6М060100 - Математика (русское отделение)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АБАЯ
«УТВЕРЖДАЮ»
Директор Института математики,
физики и информатики
_________________ М.Ж. Бекпатшаев
"_____"_______________ 2015
ПРОГРАММА
вступительных экзаменов в магистратуру
по специальности «6M060100 - Математика»
Алматы, 2015
Математический анализ
Вещественные числа. Числовые последовательности.
Предел
функций.
Непрерывность функций. Дифференциальное исчисление. Основные теоремы
дифференциального исчисления. Полное исследование функций и построение графика.
Неопределенный интеграл. Определенный интеграл Римана. Вектор-функции.
Функции нескольких переменных. Неявные функции.
Числовые ряды. Функциональные последовательности и ряды. Несобственные
интегралы. Интегралы, зависящие от параметра. Ряды Фурье и преобразования Фурье.
Представление функций интегралом Фурье.
Кратные интегралы. Криволинейные интегралы. Поверхностные интегралы. Теория
поля. Мера и интеграл Лебега. Интеграл Лебега по измеримому множеству конечной
меры.
Алгебра и геометрия
Алгебра: Понятие о группе, кольце, поле. Матрицы и действия над ними.
Многочлены над полем. Линейные пространства. Евклидово и унитарное пространства.
Линейные операторы в линейных пространствах. Линейные операторы в евклидовых
и унитарных пространствах. Квадратичные формы.
Аналитическая геометрия: Векторная алгебра и координатный метод. Прямая на
плоскости. Прямая и плоскость в пространстве. Кривые второго порядка канонические
уравнения поверхностей. Общая теория кривых и поверхностей второго порядка. Системы
линейных неравенств. Выпуклые множества.
Дифференциальные уравнения
Основные понятия дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения
первого порядка. Общая теория систем дифференциальных уравнений. Общая теория
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Общая теория систем линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений. Линейные дифференциальные уравнения и
системы с постоянными коэффициентами. Краевые задачи для линейного
дифференциального уравнения второго порядка. Динамические системы и теория
устойчивости. Уравнения с частными производными первого порядка.
Функциональный анализ
Метрические и топологические пространства. Основные теоремы о полных
метрических пространствах. Линейные н6ормированные пространства. Компактность в
метрических и линейных нормированных пространствах. Геометрия гильбертова
пространства. Линейные функционалы и операторы. Основные принципы
функционального анализа. Элементы спектральной теории операторов. Элементы теорий
обобщенных функций.
Теория функций комплексного переменного
Определение функции. Взаимно-однозначное соответствие (однолистные функции).
Равносильность задания комлекснозначной функции комплексного переменного заданию
двух действительнозначных функций от двух действительных переменных. Способы
геометрического изображения функций.
Предел комлексной функции комплексного переменного, непрерывность, 1-я и 2-я
теоремы Вейерштрасса, теорема Кантора о равномерной непрерывности.
2
Дифференцируемость функции в смысле R и в смысле С. Их связь: условие КошиРимана. Большая ограниченность комплексной дифференцируемости по сравнению с
дифференцируемостью действительной функции действительного переменного.
Производная и ее связь с дифференцируемостью.
Аналитичность функции в точке, на открытом множестве, на произвольном
множестве. Ряд Лорана, его область сходимости. Разложение голоморфной в кольце
функции в ряд Лорана, единственность разложения
Интегральная формула Коши. Локальная теорема о существовании первообразной.
Первообразная вдоль пути. Формула Ньютон-Лейбница.
Уравнения математической физики
Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных
производных. Колебательные процессы, теплопроводность и диффузия, стационарные
процессы. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка и
приведение их к каноническому виду. Характеристическое уравнение. Постановка
основных задач: задачи Коши, краевые задачи, смешанные задачи, корректность
постановки задач. Уравнение Лапласа. Формула Грина. Теорема о среднем, принцип
максимума. Функция Грина и её применение к решению краевых задач. Формула
Пуассона для шара, круга. Метод Фурье решения краевых задач для уравнения Пуассона и
смешанных задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности.
Задачи Коши для волнового уравнения. Формулы Даламбера, Пуассона, Кирхгофа.
Принцип Гюйгенса. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона.
Понятие обобщенных функций и обобщенных решений, δ- функция,
фундаментальное решение.
ВОПРОСЫ
вступительного экзамена в магистратуру
по специальности «6M060100 - Математика»
Математический анализ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Полнота: супремум и инфимум числового множества. Принцип вложенных отрезков.
Иррациональность числа 2 .
Теорема о существовании предела монотонной последовательности. Число e .
Эквивалентность определений предела функции в точке на языке  и на языке
последовательностей. Два замечательных предела.
Характеристические
свойства верхних и нижних пределов числовой
последовательности. Критерий существования предела последовательности на языке
верхних и нижних пределов.
Непрерывность функции одной переменной в точке, точки разрыва и их
классификации. Свойства функции, непрерывной на отрезке.
Теоремы Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной
функции, заданной на сегменте.
Равномерность непрерывности. Теорема Кантора.
Понятие производной и дифференцируемости функции одной переменной,
дифференцирование сложной функции.
Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной.
Исследование функции с помощью производных (монотонность, экстремумы,
выпуклость и точки перегиба, асимптоты).
Параметрические заданные функции и их дифференцирование.
Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.
Правило Лопиталя.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Локальная формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Разложение
основных элементарных функций по формуле Тейлора.
16. Критерий интегрируемости функции по Риману. Классы интегрируемых функций.
17. Теорема о существовании первообразной у каждой непрерывной функции. Формула
Ньютона-Лейбница.
18. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределенном интеграле.
Интегрирование рациональных дробей.
19. Методы
приближенного
вычисления
определенных
интегралов:
методы
прямоугольников, трапеций, парабол.
20. Определенный интеграл с переменным верхним пределом; теоремы о среднем
значении.
21. Геометрические приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры,
объем тела в пространстве.
22. Степенные ряды; разложение функций в степенной ряд.
23. Несобственные интегралы I и II рода
24. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования
тригонометрического ряда Фурье.
25. Линейная функция R n  R1 . Дифференцирование функции многих переменных в
точке как локальная линеаризация. Дифференциал.
26. Достаточные условия дифференцируемости в точке функции многих переменных.
27. Определение, существование, непрерывность и дифференцируемость неявной
функции.
28. Необходимое условие условного экстремума. Метод множителей Лагранжа.
29. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости ряда.
30. Признаки сходимости положительных рядов Коши, Даламбера.
31. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда.
32. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных рядов.
33. Достаточные условия непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости
суммы функционального ряда.
34. Структура множества сходимости произвольного функционального ряда. Формула
Коши-Адамара и структура множества сходимости степенного ряда.
35. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование функционального
ряда.
Геометрия, алгебра
Полярные, цилиндрические, сферические системы координат.
Преобразования координат на плоскости и в пространстве.
Преобразования плоскости. Группы преобразований плоскости.
Классификация кривых 2-го порядка.
Квадратичные формы. Закон инерции. Критерий Сильвестра.
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора n-мерного
векторного пространства.
7. Понятие линейного оператора n-мерного векторного пространства. Матрица линейного
оператора. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.
8. Определение n-мерного векторного пространства. Основные свойства и примеры.
Теорема о необходимом и достаточном условии линейной зависимости системы
векторов
9. Взаимное расположение 2-х прямых в пространстве. Теорема о необходимых и
достаточных условиях параллельности и перпендикулярности 2-х прямых.
10. Векторное, смешанное произведение векторов. Свойства и приложения. Необходимое
и достаточное условие компланарности трех векторов.
11. Взаимное расположение плоскостей /в аналитическом изложении/. Необходимые и
достаточные условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
12. Углы между прямыми и плоскостями.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
13. Различные виды задания уравнений прямой и плоскости. Отклонение от прямой и
плоскости.
14. Исследование поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям с
помощью вращения, растяжений и сечений.
15. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы, их геометрические свойства
16. Циклические группы. Изоморфизм циклических групп одного порядка.
17. Нормальные подгруппы. Фактор-группа. Теорема Лагранжа.
18. Определение группы. Простейшие свойства и примеры. Теорема о гомоморфизмах
групп.
19. Теоремы о рациональных корнях многочлена с целочисленными коэффициентами.
20. Теорема о разложении многочлена от одной переменной на неприводимые над
данным полем множители. Неприводимые над полем действительных чисел
многочлены.
21. НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида для многочленов.
22. Корни многочленов. Теорема Безу и схема Горнера.
23. Взаимно простые многочлены. Делимость.
24. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера- Капелли.
25. Матрицы, действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Вычисление
обратной матрицы.
26. Формулы Крамера.
27. Присоединенная матрица. Критерий обратимости и формула обратной матрицы.
28. Определитель произведения матриц.
29. Определители п-го порядка. Элементарные свойства определителей. Теорема о
разложении определителя по строке или столбцу.
30. Определитель транспонированной матрицы.
31. Перестановки, инверсия, транспозиция, четность. Определение определителя,
определители 2,3 порядков.
32. Фундаментальная система решений линейных однородных уравнений.
33. Характеристика поля. Простое поле. Числовое поле. Минимальные подполя.
34. Поле комплексных чисел. Модуль, аргумент, тригонометрическая форма
комплексного числа. Формула Муавра. Извлечение корня из комплесного числа.
35. Аксиоматика и примеры колец и полей. Кольцо вычетов по модулю n. Поле Z p .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Дифференциальные уравнения, уравнения математической физики,
функциональный анализ
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка и методы их решения.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка.
Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка от параметров и от начальных
данных.
Теорема о дифференцируемости решения задачи Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка по параметрам и по начальным
данным.
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Общие свойства.
Однородное ОДУ. Фундаментальная система решений. Вронскиан. Формула
Лиувилля. Общее решение однородного ОДУ.
Неоднородные линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее
решение. Метод Лагранжа вариации постоянных.
Однородные линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений.
8. Неоднородные линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами с неоднородностью в виде квазимногочлена (нерезонансный и
резонансный случаи).
9. Однородная система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Фундаментальная система решений и
фундаментальная матрица. Вронскиан.
Формула Лиувилля. Структура общего решения однородной системы ОДУ.
10. Неоднородная система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод Лагранжа вариации постоянных.
11. Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений.
12. Неоднородная система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами с неоднородностью в виде матрицы с элементами квазимногочленов
(нерезонансный и резонансный случаи).
13. Постановка краевых задач для линейного обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка. Специальные функции краевых задач и их явные
представления. Функция Грина и ее явные представления. Интегральное
представление решения краевой задачи. Теорема существования и единственности
решения краевой задачи.
14. Автономные системы. Свойства решений. Особые точки линейной автономной
системы двух уравнений. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по
Ляпунову. Устойчивость однородной системы линейных дифференциальных
уравнений с переменной матрицей.
15. Устойчивость по первому приближению системы нелинейных дифференциальных
уравнений. Второй метод Ляпунова.
16. Основные уравнения математической физики, постановка для них задачи Коши и
краевых задач. Корректность постановки задачи. Пример Адамара.
17. Классификация уравнений с частными производными и приведение их к
каноническому виду. Понятие характеристики.
18. Уравнение Лапласа. Фундаментальное решение. Теоремы единственности решения
задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
19. Функция Грина для уравнения Лапласа и ее свойства. Функция Грина для круга.
Формула Пуассона. Некоторые следствия из формулы Пуассона (неравенство
Гарнака, теоремы Лиувилля и Гарнака).
20. Объемный потенциал и его свойства. Поверхностные потенциалы простого и двойного
слоя. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом потенциалов.
21. Решение смешанной краевой задач для уравнения колебаний струны методом Фурье.
Задача о собственных значениях и собственных функциях.
22. Решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье.
Собственные значения и собственные функции и их свойства.
23. Решение задачи Коши для уравнения колебаний струны. Формула Даламбера.
24. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона.
25. Тепловые потенциалы, их свойства и применения к решению краевых задач для
уравнения теплопроводности.
26. Представление непрерывных линейных функционалов в гильбертовом пространстве.
27. Определение и примеры линейных операторов. Непрерывность и ограниченность.
28. Существование ортогональных базисов, ортогонализация. Неравенство Бесселя.
29. Определение и примеры гильбертовых пространств.
30. Определение и примеры нормированных и банаховых пространств.
31. Определение и примеры линейных или векторных пространств.
32. Полные метрические пространства. Принцип вложенных шаров.
33. Применение принципа сжатых отображений к дифференциальным и интегральным
уравнениям.
34. Отображения в метрических пространствах. Принцип сжимающих отображений.
35. Основные понятия и аксиомы метрического пространства. Примеры метрических
пространств.
Теория функций комплексного переменного
1. Определение функции. Взаимно-однозначное соответствие (однолистные функции).
Равносильность задания комлекснозначной функции комплексного переменного заданию
двух действительнозначных функций от двух действительных переменных. Способы
геометрического изображения функций.
2. Предел комлексной функции комплексного переменного, непрерывность, 1-я и 2-я
теоремы Вейерштрасса, теорема Кантора о равномерной непрерывности.
3. Дифференцируемость функции в смысле R 2 и в смысле С. Их связь: условие КошиРимана. Большая ограниченность комплексной дифференцируемости по сравнению с
дифференцируемостью действительной функции действительного переменного.
Производная и ее связь с дифференцируемостью.
4. Аналитичность функции в точке, на открытом множестве, на произвольном
множестве. Ряд Лорана, его область сходимости. Разложение голоморфной в кольце
функции в ряд Лорана, единственность разложения
5. Интегральная формула Коши. Локальная теорема о существовании первообразной.
Первообразная вдоль пути. Формула Ньютон-Лейбница.
Литература
1. Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа. т. I, II. - М.: Высшая школа, 1981.
2. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ. М.: 1979.
3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.. М.: Наука.
1977,735б.
4. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики.. М. Наука,1982,305б.
5. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Гостехиздат, 1954
г.
6. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Москва, 1966г.
7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва. 1985г.
8. Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре, «Наука», 1988г.
9. Гмурман В.Е.«Теория вероятностей и математическая статистика»:- М.Высшая
школа,1975г.
10. Смирнов Н.В.«Теория вероятностей»:- М.Наука,1972г.
11. Болшее Л.Н., Смирнов Н.В. «Таблица математической статистики»:М.:Наука,1979г.
12. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука.
1970.
13. Березин И. С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Том 1,2. М.,1962
14. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. Изд. 2-е. М. Наука,
1982.
15. Г.И.Архипов, В.А.Садовничий, В.Н.Чубариков. Лекции по математическому
анализу. М.: Изд-во механико-математического факультета Московского
университета, часть 1 - 1995; часть 2 - 1997; часть 3 - 1997; часть 4 - 1997.
16. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука.,1970, 231 б.
17. Данко П.Е. и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах» М.2002г.
18. Ляпин Е.С., Курс высшей алгебры, Учпедгиз, 1953.
19. Фадеев Д.К. и Соминский И.С., Сборник задач по высшей алгебре, изд. 36,
Гостехиздат, 1952.
20. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. «Наука», 1990г.
21. Пугачев В.С. «Теория вероятностей и математическая статистика»:М.:Наука,1979г.
22. Драйпер Н., Смит Г. «Прикладной регрессионный анализ»- М: Финансы и
статистика, 1986г.-1.1.
23. Шеффе Г. «Дисперсионный анализ»: - М.: Наука 1980г.
24. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике»: - М: Высшая школа 1975г.
25. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах.
М.: Наука, 1972.
26. Черкасов М.П. Сбрник задач по численным методом. Минс. 1967.
27. Митчел Э., Уэйт Р. Методы конечных элементов для уравнений с частными
производными, М.: Мир, 1981.
28. Калаткин Н:Н. Численные методы. М. Наука, 1978.
29. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.Э. Численные методы анализа. М.
Наука, изд. 3-е, 1967.
30. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.
Физматгиз. 1963г.
31. Соболь И. М. Численные методы Монто-Карло. М.: Наука, 1973.
32. Соболь И. Методы Меоды Монто-Карло. Изд. 4-е. М.:Наука, 1985.
33. Марчук Г. И.. Методы вичислительной математики. М.: Наука.1989.
34. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.:Наука, 1989.
35. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1984. - 320 с.
36. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций
комплексного переменного. - М.: Наука, 1975. - 320 с.
37. Евграфов М.А. Аналитические функции. - М.: Наука, 1991. - 447 с.
38. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.
- М.: Наука, 1973. - 736 с.
39. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. - М.:
Наука, 1979. - 317 с.
40. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексной переменной. - М.: Наука,
1984. - 432 с.
41. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. - М.: Наука, 1978.
- 415с.
42. Сборник задач по теории аналитических функций / Евграфов М.А., Сидоров Ю.В.,
Федорюк М.В. и др. - М.: Наука, 1969. - 387 с.
43. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч.1. Функции одного переменного. М.: Наука, 1985. - 335 с.
44. Бугров С.Я. Элементы линейной алгебры и геометрии. - М.: Наука, 1984г.
45. Ильин В.А. Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1978г.
46. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М.: Наука,
1980г.
47. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975г.
48. Ильин В.А. Позняк Э.Г. Основы математические анализа, 2 том. «Наука»,1980г.
49. Кудряцев Л.Д. Матеем. анализ 2 тома. М., «Высшая математика» 1981г.
50. Темірғалиев Н.Т. Математикалық анализ. 3 том. Алматы 1977г.
51. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М., «Наука»,
1973г.
52. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М., «Наука», 1974г.
53. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа. М., «Наука», 1977г.
54. Маркушевич А.И., Краткий курс теории аналитических функций. М., «Наука»
1978г.
55. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.
М., «Наука» 1979г.
56. Садовничий В.А. Теория операторов. М., Изд-во МТУ, 1979г.
57. Треночин В.А. Функциональный анализ. М., «Наука», 1980г.
58. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Физмат газ. 1958г.
59. Сүлейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы 1996ж.
60. Петровский Л.Т. Лекции по теории дифференциальных уравнений. М.,
«Наука»,1984г.
61. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., «Наука», 1971г.
62. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., «Наука»
1977г.