сверху. Поэтому рассматриваемое множество всех этих длин имеет точную верхнюю грань (длину кривой) и по определению точной верхней грани | L | M12 M 22 M 32 ( ). Далее, по определению точной верхней грани, для любого разбиения но Следовательно, l (T ) | L |, m12 m22 m32 ( ) l (T ). m12 m22 m32 ( ) | L | . Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ Математический анализ. Длина и кривизна кривой. Лекция 12 завершена. Спасибо за внимание! Тема следующей лекции: Приближенные методы решения уравнений. Лекция состоится в четверг 11 декабря В 10:00 по Московскому времени.