14. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

14. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
14.1. Движение центра масс
механической системы
m1a 1  F1e  F1i 
............... 
e
i
mk a k  Fk  Fk 
............... 
mn a n  Fne  Fni 


rc 
k k
n
k
k
 Mac

n
n
n
F
i
k

n
0

m r

M
m a
e
i
m
a

F

F
 kk  k  k
n
m r
k k
n
d2
 2
dt
d 2 rk
d 2 rc
n mk dt 2  M dt 2
Ma c   F
e
k
n
 Mrc
Теорема о движении центра масс механической системы:
произведение массы механической системы на
ускорение ее центра равно геометрической сумме всех
внешних сил, действующих на систему
Механический смысл данной теоремы:
центр масс механической системы движется как
материальная точка, имеющая массу всей системы и
подверженная воздействию всех внешних сил,
приложенных к самой системе
Практическое значение:

M x c   Fkxe  1) Теорема дает теоретическое обоснование
методам динамики точки. Видно, что
n

результаты решения задачи о движении тела,
..
e 
представленного в виде точки, относятся к
M y c   Fky 
конкретной точке тела - центру масс.
n
 2) Решение задач на основе выражений теоремы
..
позволяет исключить из рассмотрения
M z c   Fkze 
внутренние силы системы. Это означает, что

n

действие внутренних сил не влияет на
..
движение центра масс механической системы.
Закон сохранения движения центра масс
механической системы:
1)
e

 Fk  0  ac  0


ac  dVc dt 

Vc  const
т.е. центр масс системы движется с постоянной по модулю и
направлению скоростью, т.е. равномерно и прямолинейно.
2)
e
 Fk  0 ,
но
F
e
kx
0
т.е. проекция скорости центра масс на эту
координатную ось не меняется со временем.
 acx  0

Vcx  const
14.2. Количество движения
14.2.1. Количество движения точки и
импульс силы
Количеством движения точки называется векторная
величина, равная произведению массы


точки на ее скорость, mV
V0
Элементарный
импульс силы,

m


величина, равная
dSвекторная

V
F

произведению вектора силы на
mV
элементарный промежуток


V1
ds

времени, т.е.
dS  F  dt
Импульс силы за конечный промежуток времени
определяется как определенный интеграл от
элементарного импульса
t
S   F dt
0
14.2.2. Теорема об изменении
количества движения точки
Выражение теоремы в дифференциальном виде

ma   Fk

n
a  dV dt
Векторная форма записи
d mV 
  Fk
dt
n
Скалярная форма записи
d mVx 
d mV y 
d mVz 

dt   Fkx 
n

dt   Fky 
n

dt   Fkz 
n

производная по времени от количества движения точки
равна геометрической сумме сил, действующих на эту точку
Выражение теоремы в интегральном виде
Векторная форма записи
V1
t1
V0
n t0
 d mV     ( Fk dt ) 
mV1  mV0   S k
n
Скалярная форма записи
изменение количества движения
точки за некоторый промежуток
времени равно геометрической
сумме импульсов всех
действующих на точку сил за тот
же промежуток времени

mV1x  mV0 x   S kx 
n

mV1 y  mV0 y   S ky 
n

mV1z  mV0 z   S kz 
n

14.2.3. Количество движения
механической системы
Количеством движения механической системы
называют векторную величину, равную
геометрической сумме количеств движения всех точек данной системы

m1V1

m1V1

m2V 2

m kV k

m nV n

Q

m2V 2

m kV k

m nV n
rc 
Q   mk Vk 
n
m r
m r
k k
n
k k
M
n
 m dr
k
n
Рис.14.2. Количество движения
количество движения
системы механической
системы равно произведению ее массы на
скорость центра масс
k
 Mrc
d
dt
dt   M drc dt 
m V
k
k
 MVc
n
Q  MVc
14.2.4. Теорема об изменении количества
движения механической системы
m1 a 1  F1  F1 

............... 
e
i
mk a k  Fk  Fk 
............... 

mn a n  Fne  Fni 
e
i
 dVk
m
a

m
n k k n k  dt


d mkVk  d 
 dQ
  
   mkVk  
dt
dt  n
 dt
 n
  mk ak   Fke   Fki
Дифференциальная
форма записи теоремы:
n
n
dQ
  Fke
dt
n
производная по времени от количества
движения механической системы равна
геометрической сумме всех внешних сил,
действующих на эту систему
i
F
 k 0
n
n

dQ x dt   Fkxe 
n
e 
dQ y dt   Fky 
n

e
dQ z dt   Fkz 
n

Интегральная форма записи теоремы:
изменение количества движения
механической системы за некоторый
промежуток времени равно
геометрической сумме импульсов
внешних сил, действующих на систему,
за тот же промежуток времени
t1
Q1  Q0    Fke dt
n
0
Q1  Q0   S ke
n
Закон сохранения количества движения
механической системы:
1.
F
e
k
Q  const
0
n
2.
e
e
F
F

0
,
 kx  0
 k
n
n
Qx  const

Q1x  Q0 x   S 
n
e 
Q1 y  Q0 y   S ky 
n

e
Q1z  Q0 z   S kz 
n

e
kx
14.3. Моменты количества движения
14.3.1. Момент количества движения точки

 О


mO mV
h

mV
M

rM
mo mV   r  mV
mo mV   rmV sin r , mV 
mx mV   mo mV  cosmo , i 

m y mV   mo mV  cosmo , j 
mz mV   mo mV  cosmo , k 
14.3.2. Теорема об изменении момента
количества движения точки

mV

P
M

rM
O
 


mo mV
dr
V ,
dt
M o P   r  P

 
MO P
dV
a
dt
r  ma  M o P 
mo mV   r  mV
d mo mV  d
 r  mV 
dt
dt
dr
dV

 mV  r  m
dt
dt
d mo mV 
 M o P 
dt
производная по времени от момента количества
движения материальной точки, взятого
относительно какого-либо неподвижного центра,
равна моменту действующей на точку силы
относительно того же центра
d mo mV 
  M o Fk 
dt
n
d mx mV 
  M x Fk 
dt
n
14.3.3. Движение точки под действием
центральной силы
Центральной называется сила, линия действия
которой проходит через данный центр на протяжении всего движения точки приложения силы

d mo mV 
 Mo F
dt


 
MO F  0
mo mV   C
r  mV  const
rV sin r ,V   const
материальная точка под
действием центральной силы
движется по плоской кривой с
постоянной секторной
скоростью
O

V
h
M1 dS
M0
dσ

 rM
F
Vh  const
V  ds dt
dS  h  2d
d
 const
dt
14.3.4. Главный момент количеств
движения механической системы
Главным моментом количеств движения механической системы (кинетическим моментом) называется геометрическая сумма
моментов количеств движения материальных точек данной системы
K o   mo mk Vk 
m z mk Vk   mk Vk hk
z
n
mkVk hk  
 Kz 
K x   m x mk Vk 
n
2
n


m
h

k k 
K y   m y mk Vk 
n
2
n
mk hk
 
K z   m z mk Vk 
n
n






I z   mk h
2
k
n

hk M
O
K z  I z

Vk

14.3.5. Теорема об изменении
кинетического момента
m1
O
mk
i
Fk
(n)

mkVk
e
Fk
mn
d mo mkVk 
e
i
 mo Fk   mo Fk 
 dt
KO

 
 i
 mo Fk  0


d  mo mkVk 
n
  m Fe  m Fi


o
k
o
k
dt
n
n
производная по времени от кинетического
момента механической системы, определенного относительно произвольного неподвижного центра, равна геометрической сумме моментов всех внешних сил
относительно того же центра
 
 
dK o
e
  mo Fk 
dt
n
закон сохранения кинетического момента
механической системы
1)

Ko  const ,
 m F   0
o
e
k
n
т.е. кинетический момент системы не изменяется со временем ни
по величине, ни по направлению
2)
 m F 
o
n
e
k
 
e
m
F
 0,  x k  0
n
K x  const ,
т.е. кинетический момент системы сохраняет свое значение
относительно данной оси
14.4. Кинетическая энергия. Работа
14.4.1. Работа силы
Естественный способ
dA  F dS
F  F cos 
dA  F cos dS
dA F dS
W

 F V
dt
dt
dS
Векторный способ
М
dA  F  dr
Координатный способ

F
F 
V

dA  Fx dx  Fy dy  Fz dz
x1
y1
z1
x0
y0
z0
A M 0M1    Fx dx   Fy dy   Fz dz
Мощностью называют величину, равную работе силы
за единицу времени
Работа силы тяжести
A M 0 M1  
z
M0
z1
h
  P dz  Pz 0  z1 

P
z0
z0
M
M1
z1
h  z 0  z1
O
x0
y
y0
A M 0M1    Ph
x1
x
y1
работа силы тяжести равна произведению ее модуля на
вертикальное перемещение точки приложения силы
l
Работа силы упругости
x1
x1
l0

c 2
A M 0M1    Fx dx  c  xdx  x0  x12
2
x0
x0

c
2
2
A M 0 M1  F   l 0   l1 
2


F

l
M
x
M0
M1
F
cx0
O x0
cx1
x1
x
Работа внутренних сил твердого тела
Pj   Pk
i
i
drk  dr j  dr
Mj
dAP   dAP  
i
i
j
 Pj  drj  Pk  drk
i
 
 
O
dA Pj  dA Pk 
i
i
 Pj  drj  Pj  drj  dr  
i
  Pj  dr
i

i

cos Pj , dr  0
 
i
 
 i
dr  Pj

M’j
i 
Pj P i
k

rk

rj
k
i

dr j
i
i
j

dr

drk

dr j
Mk
900

dr  M j M k

dA Pj  dA Pk  P dr cos Pj , dr  0
i
M’k
i
A
i
k

dr
0
n
i
dA
 k 0
n
14.4.2. Кинетическая энергия точки
Кинетической энергией материальной точки,
называется скалярная величина, равная половине
произведения ее массы на квадрат скорости точки
ma   Fk
M0
n
dV dV dS
dV
a 

V
dt
dS dt
dS
dV
mV
  Fk
dS
n
mVdV   Fk dS
В дифференциальном виде
 mV 2 
   dAk
d 
 2  n
mV 2
2

V0 M
 
а V

а
F
k
M1 

V1
n
изменение кинетической энергии точки равно сумме
элементарных работ всех сил, приложенных к данной точке
В интегральном виде
 mV
V d  2
0
V1
2
1
2

    dAk
n M0

M1
2
0
mV
mV

  Ak  M 0 M1 
2
2
n
изменение кинетической энергии точки на ее конечном
перемещении равно сумме работ, выполняемых всеми
приложенных к ней силами, на том же перемещении
14.4.3. Кинетическая энергия
механической системы
Кинетической энергией механической системы
называется скалярная величина, равная
арифметической сумме кинетических
T
энергий точек данной системы
mk V
n 2
2
k
Поступательное движение механической системы
Vk  const
T
V
2
2
m
k
n
MV 2
T
2
кинетическая энергия механической системы при ее
поступательном движении равна половине произведения
массы системы на квадрат ее скорости
Вращательное движение механической системы
V    hk
z
mk hk 
T 

2
n
1 2
2
   mk hk
2
n
2
I z   mk hk2
n
I z
T
2
2

O hk
Mk

Vk

Кинетическая энергия механической
системы при ее вращательном
движении равна половине
произведения ее момента инерции,
взятого относительно оси вращения,
на квадрат угловой скорости
Плоскопараллельное движение
2
c
MV
T 
2
I cz

2
2
теорема об изменении кинетической энергии
механической системы
 mkVk2 
  dAke  dAki
d 
 2 
T1  T0   Ake   Aki
n
n

 mkVk2 
   dAke   dAki
d  
n
 n 2  n
dT   dAke   dAki
n
n
изменение кинетической энергии механической системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом же перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил