Матрицы

Тема 1. «Матрицы и действия над ними»
Основные понятия:
1. Определение матрицы
2. Виды матриц
3. Действия над матрицами
4. Перестановочные матрицы
завершить
1. Определение матрицы
Прямоугольная таблица чисел вида
 à11 à12

à
à
21
22

À
 ... ...

 àm1 àm 2
... à1n 

... à2 n 
... ... 

... àmn 
называется матрицей.
àij - элементы матрицы.
Размер матрицы
Главная диагональ матрицы
Побочная диагональ матрицы
назад
2. Виды матриц
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Прямоугольная
Квадратная
Нулевая
Единичная
Диагональная
Симметричная
Вырожденная
Равные
Треугольная
Квазитреугольная (ступенчатая или трапециевидная)
Матрица-строка или строчная матрица
Матрица-столбец или столбцевая матриц
назад
Матрица называется прямоугольной, если количество ее
строк не совпадает с количеством столбцов:
1
À
0
2
2
3
0
3 

5 
Матрица называется квадратной, если количество ее строк
совпадает с количеством столбцов:
 7 45 
À

 1 0
назад
Матрица называется нулевой, если все ее элементы нулевые :
0 0 0
À

0 0 0
Квадратная матрица называется единичной, если элементы
по главной диагонали единицы, а остальные элементы
нулевые :
1 0 0


À  0 1 0
0 0 1


назад
Квадратная матрица называется диагональной, если
элементы по главной диагонали отличны от нуля, а
остальные элементы нулевые:
 2 0 0


À   0 3 0 
0 0 1


Квадратная матрица называется симметричной, если
относительно главной диагонали для всех ее элементов
выполняется условие aij  a ji :
 1 0 1


À   0 2 77 
 1 77 3 


назад
Квадратная матрица называется вырожденной, если ее
определитель равен нулю.
Матрицы А и В (одинаковых размерностей) называются
равными, если aij  bij :
 1 3 


À   13 0 
2 7


 1 3 


B   13 0 
2 7


назад
Квадратные матрицы вида
 a11


a
 n1
a1n 
 или

0 
 a11


 0

a1n 


ann 
называются треугольными.
 1 2 3


À   4 5 0
6 0 0


1

0
À
0

0
4

7
9

0 0 10 
2 3
5 6
0 8
назад
Прямоугольная матрица вида
 a11

0



 0
a12
a1m
a22
a2 m
0
amm
a1n 

a2 n 


amn 
называется квазитреугольной (ступенчатая или
трапециевидная)
1

À 0
0

2
1
0
3
2
0
2
3
3
3
1
1
1

0
5 
назад
Матрица, состоящая из одной строки называется матрицейстрокой или строчной матрицей.
À  1 2 3 0
Матрица, состоящая из одного столбца называется
матрицей-столбцом или столбцевой матрицей
 2 
 
À 0 
 2
 
назад
Операции над матрицами
Линейные:
1) Сумма (разность) матриц;
2) Произведение матрицы на число.
Нелинейные:
1) Транспонирование матрицы;
2) Умножение матриц;
3) Нахождение обратной матрицы.
назад
Суммой (разностью) двух матриц одинаковой
размерности называется матрица, элементы которой
равны сумме (разности) соответствующих элементов
матриц слагаемых.
Например:
 à11 à12 à13 
 b11 b12 b13 
À
, B  

 à21 à22 à23 
 b21 b22 b23 
 à11  b11 à12  b12 à13  b13 
A B  

 à21  b21 à22  b22 à23  b23 
Пример
назад
Пример
 2

À 0
 4

3
 5


4 , B   7
 2
9 

6

0
1 
A B  ?
A B  ?
B A?
Ответ
назад
Произведением матрицы на число называется матрица,
полученная из данной умножением всех ее элементов
на число.
Например:
 à11 à12 à13 
  À   

 à21 à22 à23 
   à11   à12   à13 


   à21   à22   à23 
Пример
назад
Линейные операции обладают следующими свойствами:
1) A  B  B  A
2)  A  B   C  A   B  C 
3) A  0  A
4) A    A   0
5) 1  A  A
6)      A        A
7)    A  B     A    B
8)      A    A    A
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее
строки столбцом с тем же номером, называется
матрицей, транспонированной относительно
данной.
Например:
 à11 à12 à13 
À
,
 à21 à22 à23 
 à11 à21 


T
A   à12 à22 
à

à
23 
 13
Свойства
назад
Умножение матриц определяется для согласованных
матриц.
Произведением матрицы Àmn   àij  на матрицу
Bnk   bij  называется матрица Cmk   cij  , для
которой cij  ai1  b1 j  ai 2  b2 j  ...  ain  bnj ,
т.е. каждый элемент матрицы С равен сумме
произведений элементов i-й строки матрицы А
на соответствующие элементы j-го столбца
матрицы В.
Например
Свойства
назад
Например:
 b11 
 à11 à12 à13   

   b21  
 à21 à22 à23   b 
 31 
 à11  b11  à12  b21  à13  b31 


 à21  b11  à22  b21  à23  b31 
Пример
назад
В случае, когда АВ=ВА, матрицы А и В называют
перестановочными или коммутативными.
Пример 1. Найти все перестановочные матрицы к матрице
 1 2 
À

0 3 
Пример 2. Найти все перестановочные матрицы к матрице
 2 4 
À

 1 0 
назад
Ответ:
 3 9 


A B   7 4 
 6 10 


 7 3 


A  B   7 4 
 2 8 


 7 3 


B  A   7 4 
 2 8 


назад
Пример
 2

À 0
 4

3
 5


4 , B   7
 2
9 

6

0
1 
2A  ?
3B  ?
4B  7 A  ?
Ответ
назад
Ответ:
4 6


2A   0 8 
 8 18 


 15 18 


3B   21 0 
 6


3


 34 3 


4 B  7 A   28 28 
 20 59 


назад
Свойства операции транспонирования:
1)  A

T T
A
2)  A  B   A  B
T
T
T
3)  A  B   B A
T
T
T
назад
Матрица А называется согласованной с
матрицей В, если число столбцов матрицы А
равно числу строк матрицы В:
Например:
1)
Àmn ,
Bnk
2)
À24 ,
B41
3)
Àm2 ,
B2k
назад
Пример
 2

À 0
 4

A B  ?
3
4
9

 1 2 

,
B




0 3 


B A  ?
A B ?
B A?
A B ?
B A ?
T
T
T
T
T
T
Ответ
назад
Ответ:
 2 3
 1 2 


À   0 4 , B  

0
3


 4 9 


 2 5


A  B   0 12 
 4 35 


B  A,
AT  B,
BT  A,
 2
B A 
5
T
T
0
12
AT  BT í åâî çì î æí î
4 

35 
назад
Свойства операции умножение матриц:
1. Свойство сочетательности или ассоциативности
 AB  C  A  BC 
2.
  AB   A  B    A B
3.
Свойство распределительности (дистрибутивности)
справа и слева относительно сложения матриц
 A  B  C  AC  BC
C  A  B   CA  CB
назад
Решение (Пример 1):
a b

1) B 

 общий вид всех перестановочных матриц
c d 
2) Применим определение перестановочных матриц
AB=BA:
 1 2  a b   a  2c b  2d 
ÀB  



3d 
 0 3  c d   3c
 a b  1 2   a 2a  3b 
BA  



c
d
0
3
c

2
c

3
d


 

Получаем:  a  2c

 3c
b  2d   a 2a  3b 


3d   c 2c  3d 
3) По определению равных матриц
a  2c  a
a  R
b  2d  2a  3b b  a  d




3c  c
c  0
3d  2c  3d
d  R
4) Общий вид всех перестановочных матриц
a a d 
B

d 
0
5) Проверка
назад
Ответ:
4c 
a
B

 c 2c  a 
 d  2c 4c 
или B  

d
 c
a
2 d  2a 

или B  

0,5
d

0,5
a
d


назад
Спасибо за внимание!
Не забывайте готовиться к
лекциям и семинарам!
(Тема следующей лекции «Определители»)
Удачи!