Динамические характеристики измерительных систем

Лекция № 7
Динамические характеристики
измерительных систем
Импульсной характеристикой стационарной измерительной
системы, описываемой оператором T, называют функцию g (t ,)
являющуюся откликом системы на входной сигнал в виде дельтафункции:
g (t )  T  (t )
Поскольку в частотной области связь между спектральными
плотностями сигналов на входе и выходе и частотной
характеристикой системы описывается выражением:
S g ( j )  K ( j ) S ( j ) ,
то с учетом:
S ( j ) 

 j t

(
t
)
e
dt  1,


S g ( j )  K ( j ).
Динамические характеристики
измерительных систем
Импульсная характеристика системы
Частотная характеристика и импульсная характеристика
линейной стационарной системы связаны между собой
прямым и обратным преобразованиями Фурье:
g (t ) 
1
2

j t
S
(
j

)
e
d 
 g

K ( j ) 



1
2

j t
K
(
j

)
e
d ,


g (t )e  jt dt .
Зная функцию K ( j ), всегда можно определить импульсную
характеристику и наоборот. Таким образом, любую систему
можно рассматривать либо во временной области с
помощью ее импульсной характеристики, либо в частотной
области, анализируя K ( j ) .
Динамические характеристики
измерительных систем
Переходная характеристика системы
Если на вход линейной стационарной системы, описываемой
оператором T , воздействует сигнал, отображаемый
единичной функцией (функцией Хевисайда) 1(t ) , то выходную
реакцию h(t )  T 1(t ) называют переходной
характеристикой системы.
Можно показать, что между импульсной и переходной
характеристиками имеется тесная связь – импульсная
характеристика является производной от переходной
характеристики:
g (t ) 
dh(t )
.
dt
Динамические характеристики
измерительных систем
Если входной сигнал представить в виде:

uвх (t ) 
u
вх
( ) (t   )d ,

То отвечающая ему выходная реакция линейной стационарной
системы запишется:

uвых (t )  Tuвх (t )  T
u
вх
( ) (t   )d .

Учитывая, что оператор T воздействует лишь на величины,
зависящие от текущего времени t , но не от переменной
интегрирования  , получаем:

uвых (t ) 
u
вх

( )T  (t   )d .
Динамические характеристики
измерительных систем
Интеграл Дюамеля
Соотношение, называемое интегралом Дюамеля, имеет вид:

uвых (t ) 
u
вх
( ) g (t   )d

Соотношение показывает, что выходной сигнал линейной
стационарной системы представляет собой свертку двух
функций: входного сигнала и импульсной характеристики
системы. Для реальных систем (физически реализуемых)
всегда выполняется условие: g (t   )  0 при t  ,
так как реакция такой системы на входное воздействие не
может опережать само входное воздействие.
Следовательно, можно записать интеграл Дюамеля в виде:
t
uвых (t )   uвх ( ) g (t   ) d
0
Динамические характеристики
измерительных систем
Передаточная функция системы
Решение дифференциального уравнения линейной системы,
связывающего входные воздействия и выходные сигналы, может
быть осуществлено операторным методом с помощью
интегрального преобразования Лапласа.
Изображение по Лапласу входного и выходного сигналов имеет
вид:


 pt
L uвх (t )  U вх ( p)   uвх (t )e pt dt ; L uвых (t )   U вых ( p)   uвых (t )e dt
0
0
Вычислив преобразование Лапласа от обеих частей
дифференциального уравнения линейной системы, получим:
U вых ( p )  a0  a1 p  a2 p 2  ...  an p n  
U вх ( p ) b0  b1 p  b2 p 2  ...  bm p m  .
Динамические характеристики
измерительных систем
Передаточная функция системы
Введем отношение изображений по Лапласу выходного и
входного сигналов, называемое передаточной функцией или
операторным коэффициентом передачи системы:
U вых ( p) b0  b1 p  b2 p 2  ...  bm p m
H ( p) 

U вх ( p)  a0  a1 p  a2 p 2  ...  an p n 
Если передаточная функция системы известна, то поиск
выходной реакции системы на заданное входное воздействие
разбивается на три этапа:
1. uвх (t )  U вх ( p)
2. U вых ( p)  H ( p)U вх ( p)
3.
U вых ( p)  uвых (t )
Динамические характеристики
измерительных систем
Сигнал на выходе системы находят с помощью обратного
преобразования Лапласа:
  j
n
1
pt
pt


uвых (t ) 
U
(
p
)
e
dt

res
U
(
p
)
e

вых
вых


2 j   j
i 1
p  pi
Как известно, способ нахождения оригинала выходного
сигнала по его изображению с помощью теоремы о вычетах
без вычисления интеграла основан на представлении
подынтегрального выражения в виде отношения двух
многочленов  ( p)  ( p) , определении полюсов pi
подынтегральной функции и вычислении uвых (t )
по сумме вычетов  ( p)  ( p) в соответствующих полюсах:
 ( p)
uвых (t )   res
 ( p)
i 1
n
 ( pi )
 /
.
i 1  ( pi )
n
p  pi
Динамические характеристики
измерительных систем
При определении передаточных функций сложных систем,
состоящих из ряда отдельных звеньев (преобразователей,
функциональных блоков), вначале определяют
передаточные функции отдельных звеньев. Далее, если эти
звенья соединены последовательно, определяют общую
передаточную функцию системы по формуле:
n
H ( p)   H i ( p) ,
i 1
где H i ( p ) - передаточные функции отдельных звеньев.
Если звенья какой-либо системы соединены параллельно,
то расчет результирующей передаточной функции этой части
системы осуществляют по формуле:
H ( p) 
k
H
i 1
i
( p)
Динамические характеристики
измерительных систем
Пример. Определить форму сигнала на выходе кремниевого
диффузионного детектора, вызванного регистрацией
- частицы, создавшей заряд q0 в рабочем объеме
детектора.
Дифференциальное уравнение цепи, полученное из анализа
эквивалентной схемы детектора, имеет вид:
du (t ) u (t )
CЭ

 I 0 (t ) ,
dt
RН
где RН - резистор, включаемый в цепь для управления
длительностью импульса; CЭ - эквивалентная емкость, равная
сумме собственной емкости детектора, входной емкости
усилителя и емкости соединительного кабеля.
В операторном виде уравнение записывается так:
u ( p)
 pCЭ u ( p )  i0 ( p ) .
RН
Динамические характеристики
измерительных систем
При условии локализации ионизационного эффекта при
регистрации  -частицы и пренебрежимо малом времени
собирания носителей зарядов импульс тока можно
I 0 (t )  q0 (t ).
представить в виде:
Так как L  (t )  1 , уравнение в операторном виде запишется:
q0 RН
u ( p) 
1  p 0
Вычисляя оригинал выходного сигнала по его изображению,
получим:
  j
 e pt 
1 1 q0 RН pt
uвых (t ) 
e dt  q0 RН  res 



2 j 1  j 1  p 0
p  p0
1  p 0  p  1
0
et  0 q0 t  0
 q0 RН
 e .
 0 CЭ
0