Задача 1. Вычислите arctg1 arctg 2 arctg 3 . Решение. Стоит только нарисовать клеточный фон, как задание выполняется практически устно. arctg 3 BAM , arctg 2 CAN , arctg1 BAC B (угол BAC – острый угол прямоугольного . равнобедренного треугольника АВС, угол С— прямой). C M A N Ответ: Задача 2. 5 1 Вычислитеctg arccos . 13 2 Решение. Если использовать понятия косинуса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника, теорему Пифагора и свойство биссектрисы треугольника, то задача решается почти мгновенно. В 5 BC 5 .3 1 ctg arccos 13 MC 5 x 2 2 13 5 13x 5x А С М Ответ:1,5 12 Задача 3.Решите систему уравнений x y z 3 2 2 2 x y z 3. • Уравнение x y z 3 – есть уравнение плоскости, пересекающей оси прямоугольной декартовой системы координат в точках А(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). 2 2 2 • Уравнение x y z 3 есть уравнение сферы с центром в точке О(0;0;0) и радиусом R, равным 3 . • Вычислим расстояние от точки О до плоскости АВС. Для этого рассмотрим тетраэдр ОАВС. Объём V тетраэдра ОАВС равен 1 S ABC H где H=OD (D — центр 3 треугольника АВС). 1 (3 2 )2 3 3H 3 V H 3 4 2 Этот объём можно найти иначе: 1 1 1 9 V SOAB CO 32 3 . 3 3 2 2 Приравняв эти выражения, получаем H 3 . Это означает, что расстояние от точки О до плоскости АВС равно радиусу сферы, а значит, плоскость касается сферы. Следовательно, точка касания является центром треугольника АВС. Поскольку D(x;y;z) – центр равностороннего треугольника АВС, где A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3), то x y z . Заменив y и z на x в уравнениях данной системы, получаем х=1. Ответ: (1;1;1). Задача 4. 2 2 y ( x 1 2 z ), x y 7 , 25 y y 0 Вычислите значение если , , z2 и y2 x 1 2 z. Решение. Заметим, что x 1 и z 2 , т.к. при x 1 или z 2 , y 0 . 2 2 Для таких значений переменных и условия x y 7,25 и y z 2 2 2 ( x 1 ) y 6,25 можно преобразовать соответственно в уравнения и y 2 ( 2 z )2 4 . По теореме, обратной теореме Пифагора, числа x 1 ,y и 2,5 являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника АBD с прямым углом АDB, и также числа 2 z ,y и 2 в треугольнике BDC с прямым углом BDC. Из третьего условия следует, что треугольник ABC – прямоугольный с прямым углом ABC. Тогда y ( x 1 2 z ) 2S 2,5 2 5 ABC Геометрические методы решения алгебраических задач