Построение графиков функций, уравнений и соответствий

Работа республиканского конкурса лучших элективных курсов для профильного
обучения « Будущее Чувашии в инновационном мышлении» МОУ «Тюрлеминская
СОШ» Козловского района Григорьевой Нины Анатольевны.
Конкурс по номинацию «Разработка программ и учебных материалов элективных
учебных предметов для предпрофильной подготовки профильного обучения.
Элективный курс «Построение графиков функций, уравнений и соответствий» по
предпрофильной подготовке учащихся 9 классов
Введение.
Современная школа требует новых форм обучения в образовании детей, поскольку
уровень знаний детей разного жизненного уклада различен и требует особого подхода.
Сегодня в школу пришло новое поколение детей, чье детство проходит у экранов
телевизоров, у многих рядом с компьютером. Наши сегодняшние дети растут в другом
информационном пространстве.
Учебный материал по теме «Построение и преобразование графиков функций» разбит
на несколько лет обучения: изучение линейной функций и начальные сведения о
степенной функции (y=x2 и y=x3) изучаются в 7 классе; обратная пропорциональность,
функция y  x и в 8 классе; квадратичная функция – в 9 классе; преобразование
графиков этих функций (растяжение, сжатие, параллельный перенос, модуль) – в 9 и 10
классах.
Отношение к теме «Линейная функция» у учащихся формируется, не как к основной, а
второстепенной теме, что приводит к неправильному ее восприятию и быстрому
забыванию. Затем, в 8 классе при изучении квадратного трехчлена, квадратных уравнений
и неравенств, тема «Квадратичная функция» тоже является, как бы вспомогательной, а уж
k
об обратной пропорциональности и говорить не приходится. График функции y  , его
x
построение, способы его задания и преобразование вообще вызывают у учащихся стойкое
отвращение.
Часто, требование учителя к оформлению чертежей остаются без вниманий. Как
следствие, задачи на преобразование графиков сложных, а также задачи, требующие
графического решения, как более рационального, становятся для учащихся часто
непреодолимым препятствием. Возникает психологических барьер перед решением таких
задач. Поэтому, в расчете на то, сто учителя – народ творческий и благодаря
наработанному опыту сами в состоянии разработать поурочное планирование, составить
планы уроков, с учетом разнообразия их форм и видов, я предлагаю задания, которые
можно использовать при организации повторение и подготовке к итоговой аттестации в 9
классе. Задания содержит для повторения теоретического материала, самостоятельные
работы, контрольные работы, индивидуальные задания, тесты, вопросы для зачета.
Общеобразовательная школа должна формировать новую систему универсальных
знаний, умений, навыков. Не секрет, что в одном и том же классе дети ведут себя поразному, поэтому разработан проект для учителей, которые готовы находиться рядом со
своими учениками, когда те учатся говорить, читать, слушать других, ставить вопросы и
искать на них ответы, решать задачи.
Пояснительная записка
Современное образование должно быть не только качественным, но и доступным. Именно
поэтому общеобразовательные учреждения создают условия для того, чтобы
обучающиеся в них дети имели возможность освоить инновационные образовательные
программы, обеспечивающие их успешное развитие в соответствии с возрастными
особенностями, индивидуальными склонностями и предпочтениями. Следовательно, об
уровне доступности качественного образования, созданного в школе, можно судить в том
числе по наличию вариантов программ для разных групп учащихся, то есть полноте
удовлетворения их образовательных запросов.
В законе РФ “Об образовании” указывается на необходимость развития творческих
возможностей одаренных детей, которые в дальнейшем станут носителями ведущих идей
общественного прогресса.
Многие говорят, что математика скучна. Так думают люди, далеко стоящие от
математики. Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как
творчество живописца или поэта, - совокупность идей, подобно совокупности красок или
слов, должна обладать внутренней гармонией. Холодные числа, внешне сухие формулы
математики полны внутренней красоты.
Научить ребят видеть красоту математики, развить, сформировать интерес к ней –
одна из важнейших задач обучения математике. Ведь устойчивый познавательный
интерес – один из инструментов, побуждающий учащихся к более глубокому познанию
предмета, развивающий их способности. Считаю, что в обучении гораздо важнее научить
ребёнка мыслить, чем сообщить ему те или иные знания. Открыть ребёнку всю радость,
привлекательность, роскошь мысли – ещё одна из важных задач, стоящих перед учителем:
не мыслям нужно учить, а мыслить. И если глаза учеников блестят от радости открытий,
и если кто-то скажет: “Как я люблю эти функции и их графики!”, то, наверно, мой труд не
напрасен.
Главное богатство математики – это созданный ею мир идей. Наиболее значительные из
них должны войти в сознание каждого конкретного человека независимо от выбираемого
им профессионального пути. Ведь математика формирует качества личности,
необходимые человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и
точность мысли, сообразительность, интуиция, способность к преодолению трудностей,
творческая активность и самостоятельность, способность воспринимать красоту и
гармонию мира.
Именно этим целям служат мои элективные курсы, основной идеей, которой является:

как можно применять хорошо известные свойства функций в тех ситуациях, где
ученики не привыкли ими пользоваться;

как с помощью геометрических преобразований быстро, легко и красиво
построить график уравнения, содержащего один, два, три и большее число модулей;

как построить график сложной функции, применяя разные способы и приёмы.
Замечу, что, говоря о построении графика функции, имеется в виду лишь его эскизное
изображение, отражающее характерные особенности функции, передающие ее ход на всей
области определения. Это требует умения математически грамотно размышлять,
продумывать, на что следует обратить внимание и как передать те или иные черты
поведения функции на рисунке.
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ
ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ
(профильный уровень)
Функции. Область определения и множество значений. График функции.
Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций:
монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки
возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума
(локального максимума и минимума). Выпуклость функции. Графическая интерпретация.
Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.
Сложная функция (композиция функций). Взаимно обратные функции. Область
определения и область значений обратной функции. График обратной функции.
Нахождение функции, обратной данной.
Степенная функция с натуральным показателем, ее свойства и график.
Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных
функций.
Тригонометрические функции, их свойства и графики, периодичность, основной
период. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
Показательная функция (экспонента), ее свойства и график.
Логарифмическая функция, ее свойства и график.
Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей
координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой
y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.
ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ
ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ
В результате изучения математики на профильном уровне ученик должен
уметь:
 определять значение функции по значению аргумента при различных способах
задания функции;
 строить графики изученных функций;
 описывать по графику и в простейших случаях по формуле1 поведение и
свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие
значения;
 решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства
функций и их графиков;
 использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и
повседневной жизни.
 описать с помощью функций различных зависимостей, представлять их
графически, интерпретации графиков.
Элективный курс «Построение графиков функций, уравнений и соответствий» по
предпрофильной подготовке учащихся 9 классов посвящен одному из основных понятий
современной математики – функциональной зависимости. Понятие функциональной
зависимости, являясь одним из центральных мест в математике, пронизывает все ее
приложения, оно, как ни одно другое, приучает воспринимать величины в их живой
изменчивости, во взаимной связи и обусловленности. Изучение поведения функций и
построение их графиков являются важным разделом школьного курса. Свободное
владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой
является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики
функций представляет большой интерес для самих учащихся. Однако на базе основной
школы материал, связанный с этим вопросом, представлен несколько хаотично, изучается
недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу. Цель элективного
курса – прояснить и дополнить школьный материал, связанный с функциями и построение
их графиков.
На изучение всего курса отводится 14 ч, по окончании предусмотрено зачетное
мероприятие на 2 ч в виде контрольной или тестовой работы, возможны также другие,
комбинированные формы диагностики (защита проектов и презентаций творческих и
исследовательских работ учащихся). Реферативная и исследовательская деятельность
учащихся позволяет удовлетворять их индивидуальные потребности и интересы, выявлять
их индивидуальные возможности, т.е. максимально индивидуализировать обучение.
Краткая программа элективного курса по математике:
«ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ, УРАВНЕНИЙ И СООТВЕТСТВИЙ»
СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
Тема 1. Понятия функции и графика ( 2часа).
На первых двух занятиях учащимся сообщается цель и значение данного элективного
курса. Выявляются и систематизируются их знания о функциональной зависимости.
Определяется понятийный аппарат, круг доступных задач, предоставляется
дополнительная информация для расширения возможностей учащихся. При этом
целесообразно использование разнообразного наглядного материала.
Тема 2. Преобразование графиков ( 4 часа).
При построении графиков многих функций можно избежать проведения подробного
исследования. Изложению методов, упрощающих аналитическое выражение функции и
облегчающих построение графиков, посвящены следующие четыре урока. В результате
учащиеся получают практическое руководство для построения эскизов графиков многих
функций.
Тема 3. Действия над функциями ( 3часа).
Графики суммы (разности) произведения и частного двух функций также можно
построить без применения методов математического анализа, используя определенные
правила. Особенно эффективен этот метод в случае, когда исходные функции являются
элементарными. В этой же теме рассматривается построение графиков функций,
содержащих знак модуля.
Тема 4. Дополнительный материал ( 4 часа).
В качестве дополнительного материала рассматривается функционально-графический
подход к решению задач.
Учебно – тематический план элективного курса
№
Тема занятий
Количество часов
практи
всего теория
ка
Форма
проведения
Образовательный
продукт
2
лекция
опорный конспект
Понятия функции и графика:
1
зависимость;
график функции;
1
1
способы задания функции
Преобразование графиков:
перенос вдоль оси ординат;
перенос вдоль оси абсцисс;
2
4
2
2
лекция,
практикум,
тренинг
опорный конспект,
решенные задания
3
1
2
лекция,
мастер класс
таблицы, схемы,
опорный конспект
4
2
2
лекция,
практикум
решенные задания
1
-
1
защита
работы,
проекта
14
6
8
сжатие (растяжение) вдоль оси
ординат;
сжатие (растяжение) вдоль оси
абсцисс
Действия над функциями:
сумма (разность) функций;
3
произведение функций;
частное двух функций;
функции, содержащие
операцию взятия модуля
Дополнительный материал:
4
5
функционально-графический
подход к решению задач
Итоговая диагностика
Итого
Задания для самоконтроля
I. Повторение теоретического материала.
Функция y=kx+b
Вопросы:
1. Дать определение линейной функции.
2. Что является графиком линейной функции?
3. Сколько точек достаточно для построения графика линейной функции?
Функция у 
к
с
ах  в
Вопросы:
1. Функция какого вида называется дробно-линейной?
2. Какая кривая является графиком этой функции?
3. Как строится гипербола?
4. Пусть известен вид графика функции y=ƒ(x). Как получается из данного графика
графики функций:
а) y=-ƒ(x); б) y=ƒ(-x); в) у=ƒ(х)+а, а-const; г) у=ƒ(х+а); д) у=к ƒ(х), к-const; е) у=ƒ(кх); ж)
у=|ƒ(x)|; з) у=ƒ(|x|).
Функция y=ax2+bx+c
Вопросы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Как называется функция вида y=ax2+bx+c?
Как называется кривая, являющаяся графиком квадратичной функции?
Как найти координаты вершины параболы?
Что такое нули функции?
Как расположены ветви параболы в зависимости от коэффициентов?
Как располагается парабола в зависимости от дискриминанта?
Как строится парабола?
Функция у 
Вопросы:
1. Какова область определения функции у 
2. Как расположен график функции у 
х
х?
х?
3. Принадлежит ли графику функции у  х начало координат?
4. Какие значения принимает функция при х>0?
5. Когда функция у  х обращается в ноль?
II. Самостоятельные работы.
Функция y=kx+b
1) Постройте графики функций, заданные формулами:
а) у=2х+5; б) у=2х+2; в) у=2х-2; г) у=2х-6.
2) Не выполняя построения графика функции у=1,2х-7, выясните, проходит ли этот
график через точку: а) А(100;113); б) В (-15;-25); в) С (-10;5); г) Д (300; 353).
Функция у = ах2+вх+с
1) В одной координатной плоскости постройте график функций у=-х2+2х+8 и у=2х2.
2) В одной координатной плоскости постройте графики функций у=2х 2-2 и у=2(х-3)2.
к
c
Функция у 
ах  b
Используя график функции постройте графики следующих функций:
2
4
3
3
х3
2х 1
 4 ; 5) у 
1) у 
; 2) у 
; 3) у   3 ; 4) у 
; 6) у 
;
х
х2
х2
х2
х2
4 х
2
3х  1
3
2
3
7) у 
; 8) у 
; 9) у  ; 10) у   ; 11) у 
;
4х  3
2х  5
х
х
х 2
12) у 
2
1 ;
х2
13) у 
х 2
х 2
х2
; 14) у 
; 15) у 
.
х 2
х2
х 2
Функция у  х
1) Пользуясь графиком функции у  х , найдите:
а) значения х при х=1; 2,5; 4; 5,5; 7; 9.
б) значение х, к которому соответствует х =1; 1,2; 2; 2,4; 3; 4.
2) Принадлежит ли графику функции у  х точка А (64; 8); В (10000; 100); С (-81; 9); Д
(2,5; -5)?
3) С помощью графика функции у  х сравните числа: а) 0,5 и 0,8 ;
б) 4,2 и
5,7 ; в)
7 и
8.
4) Пересекает ли график функции у  х прямую: а) у=1; б)у=4; в)у=-10; г)у=100?
III. Тестовые задания.
1) Какая из ниже перечисленных функций, является линейной:
а) у=2х-3
а) у=-х2
а) у=х3+1
б) у=х2
б) у=7-9х
б) у=0
в) у=1-х2
в) у=4х+х3
в) у=5х-х4
10 х  7
 х5
г) у=5х-х2
г) у 
г) у 
х
2
2) Даны функции: а) у=2х+5; у=2х+2; у=2х-2; у=2х-6.
а) Запишите функцию, график которой будет параллелен любой из перечисленных выше
функций;
б) Запишите формулу функции, график которой параллелен графикам у=2х+6 и у=2х+2, и
проходящей между ними.
3) Не выполняя построения, найдите координаты точек графика функции у=-2,4х+9,6 с
осями координат:
а) (0; 9,6) и (0; 4)
в) (0; 9,6) и (4; 0)
б) (9,6; 0) и (4; 0)
г) (9,6; 0) и (0; 4)
4) Является ли прямой пропорциональностью функция, заданная формулой:
а) у=2х
а) у=-1
а) у=х+5
х
б) у==х+1
б) у 
б) у=4х2
5
5
в) у=х2
в) у 
в) у=-7х
х
г) у=5
г) у=х2-1
г) у=7-х2
5) Чему равен угловой коэффициент линейной функции, заданной формулой у=-х+0,5.
а) К=1; б)К=-1; в) К=0; г) К=0,5.
6) Выберите верное утверждение:
а) Если К≠0, то график функции у=кх+b пересекает ось х;
б) Если К=0, b≠0, то график функции у=кх=b параллелен оси х;
в) Если К=0, b=0, то график функции у=кх+b совпадает с осью х.
7) График какой функции пересекает ось абсцисс:
а) у=5х-3; б) у=3; в) у=3-х; г) у=-5.
8) График какой функции параллелен оси абсцисс:
а) у=6; б) х=6; в) у=х+1; г) у=-х+1.
9) График какой функции совпадет с осью абсцисс:
а) у=0; б) х=0; в) у=х; г) у=-х.
10) График линейной функции пересекает оси координат в точках (-5; 0) и (0; 11). Задайте
данную функцию формулой: а) у=22К+11; б) у=2,2х-11;
в) у=2,2К+1; г) у=-2,2К-11.
Функция у=ах2+bx+с.
1) Выбрать четные и нечетные функции:
а) ƒ(х)=(3х+2)2; б)ƒ(х)=х4-х2+9; в) ƒ(х)=(х-5)2+(х+5)2.
2) Выбрать верное утверждение:
а) График функции у=ах2 является параболой, которую можно получить растяжением
1
параболы у=х2 от оси х в а раз, если а>1, или сжатием к оси х в
раз, если 0<а<1.
а
б) График функции у=ах2 является параболой, которую можно получить расстоянием
1
параболы у=х2 от оси у в а раз, если а>1, сжатием к оси у в
раз, если 0<а<1.
а
Функция у 
х
1) Для функции у 
х : если х=0, то а) у<0; б) у=0; в) у>0; г) у≠0.
2) Для функции у 
х : если х>0, то а) у=0; б) y>0; в) у<0; г) у≠0.
3) График функции у  х принадлежит точка: а) А (5; 25); б) В (25; 5); в) С (-5;
25); г) Д (-5; 10).
4) Числа расположены в порядке возрастания. Выберите правильный ответ: а) 0,5;
1
1
1
1
1
1
1
1
;
; б)
;
; 0,5; в) 0,5;
;
; г)
; 0,5;
.
2
2
2
2
3
3
3
3
5) Сравните числа. Выберите правильный ответ:
1
1
а) 10 <3; б) 5  6 ; в)
; г) 10  11 .

5
6
IV. Контрольные задания.
Функция у=кх+b.
1) Постройте график прямой пропорциональности, заданной формулами: а) у=2х;
б) у=-2х; в) у=3|x|; г) у=-3|x|.
2) Напишите общую формулу, которой задается линейная функция, расположенная в
I и III коорд. четвертях, II и IV коорд. четвертях.
3) Выполните построение графиков:
а) у=0,5х-2; б) у=0,5х+2; в) у=-0,5х-2; г) у=-0,5х+2; д) у=0,5|x|+2;
е) у=-0,5|x|-2; ж) у=|-0,5х+2|.
Функция у=ах2+bх+с
1. Постройте график функции:
а) у=х2-4х+3; б) у=х2-4|x|+3; в) у=|х2-4х+3|; г) у=|х2-4|x|+3|.
2. Постройте график функции у=2х|x|+х2-6х и найдите: а) область определения и
множество значений; б) промежутки монотонности; в) точки пересечения с осями
координат; г) промежутки знакопостоянства.
3. Найдите такую квадратичную функцию у=ах 2+bх+с, чтобы ее график пересекал ось
абсцисс в точках (-3; 0) и (1; 0), а ось ординат в тоске (0; -9).
4. Дана квадратичная функция у=ах2+bx+с такая, что у(-2)<0, y(3)>0, y(1)>0.
Сравните с нулем: а) а; б) b2-4ас; в) у(-4)×у(6).
Функция у 
к
c
ах  b
к
, постройте следующие графики:
х
3
1
х2
I. 1) у 
; 2) у  
; 3) у 
.
х3
х 1
х 1
2
x 1
2
2
 3 ; 4) y 
II. 2) у 
; 2) у 
; 3) y 
.
x 1
x 1
| x | 1
| x 1|
1) Используя график функции у 
III. 1) y 
| x | 1
| x | 1
; 2) y 
.
| x | 1
| x | 1
Функция у 
х
1) При каком значении х точка А (х; 36) принадлежит графику функции у 
х?
2) При каких значениях у точка В (-7; у) принадлежит графику функции у 
х?
3) Постройте график функции у=0,5 х .
V. Индивидуальные задания.
у=кх+b.
1) Постройте график линейной функции
а) у=|2|x-3|+4|; б) y=|2|x-3|-4|.
2) Используя функции предыдущего задания, напишите формулы линейных функций
а) параллельных данным функций.
б) параллельных данным функциям и проходящим через начало координат.
у=ах2+bx+c.
1. Постройте график функции:
а) у=х2+2х-3
в) у=|x2+2x-3|
2
б) у=х +2|x|-3
г) у=|x2+2|x|-3|
2. Построить график функции: у=4х|x|+x2-15x и найдите: а) Д(у) и Е(у); б) промежутки
знакопостоянства.
3. Найти такую квадратичную функцию у=ах2+bx+c, чтобы ее график пересекал ось
абсцисс в точках (-2; 0) и (4; 0), а ось ординат в точке (0; 24).
4. Дана квадратичная функция у=ах2+bx+c такая, что у(-4)>0, y(2)>0, y(0)<0. Сравните с
нулем: а) а; б) b2-4ac; в) у(-5):у(3).
у
1. Пусть данная функция ƒ(х)=
к
с
ах  b
6
. Постройте графики функций: а) ƒ(х)-1;
х
б)
1
ƒ(х); в)
2
1
ƒ(х)-1; г) ƒ(-х); д) ƒ(|x|); е) |ƒ(x)|.
2
4
2. Пусть Даная функция ƒ(х)=  . Постройте график функций: а) ƒ(-х);
б) –ƒ(х); в)
х
ƒ(х)+2; г) ƒ(х-1); д) |ƒ(x-1)+2|; е)ƒ(|x|)-3.
5
3. Пусть дана функция ƒ(х)=  . Постройте графики функций: а) ƒ(х)-2; б) ƒ(х-2); в) ƒ(хх
2)+3; г) ƒ(-х); д) ƒ(|x|)+4; е) |ƒ(|x|)|.
Литература
1. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М., 1978.
2. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Графики функций: Справочник. Киев,
1981.
3. Ершов Л.В., Райхмист Р.Б. Построение графиков функций: Книга для учителя. М.,
1994.
4. Егерев В.К., Радунский Б.А., Тальский Д.А. Методика построения графиков
функций. М., 1967.
5. Крейнин Я.Л. Функции, пределы, уравнения и неравенства с параметрами. М.,
1995.
6. Сивашинский И.Х. Элементарные функции и графики. М., 1965.
7. Шилов Г.Е. Как строить графики? М., 1982.
Логическим Продолжением выше названного элективного курса предпрофильной
подготовки является профильный элективный курс «Функционально-графический
подход к решению задач с параметром и модулем» для учащихся старших классов.
Курс рассчитан на 34 часа.
Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического
образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка
учащихся к продолжению образования. Основным направлением модернизации
математического школьного образования является отработка механизмов итоговой
аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по
математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В),
встречаются задачи с параметрами. Появление таких заданий на экзаменах далеко не
случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной
математики и методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать
логическую цепочку рассуждений и математическая культура учащихся. В то же время,
решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания.
Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят
громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной
теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в разработке и
проведении данного профильного элективного курса.
Элективный курс знакомит учащихся с функционально-графическими методами решения
алгебраических задач, успешно развивает логическое мышление, умение найти среди
множества способов решения тот, который комфортен для ученика и рационален.
Решение уравнений, неравенств и систем с параметрами и модулем открывает перед
учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для
математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом
математическом материале.
Преподавание элективного курса строится как углубленное изучение вопросов,
предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения
методам и приемам решения математических задач, развивающих научно-теоретическое и
алгоритмическое мышление.
Результативность: элективный курс проходил апробацию в течение трех лет на базе
профильных курсов естественно – научного направления. Учащиеся, посещавшие
профильные курсы, приходили на уроки по желанию. В процессе работы ученики
выдержав дополнительной нагрузки и уровня сложности рассматриваемых задач, весьма
успешно сдали ЕГЭ, получили оценку «4» и «5»набрав при этом от 70 и более баллов.
Программа профильного курса «Функционально-графический подход к решению задач с
параметром и модулем» предназначена для использования в учебно – воспитательном
процессе в общеобразовательных учреждениях.
Краткая программа элективного курса по математике:
«Функционально-графический подход к решению задач с параметрами и модулем»
СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
Тема 1. Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля (2 часа).
Что такое модуль числа? Модули и расстояния. Освобождение от модулей в уравнениях.
Методы решения уравнений содержащих несколько модулей. Параллельное раскрытие
модулей. Метод интервалов в задачах с модулями. Модули и квадраты.
Тема 2. Построение графиков, содержащих знак модуля (2 часа).
Графики элементарных функций, содержащие знак модуля, как у аргумента, так и у
функции; двойные модули; графики уравнений и соответствий, содержащие знак модуля.
Знакомство и работа с компьютерными программами для построения графиков.
Тема 3. Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений
(3 часа).
Рациональные уравнения, однородные уравнения, симметрические уравнения, возвратные
уравнения. Иррациональные уравнения: простейшие, уравнения с несколькими
радикалами, полные квадраты под знаком радикала, домножение на сопряженное, замена
переменной, посторонние корни, применение свойств функций. Показательные и
логарифмические уравнения, тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.
Тема 4. Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов
(2 часа).
Решение неравенств методом интервалов. Неравенства с одним модулем. Освобождение
от модуля в неравенствах. Способы решения рациональных неравенств: разложение на
множители, выделение полного квадрата, приведение к общему знаменателю и
алгебраическое сложение дробей и т.д.
Тема 5. Простейшие задачи с параметрами (1 час).
Понятие параметра. Две основных формы постановки задачи с параметром. Графическая
интерпретация задачи с параметром. Методы решения простейших задач с параметрами.
Тема 6. Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена
(2 часа).
Условия существования корней квадратного трехчлена. Знаки корней. Расположение
корней квадратного трехчлена относительно точки, отрезка. Графическая интерпретация.
Тема 7. Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами (2 часа).
Решение задач с помощью построения графиков левой и правой части уравнения или
неравенства и “считывания” нужной информации с рисунка. Область определения.
Множество значений. Четность. Монотонность. Периодичность. Симметрия графика
относительно начала координат или оси ординат в зависимости от четности функции.
Тема 8. Приемы составления задач с параметрами, используя графики различных
соответствий и уравнений. (1 час).
Демонстрация приёма составления задач с параметром методом “от картинки к задаче”.
Тема 9. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части
уравнений и неравенств (2 часа).
Применение метода оценки левой и правой частей, входящих в уравнение или
неравенство. “Полезные неравенства”: сумма двух взаимно обратных чисел, неравенство
для суммы синуса и косинуса одного аргумента, неравенство между средним
арифметическим и средним геометрическим положительных чисел.
Тема10. Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром у
(2 часа).
Основные приемы решения уравнений: тождественные преобразования, замена
переменной. Равносильность уравнений. Исключение “посторонних” корней. Приемы
решения рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.
Тема 11. Графический способ решения уравнений и неравенств (2 часа).
Работа по построению графиков с помощью компьютерных программ Advanced Grapher,
школьный графопостроитель – 1С, Математика + от AV.
Тема 12. Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений
(2 часа).
Основные приемы решения систем уравнений и неравенств: подстановка, алгебраическое
сложение, введение новых переменных. Системы неравенств с одной и двумя
переменными. Сравнение графического и алгебраического способов решения уравнений и
неравенств. Уравнения, неравенства и системы с параметрами, их решение и
исследование.
Тема 13. Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на
максимум и минимум (2 часа).
Производная сложной функции. Производная и касательная. Вторая производная.
Исследование функций с помощью производной. Применение производной при решении
задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.
Тема14. Комбинированные задачи с модулем и параметрами.
Обобщенный метод областей (4 часа). Перенос метода интервалов с прямой на плоскость.
Обобщенный метод областей. Нахождение площади фигур, ограниченных неравенством.
Применение метода областей к решению уравнений и неравенств с параметрами и
модулем, и их комбинации.
Тема15. Нетрадиционные задачи. Задачи группы "С" из ЕГЭ (5 часов).
Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Нестандартные по
формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами. Задачи с параметром.
От общего к частному и обратно. Задачи с: логическим содержанием. Практикум по
решению задач, относящихся к группе “С”, входящих в контрольно измерительные
материалы ЕГЭ прошлых лет. Разбор методов и способов решения заданий.
Учебно – тематический план элективного курса
(1час в неделю)
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Название темы
Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля.
Построение графиков, содержащих знак модуля
Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений.
Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов.
Простейшие задачи с параметрами.
Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена.
Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами.
Приемы составления задач с параметрами, используя графики различных
соответствий и уравнений.
Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части
уравнений и неравенств.
Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром у.
Графический способ решения уравнений и неравенств.
Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений.
Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на
максимум и минимум.
Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод
областей.
Нетрадиционные задачи.
Количество
часов
2ч
2ч
3ч
2ч
1ч
2ч
2ч
1ч
2ч
2ч
2ч
2ч
2ч
4ч
5ч
15
Задачи группы "С" из ЕГЭ.
Итого:
34 ч
ЛИТЕРАТУРА:
1. Горнштейн П.И., Полонский В. Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.
2. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике "Решение задач" (10 класс).
3. Шарыгин И.Ф., Голубев. В. И. Факультативный курс по математике "Решение
задач" (11 класс).
4. Кухарчик П.Д., Федосенко B.C., Сборник конкурсных задач по математике. М.,
Наука, 1986.
5. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие./ Вавилов
В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. –М.: Наука; 1987.
6. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. “Математика: интенсивный курс подготовки к
экзамену”. – 6-е изд., испр. и доп. – М.: Рольф, 2002. – (Домашний репетитор)
7. Балаян Э.Н. Математика. Сам себе репетитор. Задачи повышенной сложности.
Серия “Абитуриент”, Ростов-на-Дону: Изд-во “Феникс”, 2004.
Презентация