Презентация В.Л.Васюкова

Математический
плюрализм –
современный вызов
математике?
В.Л.Васюков
Институт философии
РАН
e-mail:
vasyukov4@gmail.com
20-е столетие явилось свидетелем
нескольких попыток построить (часть)
математику на различных основаниях ,
отличающихся от тех, которые дает ей
классическая логика. Основополагающие
интуиционистские и конструктивные
построения теории множеств,
арифметики, анализа, и т..д. позднее
сменились подобными же построениями,
основанными на релевантной,
паранепротиворечивой, модальной и
других неклассических логиках.
Первая конференция
«Неклассическая
Математика 2009»
пройдет 18-22 июня
2009 в г. Хейнице,
Чехия.
Предусмотрены следующие
основные секции (тематика
их может быть расширена):
Предмет исследования
подобных теорий может
быть назван
неклассической
математикой и формально
пониматься как изучение
(части) математики,
которая формализована,
или может быть в
принципе формализована,
в рамках некоторой логики,
отличной от классической.
Интуиционистская математика: арифметика
Гейтинга, интуиционистская тория множеств,
топосные основания математики и т.д.
Конструктивная математика: конструктивная
теория множеств или типов, бесточечная
топология и т.д.
Подструктурная математика: релевантная арифметика,
наивная теория множеств без сокращений,
аксиоматическая теория нечетких множеств и
т.д.
Противоречивая (паранепротиворечивая) математика:
исчисление бесконечно малых, противоречивая
теория множеств и т.п.
Модальная математика: арифметика или теория
множеств с эпистемическими, алетическими
или другими модальностями, принципы
модального выделения, модальная трактовка
пустых объектов, модальный структурализм и
т.д.
Неевклидовы геометрии
Нечеткая теория множеств
A1. Аксиомы равенства: u (u = u); u.v(u = v  v = u),
u,v,w(u = v  v = w u = w);
u,v.w(u = v  u w v  w); u,v,w(u = v  w u w v).
A2. Экстенсиональность: u,v(z(z wzv) u = v).
A3. Аксиома пары: u,vxz(zx z = u  z = v).
A4. Объединение: uxz(zx  yu(zy).
A5. Степень: uxz(zx yz(yu).
A6. Индукция: Ext(x)  x(yx(y) (x))  x(x).
Petr Hajek
A6. Отделение: xyz(zy  zx  z’(z = z’ (z’))).
A7. Аксиома выделения: u[yExt(x,y)  v(xuy(x,y)  xuy((yv)  (x,y)))].
A8. Бесконечность: x(y(yx  yx(z(yz)).
A8. Двойное долполнение: uxz(zx (zu)).
A7. Лемма Цорна: y(Chain(y,x)  yx  zMax(z,x), где
Chain(y,x): t(ty  (y x)  t,uy(t u  u t),
Max(z,x): zx  tx(z t  z = t)” (здесь w u означает (w u), а x z означает (x z))
Квантовая
математика
В работе Г. Такеути
«Квантовая теория множеств»
доказано, что квантовая
теория множеств
(сконструированная mutatis
mutandis таким же образом,
что и нечеткая теория
множеств) выполняется в
квантовозначном универсуме.
G.Takeuti
«…математика, основанная на квантовой логике, имеет очень
богатое математическое содержание. Это ясно демонстрируется тем фактом, что имеется много полных булевых
алгебр внутри квантовой логики. Для каждой полной булевой
алгебры B математика, основанная на B, как показано… имеет богатое
математическое значение. Поскольку математика, основанная на B, может
рассматриваться как подтеория математики, основанной на квантовой
логике, нет никаких сомнений относительно того факта, что математика,
основанная на квантовой логике, очень богата.
Cитуация, по-видимому, выглядит следующим образом.
Математика, основанная на
квантовой логике, чересчур огромна,
чтобы довести ее до конца»
Паранепротиворечивая математика
«Перефразируя Маркса: философы до
сих пор пытались объяснить природу
противоречия, но задача заключается в
том, чтобы изменить ее» - К.Мортенсен.
Глава 2: релевантная арифметика
Глава 3: эквациональные теории, сконструированные
из противоречивых моделей по модулю бесконечных
простых чисел
Глава 4: результаты классической теории моделей
(случай плотного упорядочения без конечных точек) не
проходят в противоречивом случае
Глава 5: параполные теории дифференцирования
Глава 6: противоречивые функции
Глава 7: дельта функции, рассматриваемые как
паранепротиворечивые производные противоречивых
непрерывных функций
Глава 8: противоречивые системы линейных уравнений
Глава 9: противоречивые векторные пространства
Глава 10: противоречивые фактор-топологии
Глава 11,12,13: паранепротиворечивые топосы
Глава 12: методы Гёделя в случае противоречивой
арифметики, предикат истинности для теории Крипке в
случае параполной теории, противоречивая теория
Релевантная арифметика
Р. Мейер
Арифметика Пеано (PA)
Первопорядковая классическая
логика (FOL) +
Аксиомы Пеано-Дедекинда:
(A0): ¬(x’ = 0)
(A1): x’ = y’  x = y
(A2): x + 0 = x
(A3): x + y’ = (x + y)’
(A4): x · 0 = 0
(A5): x · y’ = x · y + x
(A6): x = y x’ = y’
(A7): x = y  (x = z  z = y)
(A8): A[0] x(A[x]  A[x’])  xA[x]
Релевантная
арифметика Пеано R#
FOL заменяется на R
Предупреждение:  теперь
означает релевантную, а не
классическую импликацию
(A0): ¬(x’ = 0)
(A1): x’ = y’  x = y
(A2): x + 0 = x
(A3): x + y’ = (x + y)’
(A4): x · 0 = 0
(A5): x · y’ = x · y + x
(A6): x = y x’ = y’
(A7): x = y  (x = z  z = y)
(A8): A[0] x(A[x]  A[x’]) 
xA[x]
PA├ A не влечет R#├ A
ФОРМАЛЬНАЯ
ТОПОЛОГИЯ
Если в топологии само
понятие топологии обычно
задается с помощью
постулирования множества
открытых множеств и их
замкнутости относительно
теоретико-множественного
пересечения, то,
модифицируя пересечение,
мы получим различные
топологии в тех же самых
исходных рамках
Giovanni Sambin
•
A = (S,,1,,Pos) является формальной
топологией тогда и только тогда, когда (S,,1)
есть коммутативный моноид,  (формальное
покрытие) удовлетворяет следующим
условиям:
•
•
aU
aU
•
aU (bU)(bV) (транзитивность)
•
aV
•
aU
•
abU
•
aU aV
•
a{bc:bU,cV}
•
•
а Pos (предикат позитивности) удовлетворяет
условиям
Pos(a) aU
(монотонность)
•
•
(bU)Pos(b)
Pos(a)  aU (позитивность)
•
aU
(рефлексивность)
(  - слева)
(  - справа)
Формальная топология
Для данной формальной предтопологии A = (S,,1,) и
множества A  S мы называем xA граничным элементом A,
если все предпокрытия x пересекаются как с A, так и с его
дополнением S\A. Граница A множества A представляет
собой совокупность всех граничных элементов A, т.е.
A = {xS: U(xU  U  A   и U  (S\A)  )}.
Подходя к этому определению более формально (т.е.
обобщая его), мы можем определить формальную границу
A как
A = {xS: U(xU  U  A   и U A  )},
где A = {xS: –xA} и – есть унарная операция на S,
например, заимствованная из моноида де Моргана D = S, ,
, –, 1 определенного на S
Формальная топология
•
•
•
Все эти конструкции кажутся чересчур искусственными, чтобы
принимать их в расчет (по крайней мере, с методологической точки
зрения).
Но ситуация изменяется, если мы будем иметь дело с неклассическими
теориями множеств в классическом универсуме. Если, например, с
самого начала все построения выполняются в рамках теории множеств,
основывающейся на интуиционистской пропозициональной логике с
сильным отрицанием – логике с двумя отрицаниями, чьим
алгебраическим эквивалентом является алгебра Нельсона, то
присутствие двух границ в нашей топологии будет естественной
особенностью рассмотрения.
Следовательно, если допускать множественность логических
оснований (становясь на позицию логического плюрализма), то стоит
принимать во внимание возможные топологические особенности
рассматриваемой формальной топологии.
Формальная топология
Элементарная теория категорий
С точки зрения логики теория категорий может рассматриваться как элементарная теория,
чьи категорные» нелогические аксиомы добавлены к первопорядковому исчиcлению с
равенством. Подобный подход был реализован еще в 60-70-е годы У. Хэтчером, Ж.Блан и
М.Р. Донадью и др.
Язык элементарной теории
категорий ETAC состоит из:
(i) счетного множества переменных
двух типов:
переменных типа объект: x1, x2, …
переменных типа стрелки: f, g, h, …
(ii) логических констант: , , , ,
, , , ;
(iii) тернарного предиката D(-, -, -),
где первая переменная имеет тип
стрелки, а две других переменных
являются переменными типа
объект (D(f,x1,x2) означает «f есть
стрелка из x1 в x2 »);
(iv) тернарного предиката (-, -, -),
где все переменные имеют тип
стрелки ((f,g,h) означает «h
является композицией f и g»).
Аксиомы ЕТАС
•Ах1. f !x1,x2 [D(f,x1,x2)]
•Ax2. x1 i [x1,i)  D(i,x1,x1)], где
x1,i) представляет собой формулу
f,g,x2,x3[D(f , x1, x2)D(g, x3, x1)
(i,f,f)(g,i,g)]
•Ax3. h (f, g, h)  x1, x2, x3 [D(f, x1,
x2)  D(g, x2, x3)D(h, x1, x3)]
•Ax4. D(f,x1,x2)  D(g,x2,x3)   h (f,g,h)
•Ax5. (f,g,h)  (f,g,h)  h = h
•Ax6. (f,g,k)  (g,h,l)  (f,l,m) 
(k,h,m)  m = m
Элементарная теория категорий
Паранепротиворечивая элементарная
теория категорий получается при
замене классической
первопорядковой логики с
равенством, лежащей в основании
элементарной теории категорий на
паранепротиворечивую логику С1=
N.C.A.da Costa
Otavio Buenoi
Anelice Volkov
Теория топосов
Топос представляет
собой категорию
специального вида, в
котором существует
выделенный объект,
обладающий той
особенностью, что он
представляет собой
алгебру Гейтинга,
структуру которой он
навязывает различным
уровням топоса.
Релевантная
алгебра
Паранепротиворечивая
алгебра
Ортомодулярные
решетки
Адаптивная математика?
Адаптивная логика характеризуется верхней
граничной логикой, нижней граничной логикой и
адаптивной стратегией. Верхняя логика определяет
множество логических предпосылок. Нижняя логика
отменяет некоторые из этих предпосылок.
Интуитивная идея заключается в том, что множество
предпосылок истолковывается «насколько это
возможно» в соответствии с предпосылками верхней
логики. Адаптивная стратегия устанавливает точное
значение этой «максимальной возможности».
Если, например, классическая логика служит верхней
граничной логикой, а паранепротиворечивая логика нижней, то если предпосылки непротиворечивы, то
адаптивная логика дает все классические следствия,
если же они противоречивы, то адаптивная логика
все равно дает больше следствий, чем
паранепротиворечивая.
D.Batens
Адаптивная
математика
Нижняя классическая
Верхняя неклассическая
Адаптивная стратегия –
выявить все возможные
нестандартные
математические
результаты
Математический
плюрализм
Математический
плюрализм
Оппозиция евклидовой и
неевклидовой геометрий:
является ли наше пространство
глобально евклидовым, а
локально неевклидовым, или
наоборот: оно глобально
неевклидово, будучи в то же
время локально евклидовым.
Оппозиция классической и
неклассической математик:
является ли наша математика
глобально классической, а
локально неклассической, или
наоборот: она глобально
неклассическая, будучи в то же
время локально классической.