системный анализ и теоретико-графовые модели оптимизации

На правах рукописи
ЗАБЕРЖИНСКИЙ Борислав Эдуардович
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРЕТИКО-ГРАФОВЫЕ
МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ РЕГИОНАЛЬНЫХ ГАЗОРАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ СЕТЕЙ
Специальность 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Самара-2007
2
Работа выполнена на кафедре «Информационные технологии» Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет»
Научный руководитель:
доктор технических наук, профессор БАТИЩЕВ Виталий Иванович
Официальные оппоненты:
доктор технических наук ЮДАШКИН Александр Анатольевич, ГОУВПО
«Самарский государственный технический университет»
кандидат технических наук, доцент ВОСТОКИН Сергей Владимирович,
ГОУВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени
академика С.П. Королева»
Ведущая организация:
ООО «Самараоблгаз», г. Самара
Защита диссертации состоится « 15 » ноября 2007 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д212.217.03 в Самарском государственном техническом университете по адресу: 443010, г. Самара, ул. Галактионовская, 141, ауд.
28.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного технического университета но адресу: 443100, г. Самара, ул. Первомайская, 18, корп. №1 и на официальном сайте www.samgtu.ru.
Отзывы на автореферат просим направлять в двух экземплярах по адресу:
443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская 244, ГОУВПО «Самарский государственный технический университет», главный корпус, на имя ученого секретаря
диссертационного совета Д212.217.03.
Автореферат разослан «____» октября 2007 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д212.217.03
Губанов Н.Г.
3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследований. Газовая промышленность является
одной из системообразующих отраслей РФ, обеспечивающих рост национальной экономики, а также решение ряда социальных, геополитических и экологических задач. В силу этого вопросы разработки программ развития газовой
отрасли в целом и региональных газораспределительных сетей (РГРС), в частности, должны рассматриваться исключительно с позиций системного анализа,
учитывая реальные условия всех подсистем поставщиков и потребителей газа.
Через систему газопроводов на территории Российской Федерации транспортируется около 400 млрд. куб. м. природного газа. ОАО «Газпром» эксплуатирует свыше 500 тыс. км. газопроводов среднего и низкого давления, свыше
600 газораспределительных станций, обеспечивающие устойчивую подачу газа
потребителям. Вместе с тем, при таком мощном развитии газовой промышленности в России до сих пор около 40 городов, 400 посёлков и 26 тыс. сёл ещё не
имеют никакого газоснабжения. Уровень газификации природным газом в России составляет немногим более 50%, в том числе в сельской местности – 30%.
По данным ОАО «Газпром» в настоящее время износ основных фондов газотранспортных сетей составляет 56%, 14% газопроводов выработали нормативный срок службы. Средний возраст газопроводов близок к 25 годам. В целом
по единой системе газоснабжения (ЕСГ) в период до 2010 года потребуется
строительство около 28 тыс. км новых магистральных газопроводов. При этом
объём планируемого строительства объектов газораспределения фактически
совпадает с необходимым объёмом их реконструкции.
Выполнение таких масштабных и капиталоёмких работ (затраты на укладку 1 км газопровода РГРС составляют около 1,5 млн. руб.) по планированию, проектированию и реконструкции газораспределительных сетей необходимо проводить на основании методов системного анализа и математического
моделирования, обеспечивающих оптимизацию технико-экономических параметров РГРС. Отсюда вытекает необходимость научного обоснования вопросов
формализации и постановки задач системного анализа, оптимизации, разработки специального математического и программного обеспечения поддержки
принятия решений при проектировании строительства и реконструкции РГРС.
Работа выполнялась в рамках НИР 517/05 и 501/06.
Целью настоящей диссертационной работы является: разработка методики, моделей, алгоритмов и программного обеспечения решения задач оптимизации региональных газораспределительных сетей, на основании методологии системного анализа отраслевых особенностей их функционирования.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Провести системный анализ отраслевых особенностей функционирования
и методов оптимизации РГРС.
2. Исследовать методы анализа сетей и теории графов в принятии управленческих решений.
3. Провести сравнительный анализ топологий сетей в отношении РГРС.
4
4. Выявить системные связи и закономерности функционирования РГРС.
5. Определить задачи синтеза и оптимизации РГРС.
6. Формализовать модель оптимизации распределительно-транспортной системы.
7. Получить алгоритмы оптимизации РГРС, как кратчайшей связывающей
сети.
8. Разработать программное обеспечение решения задачи оптимизации
РГРС с различными метриками.
9. Провести оптимизацию участков реальных РГРС с евклидовой и манхэттенской метриками.
Методами исследований являются: общая теория систем, кибернетические методы, методы теории управления, методы системного анализа и оптимизации в управлении, методы исследования операций, контент-анализ, методы теории сетей и теории графов.
Научная новизна результатов исследования состоит в разработке методики оптимизации РГРС, как совокупности методов системной идентификации
и формализации модели оптимизации РГРС, разработки алгоритмов и программного обеспечения её реализации, обеспечивающих получение оптимальных решений проектов новых и реконструкции существующих участков
РГРС с учётом реальных условий трассировки газопроводов. Конкретные элементы новизны состоят в следующем.
1. Впервые определена структура подсистем и связей РГРС, как открытой
системы, что позволяет учитывать реальные связи и процессы, определяющие
эффективность функционирования РГРС.
2. Установлены эндогенные и экзогенные условия синтеза РГРС, что в отличие от обычно используемой локальной оптимизации отдельных элементов,
позволяет определять области существования оптимальных проектов РГРС.
3. Поставлена задача и формализована модель оптимизации распределительно-транспортной системы, отличающаяся теоретико-графовым подходом и
учётом реальной топологии РГРС, что позволяет дифференцировать задачу поиска кратчайшего остовного дерева на этапе предварительной проработки проекта и решение задачи Штейнера на основном этапе определения оптимальной
топологии РГРС, обеспечивающее минимизацию наиболее капиталоёмких параметров сети.
4. Выявлены особенности задачи нахождения кратчайшего остовного дерева
и задачи Штейнера для оптимизации РГРС, отличающиеся построением эффективного неполного дерева Штейнера и обеспечивающие разработку эвристических алгоритмов адекватных реальным условиям оптимизации.
5. Обоснована целесообразность и достаточность нахождения локального
оптимума (в отношении количества точек Штейнера и их размещения) и предлагается методика его поиска, отличие которой от существующего метода прямого перебора заключается в том, что полученные точки Штейнера ранжируются по длине сети, а среди них выбирается наиболее эффективная точка и к ней
добавляются следующие по рангу и т.д., что позволяет минимизировать затраты
машинного времени на решение NP-трудной задачи данного типа.
5
6. Разработаны алгоритмы: построения транспортно-распределительной сети, отличающийся от существующих для NP-трудных задач такого типа, возможностью получения близких к оптимальному решений для сетей с любым
реальным количеством терминальных точек; оптимизации РГРС как кратчайшей связывающей сети, отличающийся учётом реальных условий трассировки
РГРС и обеспечивающий минимизацию морфологических, наиболее капиталоёмких параметров, таких как топология и длина сети в целом; оптимизации РГРС с точками Штейнера, отличающиеся наложением на план
трассировки предложенной прямоугольной сетки, обеспечивающей формирование дополнительных узлов как мест расположения потенциальных точек
Штейнера.
7. Разработано оригинальное программное обеспечение решения задачи
Штейнера и оптимизации РГРС как кратчайшей связывающей сети с евклидовой и манхэттенской метриками.
Практическая ценность результатов исследований заключается в том, что
разработанные алгоритмы и программное обеспечение позволяют получать оптимальные решения проектов новых и реконструкции существующих участков
РГРС с учётом реальных условий трассировки газопроводов.
На защиту выносятся:
1. Методика оптимизации РГРС как совокупность методов системной
идентификации и формализации модели оптимизации РГРС, алгоритмы и программное обеспечение их реализации, обеспечивающие получение оптимальных решений проектов новых и реконструкции существующих участков РГРС.
2. Подсистемы и связи РГРС как открытой системы.
3. Модель оптимизации распределительно-транспортной системы.
4. Алгоритмы оптимизации РГРС как кратчайшей связывающей сети и решения задачи Штейнера.
5. Программное обеспечение решения задачи Штейнера и оптимизации
РГРС как кратчайшей связывающей сети с различными метриками.
Реализация результатов работы. Результаты работы были использованы
в ООО «Газнадзор» Заволжский газотехнический центр (г.Самара), ООО «Самарские системы связи» и в учебном процессе ГОУ ВПО «СамГТУ».
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной
работы докладывались и обсуждались на I-й Всероссийской конференции «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы.» (Улан-Удэ,
2003), Международной научно-практической конференции «Ашировские чтения» (Самара, 2002), II-й Всероссийской конференции с международным участием «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы.»
(Улан-Удэ, 2006), III-й Всероссийской научной конференции «Математическое
моделирование и краевые задачи.» (Самара, 2006), 63-й Всероссийской научнотехнической конференции по итогам НИР СГАСУ «Актуальные проблемы в
строительстве и архитектуре. Образование. Наука. Практика.» (Самара, 2006),
IV-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи.» (Самара, 2007).
6
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, в том
числе две в изданиях, из перечня рекомендованного ВАК.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения,
4 разделов, заключения, списка использованных источников и приложения. Основная часть содержит 145 страниц текста, 51 рисунок и 3 таблицы. Список использованных источников содержит 117 наименований. Приложение выполнено на 3-х страницах.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении определяются актуальность темы, цель, задачи и методы исследований. Сформулированы научная новизна и практическая ценность результатов, а также основные научные положения, выносимые на защиту. Приведены сведения о внедрении результатов, апробации, публикациях, структуре
и объеме работы.
В первой главе «Системный анализ региональных газораспределительных
сетей» проведен системный анализ отраслевых особенностей функционирования и оптимизации РГРС; выявлены системные проблемы развития региональных газораспределительных сетей; проведен анализ функционирования
и развития РГРС на примере ООО «Средневолжская газовая компания»; на основании контент-анализа выявлены сложившиеся методологические аспекты
анализа и оптимизации в газовой промышленности; обоснованы принципы системного анализа и оптимизации в газовой промышленности.
На примере функционирования ООО «Средневолжская газовая компания»
(рисунок 1) в диссертации показано, что проблемы развития РГРС можно дифференцировать по двум направлениям: замена устаревшей сети, как с позиции
физического износа и реконструкции, так и отсутствия адекватной загрузки потребителями, и освоение новых в качественном и количественном отношении
потребителей. Если первая часть проблемы носит скорее характер инженерной
задачи, решаемой в формате существующих стандартов и нормативов, то второй класс проблем уже нуждается в научном обосновании их решения. Следовательно, разработку и реализацию проектов по строительству и реконструкции
газораспределительных сетей необходимо проводить на основании методов системного анализа и математического моделирования, обеспечивающих оптимизацию технико-экономических параметров РГРС.
Отсюда вытекает необходимость научного обоснования вопросов формализации и постановки задач системного анализа, оптимизации, разработки специального математического и программного обеспечения принятия решений при
проектировании строительства и реконструкции РГРС.
Контент-анализ научно-технических публикаций в специализированных
периодических изданиях, сборниках трудов и материалов научно-практических
конференций по проблемам газовой отрасли выявил определённую неоднозначность как в интерпретации методологии системного анализа и оптимизационного моделирования, так и их совместной реализации в формате постановки и решения конкретной задачи. Тенденция к упрощению оптимизационных моделей без какой-либо попытки его обоснования с точки зрения целей ис-
7
следования и оценки адекватности моделей реальному объекту является характерной для большинства рассмотренных разработок. Полученные при этом
решения являются уже оптимальными только для идеализированного, но не реального процесса.
300
количество, шт.
250
200
150
100
50
0
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
годы
сельскохозяйственные объекты
пром. предприятия в сельской местности
городские пром. предприятия
Рисунок 1. - Динамика газификации промышленных и сельскохозяйственных предприятий Самарской области ООО «Средневолжская газовая компания»
Контент-анализ научно-технических публикаций в специализированных
периодических изданиях, сборниках трудов и материалов научно-практических
конференций по проблемам газовой отрасли выявил определённую неоднозначность как в интерпретации методологии системного анализа и оптимизационного моделирования, так и их совместной реализации в формате постановки и решения конкретной задачи. Тенденция к упрощению оптимизационных моделей без какой-либо попытки его обоснования с точки зрения целей исследования и оценки адекватности моделей реальному объекту является характерной для большинства рассмотренных разработок. Полученные при этом
решения являются уже оптимальными только для идеализированного, но не реального процесса.
На основании проведенного анализа в диссертации приводится обоснование
того, что в формате общей модели системного подхода «вход – процессор – выход»
элементы системы «газовая промышленность» как подсистемы национальной экономики представляют: «вход» – природные месторождения и технологические комплексы их добычи, «процессор» – комплекс магистральных трубопроводов и других
средств, обеспечивающих транспортировку газа и «выход» – совокупность потребителей газа.
Во второй главе «Методы системного анализа и теоретико-графового
моделирования распределительных сетей» конкретизированы методы анализа
сетей и теории графов в принятии управленческих решений; предложена схема
алгоритма построения сети, близкой к оптимальной; выявлены системные связи
и закономерности функционирования РГРС; проведен сравнительный анализ
топологии сетей в отношении РГРС; выявлены системные связи и закономерности функционирования РГРС; получены концептуальная модель эндогенных и экзогенных условий синтеза региональной газораспределительной
сети и их содержательное описание; идентифицированы задачи синтеза и оптимизации РГРС.
8
Основные показатели и параметры любой сети следует разделить на две
группы – морфологические и функциональные, отражаемые в экономических
категориях как вложения в основные средства и эксплуатационные затраты.
Под морфологическими – структурными – характеристиками понимаются объекты сети и их связи. В РГРС они представлены совокупностью оборудования:
автоматические газораспределительные станции (АГРС), компрессорные станции (КС) и т.п. и соединяющих их линий трубопроводов и каналов связи. Оборудование, входящее в состав сети, а также различные её объекты обычно
называют узлами. Очевидно, что в случае газораспределительных сетей издержки морфологической группы значительно превышают функциональные.
Функциональные характеристики в основном определяют параметры качества
обслуживания и показатели эффективности работы сети.
Дифференциация показателей и параметров сети на морфологические и
функциональные кластеры на наш взгляд требует и разделения методов их анализа на качественные и количественные. Под качественными методами следует
понимать анализ свойств тех или иных структур (морфологий) как способов
связи объектов. В этой связи при рассмотрении структур распределительнотранспортных сетей, к классу которых относится РГРС как совокупность объектов и соединяющих их линий трубопроводов, предлагается использовать понятие топологии. В данном случае топология сети – геометрическая форма или
физическая связность сети. Топология сети определяется способом соединения
её узлов каналами связи и передачи и характеризует физическое расположение
газопроводов, АГРС, КС и др. компонентов сети.
В случае РГРС топология сети – геометрическая форма или физическая
связность сети.
Топология сети влияет на: состав необходимого сетевого оборудования;
возможность расширения сети (наращиваемость); способ управления сетью; характеристики и параметры сетевого оборудования; надёжность; стоимость;
пропускную способность.
Проведенный в диссертации анализ морфологий сетей позволяет утверждать, что каждому уровню в иерархии распределительно-транспортных сетей
с точки зрения эффективности соответствует определённый тип топологии: для
глобальных, трансконтинентальных – магистральный тип топологии, для трубопроводной системы страны – ячеистая топология, в региональных сетях –
древовидная и для локальных – кольцевые и древовидные топологии. Объектом
данных исследований являются региональные газораспределительные сети, что
и позволяет в дальнейшем рассматривать их функциональные характеристики в
формате древовидной топологии.
Для анализа и обоснования функциональных характеристик сетей используется специальный математический инструментарий – теория графов.
Здесь методы решения потоковых задач являются мощным математическим
средством, с помощью которого могут быть сформулированы и решены многие
технические задачи. Наглядность и логическая обоснованность этих методов
нередко позволяет выработать новый и довольно естественный подход к реше-
9
нию поставленной задачи о сетях, и даёт возможность определить пути последующего прикладного анализа.
Проведенный в диссертации анализ теоретико-графовых моделей и реальных условий формирования оптимизационных задач распределительных сетей позволил предложить следующую методику построения сети, близкой к оптимальной (рисунок 2), здесь X = {xij} – координаты стоков (i – координата; j –
сток); Р – номер источника; Т – нормативные таблицы для вычисления стоимости; qi – интенсивность i - гo стока; n – число точек. Первый блок реализует
обобщенный алгоритм Прима и выдает начальное приближение для координат
дополнительных точек и информацию о дополнительных точках. Координаты
этих точек содержатся в массиве Y, который реализован как продолжение массива X – координат исходных точек. Связи между исходными и дополнительными точками записаны в массиве D, в котором дерево задается рёбрами. Также
вычисляется значение длины сети L.
Второй блок – вычисление стоимостей R – может быть составлен поразному, в зависимости от рассматриваемой задачи. Если пропустить этот блок,
то R автоматически будут приняты равными единице. В этом случае алгоритм
будет строить приближение к кратчайшей связывающей сети, т. е. будет решать
традиционную задачу минимизации длины дерева Штейнера. Если положить,
что стоимость является функцией R (v) = φ (q(v)), где q(v) – интенсивность потока по ребру v, то алгоритм будет строить сети для задачи, в которой стоимость единицы длины связи зависит только от интенсивности потока.
Построение связывающего дерева
(X, Р)
(У, D, L)
Вычисление стоимости участков сети
(X, У, D, Т)
(R,
R)
Построение локально-оптимального дерева
при фиксированной структуре и стоимостях
(X, У, D, R)
(X, У, D, R(Si))
Рисунок 2. - Методика построения сети, близкой к оптимальной
В третьем блоке происходит окончательное формирование связывающей
сети – определяются оптимальные для данной структуры дерева и для данного
закона вычисления стоимостей расположения дополнительных точек и вычисляется значение функционала R (Si). Это осуществляется процедурой покоординатного спуска, причем если стоимости зависят от положения участка v, то,
как указывалось выше, на каждом шаге происходит пересчет стоимостей. Блок
заканчивает свою работу, когда разность между последовательными приближениями Ri-1 – Ri становится меньше заданного δ.
10
По определению РГРС является сложной системой, исследование и моделирование которой необходимо проводить на основе методологии системного
анализа. Для выделения системы в реальном мире необходимо указать все процессы, формирующие данный выход. При проектировании и усовершенствовании больших и сложных систем, а также при поиске путей их наиболее рационального использования в случае РГРС, основное значение имеют
методы сетевого анализа. Начальным этапом разработки как нового, так и проекта реконструкции РГРС с позиций системного подхода и оптимального синтеза сетей является структурирование эндогенных и экзогенных системообразующих факторов РГРС. Граница открытых систем, к которым относится РГРС,
определяется входами от окружающей среды. Известно, что каждая система характеризуется не только наличием связей и отношений между образующими её
элементами, но и неразрывным единством с окружающей средой, во взаимодействии с которой система проявляет свою целостность. Поэтому для определения области существования оптимальных проектов РГРС необходимо идентифицировать структуру ограничений, формируемых внешней средой. Окружающую среду РГРС – совокупность естественных и искусственных систем,
для которых данная система не является функциональной подсистемой, можно
представить через воздействие отдельных подсистем: экономической, политической, природно-климатической, технико-технологической (рисунок 3).
Экономическая среда
Рынок
сырья
Рынок
капитала
Условия
кредита;
учетная
ставка
Квоты и
цены ,
налоговый
статус
Тарифы и
условия
реализации
Цены на
оборудование, тарифы
Региональная газораспределительная сеть
Объём
инвестиций
Уровень
производства
Политическая и
правовая
среда
Энергетическая
безопасность РФ
Рынок
ресурсов
Уровень
расхода
ресурсов
Проекты
реконструкции
Доходность,объёмы
заказов, риски
Резервирование
Рельеф местности
Погодные условия
Парк
оборудования
Произвдительность,
расход
ресурсов
Технологическая и
техническая
среда
Надёжность
Нормы расхода газа на
бытовые нужды
Природно-климатические условия
Рисунок 3. - Эндогенные и экзогенные условия синтеза РГРС
В диссертации проводится анализ процессов и связей, определяющих влияние выделенных подсистем на функционирование РГРС.
11
Каждый иерархический уровень транспортирующих газовых сетей в соответствии со специфическими для него назначением и задачами имеет характерную структуру, отражающую определенный способ компоновки и связи основных компонентов и объектов данного уровня. Иерархическая топология региональных сетей газоснабжения обусловливает генеалогический принцип построения дерева её графа: все потребители цепочками различного числа звеньев
и длины подсоединены к единому источнику – входу от магистрали высокого
давления. Если таких входов несколько, их можно условно соединить либо с
одним наиболее ранним или исходным, либо с фиктивным общим источником.
На основании сделанных в диссертации предпосылок постановка задачи синтеза и оптимизации РГРС может быть представлена следующим образом. Имеется
множество Т точек на плоскости, отображающих расположение потребителей и
источников газа. Требуется связать их сетью прямолинейных отрезков, идущих
от точки к точке таким образом, чтобы длина сети была минимальной. Примеры
таких сетей для случая произвольной прокладки магистралей и соответствующей этому евклидовой метрики расстояний E2, возможной, в частности, в сельских районах и для манхэттенской (прямоугольной) метрики М2 в условиях
плотной городской застройки и прокладки магистралей вдоль улиц и кварталов,
пересекающихся под прямыми углами.
В третьей главе «Теоретико-графовые модели и алгоритмы оптимизационных задач РГРС» формализована модель оптимизации распределительнотранспортной системы; разработан алгоритм оптимизации РГРС как кратчайшей связывающей сети; разработан алгоритм оптимизации РГРС с точками
Штейнера.
Существующие модели размещения транспортно-распределительной сети
формализуются как задача нахождения кратчайшего остовного дерева (SST) в
общем случае и задача Штейнера при введении в сеть дополнительных точек.
Обе эти задачи в их традиционной постановке предполагают целевую функцию
в виде построения связывающего дерева минимальной длины. Под длиной дерева понимается суммарный вес входящих в него рёбер, каждому их которых
приписан вес в виде длины или стоимости. Ввиду больших размеров решение
таких задач практических размерностей регулярными методами перебора невозможно, поэтому для них разрабатываются эвристические алгоритмы решения.
Для постановки задачи оптимизации в отношении РГРС необходимо ввести следующие определения.
Исходные объекты представляют собой соединяемые сетью терминалы
(любые точки сети, в которых происходит преобразование потока газа – АГРС,
ГРП, потребители и т.п.) и характеризуются геометрическими параметрами, а
также координатами расположения. В больших транспортирующих сетях, к которым относятся РГРС, такие объекты для упрощения задаются точками в рассматриваемой области прокладки трубопроводов.
Узловые точки (узлы) показывают места присоединения сети к источникам
и потребителям, а также разветвления сети и имеют свои координаты расположения.
12
Дуга определяется как участок сети, ограниченный двумя узлами и не содержащий больше никаких узлов.
При постановке задачи также приняты следующие допущения:
1) рассматриваются сети, имеющие топологию деревьев;
2) в сети имеется только один источник, причем поток, выходящий из источника, равен сумме потоков, подаваемых потребителям (требование сохранения потока).
Формализацию задачи синтеза и оптимизации при размещении терминалов
трубопроводной системы транспортировки газовых потоков как построения
РГРС из прямолинейных отрезков, связывающей источники с потребителями
можно представить следующим образом.
Пусть в некоторой системе координат на плоскости расположены множество точек А{а1, а2, …, ап}, которые описывают положение конечных потребителей газа в обслуживаемом регионе. Связывающей сетью для точек на плоскости называется дерево Т с вершинами в этих точках. Задача состоит в том,
чтобы связать заданное подмножество полюсов X  A, представляющих стоки
(потребителей) данной сети и, возможно, некоторые дополнительные точки с
источником сетью Т прямолинейных звеньев трубопроводов, обеспечивающих
транспортировку и распределение продукта таким образом, чтобы доставить
экстремум некоторому целевому функционалу. Другие вершины, принадлежащие А – X, могут либо стягиваться деревом Т, либо нет, в зависимости от ограничений целевого функционала. В частности они могут быть выражены в форме бюджетных ограничений на величину капиталовложений в строительство
новых ветвей газопроводов или размеров квоты объёмов отпускаемого региону
газа.
Пусть S – произвольная трубопроводная сеть, соединяющая п исходных
объектов. В качестве её модели с учетом сделанных предположений рассматривается набор {А, X, Т, q, ρ, D, C, B}, определяемый следующим образом.
1. Множество A′ = {а1, а2, …, ап}, – набор точек на плоскости (евклидовой
метрики – Е2 или манхэттенской метрики – М2), координаты которых описывают расположение всех заданных (потенциальных или уже подключенных)
исходных терминальных объектов трубопроводной сети S;
множество
′′
A ={аn+1, аn+2, …, аn+m} – набор дополнительных точек (точки Штейнера) из Е2
или М2, описывающих расположение разветвлений сети S; множество A′  A′′
=A ={а1, а2, …, ап, аn+1, аn+2, …, аn+m} – множество, составленное из наборов терминальных и дополнительных точек.
2. Множество X = {а1, а2, …, аk} представляет собой подмножество множества А′ исходных объектов Х  А′, покрываемых данной сетью и является результирующим вектором для определения величины дохода, затрат и прибыли
от реализации природного газа в данном регионе; оно также обусловливает
структуру дерева Т.
3. Сети S ставится в соответствие граф Т так, чтобы каждому узлу Ci сети S
отвечала вершина i графа Т и каждой паре узлов Сi, Сj, соединенных связью,
соответствовало ребро (i, j) графа Т. Будем говорить, что граф Т определяет
структуру сети S. Пусть С – множество всех пар (i, j), i, j Є А и С′  С – множе-
13
ство таких пар, каждая из которых является дугой дерева Т. Граф Т(А) для точек множества А определяется матрицей смежности дерева Z = |zij|, i, j Є А:
1, если (i, j )  Т
zij  
0, в противном случае
4. Для любой пары точек и = (α1, α2, …, αn) Є Р, v = (β1, β2, …, βn) Є Р функция ρ(и,v) определяет метрику плоскости, т.е. задаёт кратчайшее расстояние
между точками и и v, которое может быть реализовано некоторой трассой.
Обычно в практике проектирования сетей используются евклидова метрика Е2:
n
 (
 (u, v) 
i 1
i
 i )2 ,
и прямоугольная (манхэттенская) М2:
n
 (u , v)    i   i .
i 1
(для плоскости n = 2).
Задача отыскания оптимальной топологии и размещения объектов газораспределительной сети состоит в нахождении структуры сети Т*, выделения
подмножества потребителей Х*  А′, а также расположения дополнительных
точек ветвления А′′*Є А′′ и набора диаметров D* таких, чтобы для заданных A, q,
ρ имело место
F(А′′*,Х*, T*, D*, q, ρ, B) = max F(А′, T, D, q, ρ, B)
Х
 А′, А′′, Т, D
при выполнении следующих условий:
а) граф Т является деревом:
z
ij
1 j  A,
j  i0 ,
i, j
z
jA
i0 j
 1;
z ij  {0,1}, i  j , {xij  1}  {xij }  i, j  A ;
 z
iА kА
ik
 N  n2.
б) множество висячих вершин Т соответствует множеству А′:
z
iА
i
n.
С математической точки зрения, размещение объектов транспортно-распределительных сетей представляют собой задачу нахождения экстремума некоторого функционала, зависящего от непрерывных (координаты расположения
терминальных узлов и точек Штейнера) и дискретных, в том числе булевых,
параметров.
Решению непрерывных и дискретных задач размещения на плоскости в
настоящее время посвящено много работ. Однако методы решения смешанных
дискретно-непрерывных задач разработаны в значительно меньшей степени. В
14
диссертации предложены алгоритмы для решения смешанных оптимизационных задач размещения объектов с учетом перечисленных особенностей. Алгоритм их решения содержит три этапа: 1) построение кратчайшей связывающей
сети (SST) без введения дополнительных узлов, 2) оптимальное расположение
полученных промежуточных узлов сети – задача Штейнера и 3) оценка стоимости связей, дохода и максимизация целевого функционала.
Задача построения структуры сети без введения дополнительных узлов состоит в том, чтобы в полном неориентированном графе с весами на рёбрах
найти дерево, связывающее все вершины и имеющее минимальную сумму весов рёбер. Решение задачи данного этапа основано на алгоритме, предложенном
Примом и Краскалом1. Кратчайшее дерево, полученное на основе алгоритма
Прима, является базой для второго этапа оптимизации сети при включении дополнительных точек Штейнера. При этом предполагается, что введение и соответствующий подбор расположения в сети дополнительных точек может снизить длину SST.
Основное отличие алгоритма построения дерева Штейнера от алгоритма
Прима состоит в том, что присоединение точек к фрагменту происходит в дополнительных точках, на которых достигается обобщенное расстояние от точки
до фрагмента.
На основании проведенного анализа свойств точек Штейнера и условий
проектирования РГРС в диссертации был разработан алгоритм модифицированного покоординатного спуска, предусматривающий включение только тех
дополнительных точек, которые увеличивают эффективность дерева Штейнера.
Следовательно, возможно получение неполного дерева Штейнера в отличие от
традиционного алгоритма покоординатного спуска, предполагающего нахождение полного дерева Штейнера, не всегда улучшающего SST. Предлагаемый в
диссертации эвристический алгоритм модифицированного покоординатного
спуска представляет последовательность следующих операций, проводимых
после нахождения оптимальной сети без точек Штейнера, которую мы в данном
случае будем называть 0-решением.
На территории размещения РГРС наносятся потенциальные точки Штейнера, в качестве которых выступают узлы наложенной на неё координатной
сетки с заданным шагом. Из этих узлов выделяются те, которые отвечают признакам точки Штейнера. Затем рассчитываются значения длин множества сетей,
в каждую из которых входит только одна из выделенных точек Штейнера. В
свою очередь из полученного множества значений, выделяются те варианты сети и, соответственно, точки Штейнера, которые обеспечивают решения более
эффективные, чем 0-решение. Выделенная таким образом совокупность точек
Штейнера уже позволяет перейти к поиску оптимальных решений, предусматривающих различные сочетания этих точек. В реальных условиях точек Штейнера может оказаться слишком много, чтобы найти глобальный оптимум пряСм: Прим Р.К. Кратчайшие связывающие сети и некоторые обобщения. /Кибернетический сборник,
Новая серия. Вып. 2, – М.: Мир, 1961. С. 95-107; Kruskal J.B.J. On the Shortest Subtree of Graph and the
travelling Salesmen Problem. /Procession American Mathematics Society. 1956. №7. Р. 43-62.
1
15
мым перебором с небольшими затратами машинного времени (NP-трудная задача). В диссертации обосновывается целесообразность и достаточность
нахождения локального оптимума (в отношении количества точек Штейнера и
их размещения) и предлагается авторская методика поиска локального оптимума, отличие которой от прямого перебора заключается в том, что полученные
точки Штейнера ранжируются по длине сети (эффективности), среди них выбирается наиболее эффективная (1-я) точка и к ней добавляются следующие по
рангу и т.д., причём, если очередная точка приводит к снижению эффективности (увеличению длины сети) то эта точка исключается из рассмотрения на
данном шаге. Из полученного множества, для которого базовой была взята 1-я
точка, выбирается наиболее эффективная сеть (сочетание точек Штейнера). Затем за базу выбирается одна из не вошедших в предыдущие решения точка
Штейнера и процесс повторяется до тех пор, пока все точки в том или ином сочетании не попадут хотя бы в один из локально оптимальных наборов точек
Штейнера. Из полученных таким образом решений выбирается наилучшее.
В диссертации приводятся описание основных этапов алгоритма и отличия
предлагаемого метода покоординатного спуска от стандартного, в частности
предусматривающего, что на прямоугольную систему координат в границах заданной области (кластера потребителей газа и терминалов преобразования газового потока данной территории в случае РГРС) накладывается прямоугольная
сетка линий, параллельных осям координат, в узлах которой располагаются дополнительные точки. Для каждой из них в отдельности определяется SST,
включающее эту дополнительную вершину, и находится его длина. Так формируется двумерная матрица со значениями длин SST с каждой из дополнительных точек.
Для иллюстрации решения задач синтеза и оптимизации транспортнораспределительных сетей на основе полученных математических моделей в
условиях достаточно близких к реальным, в диссертации используются данные
– координаты конечных потребителей – РГРС отдельных районов Самарской
области. При оценке уровня эффективности полученных на моделях оптимальных решений они сравниваются с уже существующими схемами РГРС.
В четвёртой главе «Программное обеспечение и решение задач оптимизации РГРС» разработано программное обеспечение решения задачи Штейнера при оптимизации РГРС с различными метриками; проведены численные
эксперименты по оптимизации участков реальных РГРС по предложенным моделям и алгоритмам оптимизации с евклидовой и манхэттенской метриками.
Для реализации разработанных алгоритмов нахождения SST сети разработано оригинальное программное обеспечение на языке FORTRAN в среде
программирования FORTRAN-32 WORKSTATION. Эти программы позволили
провести численные эксперименты по решению примеров оптимизации РГРС
для конкретных ситуаций. Программное обеспечение выполнено из отдельных
блоков и процедур, что позволяет строить из них различные программы, приспосабливая к разным постановкам задачи. Блочная структура даёт возможность также легко расширять «библиотеку» процедур с тем, чтобы охватить новые постановки задач. Поэтому программное обеспечение выполнено таким об-
16
разом, чтобы оно могло осуществляться как в виде самостоятельной программы, так и подпрограммы построения SST в пакете решения задачи Штейнера, также как и других задач оптимизации потоков в сетях различного назначения.
Разработанное программное обеспечение решения задачи Штейнера для
оптимизации РГРС состоит из трёх основных блоков: 1) процедуры формирования списка эффективных точек Штейнера для евклидовой метрики; 2) процедуры формирования списка эффективных точек Штейнера для манхэттенской
метрики; 3)процедуры покоординатного спуска для сформированного на
предыдущем шаге списка эффективных точек Штейнера.
На основании полученных программ был проведен ряд численных экспериментов, обеспечивших проверку работоспособности, быстродействия и
точности алгоритмов, а также выбор шаг решётки. Рассмотрим в качестве иллюстрации работы предлагаемого алгоритма в продолжение также рассмотренного в диссертации решения задачи Штейнера для РГРС Шенталинского
района Самарской области, метрика которого является евклидовой.
Шаг 1. Решение задача нахождения SST для сети, определяемой множеством терминальных точек РГРС Шенталинского района. Из полученного ранее
решения следует, что длина исходного SST, являющаяся базовой для оценки
эффективности введения точек Штейнера составляет 33,27 усл. ед.
Шаг 2. В рассматриваемом примере величина шага прямоугольной сетки,
накладываемой на территорию района, составляет 10 Х 10. В каждом узле этой
сетки последовательно располагается дополнительная точка с координатами
(xi,yi) и рассчитывается длина SST.
На рисунке 4 даны послойные срезы – сечения этой поверхности плоскостями, параллельными ZOY с шагом, равным 1 усл. ед. Фактически мы получили значения длин 100 вариантов кратчайших остовных деревьев – локальных
оптимальных сетей РГРС, каждая из которых включает только одну дополнительную точку. Вся совокупность полученных значений эффективности
этих деревьев показана на трёхмерной диаграмме рисунка 5.
На последующих 4-х шагах из 100 были выделены 20 точек, обладающих
признаком точки Штейнера.
В свою очередь, из этих 20 точек в каждом из слоёв выделяются точки со
значениями, обеспечивающими дерево, с длиной лучшей базового SST, и из них
последовательно выбирались группы точек – локальных оптимумов, снижающие длину сети. Из полученной совокупности локальных оптимумов была выбрана группа из трёх точек обеспечивающие минимальную длину сети.
В диссертации изложен аналогичный численный эксперимент оптимизации
сети с манхэттенской метрикой введением в неё точек Штейнера на примере
участка РГРС Сергиевского района Самарской области.
В целом по рассмотренным примерам использование предложенных моделей оптимизации РГРС позволяет снизить длину участков РГРС Шенталинского района на 26,5% и РГРС Сергиевского района на 30,0% по сравнению с
существующими сетями.
17
36,5
36,5
0
36
0
36
35,5
Y=2
35
34,5
Y=4
35
34,5
34
33,5
34
33,5
33
33
32,5
32,5
1
2
3
4
5
6
X
7
8
9
10
1
2
3
4
5 X 6
7
8
9
10
4
5
7
8
9
10
37
36
35,5
Y=6
Y=7
34,5
Y=8
36
Y=5
35
0
36,5
0
Длина сети, ус. ед.
Длина сети, ус. ед.
Y=3
35,5
Длина сети, ус. ед.
Длина сети, ус. ед.
Y=1
34
33,5
Y=9
35,5
Y=10
35
34,5
34
33,5
33
33
32,5
32,5
1
2
3
4
5
6
X
7
8
9
1
10
2
3
X
6
Рисунок 4. – Срезы эффективности РГРС Шенталинского района
Самарской области с одной точкой Штейнера для различных уровней Y
(--0-- – длина SST сети без точек Штейнера)
37,0
Длина дерева, усл. ед.
36,5
36,0
35,5
35,0
34,5
10
34,0
7
33,5
4
33,0
1
32,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
У
10
Х
Рисунок 5. – Пространство множества оценок эффективности РГРС
Шенталинского района Самарской области с одной точкой Штейнера
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Проведен системный анализ отраслевых особенностей функционирования и методов оптимизации РГРС. Установлено, что региональные газотранспортные сети являются сложными системами, вместе с тем сложившие-
18
ся методики их проектирования и эксплуатации во многом основываются на
эмпирическом опыте и использовании упрощённых математических моделей,
адекватных алгоритму конкретных АСУ и оптимизирующих функциональные
характеристики отдельных элементов сети, но не условиям реальных РГРС и не
обеспечивающих минимизацию морфологических, наиболее капиталоёмких параметров, таких как топология и длина сети в целом. При этом, основные показатели и, соответственно, методы анализа любой индустриальной, в том числе газораспределительной системы следует разделить на две группы - морфологические и функциональные. Морфологические свойства, определяющие характер связей - топологию - объектов системы, характеризуются в экономических категориях как вложения в основные средства, а функциональный аспект отражает протекание физических потоков и связанные с этим эксплуатационные затраты. В случае газораспределительных сетей издержки морфологической группы значительно превышают функциональные.
2. Исследованы методы анализа сетей и теории графов в принятии управленческих решений.
3. Проведен сравнительный анализ топологий сетей в отношении РГРС.
Выявлено, что при проектировании и усовершенствовании больших и сложных
систем в случае РГРС основное значение имеют методы сетевого анализа.
4. Выявлены системные связи и закономерности функционирования РГРС.
5. Определены задачи синтеза и оптимизации РГРС. Постановка задачи
синтеза и оптимизации РГРС в формате теоретико-графовых методов дифференцируется на задачу поиска кратчайшего остовного дерева на этапе предварительной проработки проекта и решение задачи Штейнера на основном этапе
определения оптимальной топологии РГРС. При этом общую задачу Штейнера
необходимо рассматривать в следующих постановках: задача Штейнера на
плоскости как непрерывная задача для новых РГРС и задача Штейнера на графе, представленном на исходный момент определенной структурой, как дискретная задача для реконструируемых РГРС. В свою очередь для проектов «в
чистом поле» используется задача с евклидовой метрикой и для проектов на застроенных территориях целесообразно применять решение задачи Штейнера с
прямоугольной (манхэттенской) метрикой.
6. Формализована модель оптимизации распределительно-транспортной
системы. Доказано, что задача поиска кратчайшего дерева при проектировании
РГРС всегда имеет точное оптимальное решение. Задачу Штейнера практических размерностей в реальных условиях РГРС следует отнести к классу NPтрудных и многоэкстремальных, а её решение обеспечивает нахождение только
локальных оптимумов, что обуславливает необходимость разработки соответствующих эвристических алгоритмов.
7. Получены алгоритмы оптимизации РГРС, как кратчайшей связывающей
сети. При этом, алгоритм решения теоретико-графовых задач оптимизации
РГРС содержит три этапа: 1) построение кратчайшей связывающей сети (SST)
без введения дополнительных узлов, 2) оптимальное расположение полученных
промежуточных узлов сети - задача Штейнера и 3) оценка стоимости связей,
дохода и максимизация целевого функционала.
19
8. Разработано программное обеспечение решения задачи оптимизации
РГРС с различными метриками.
9. Проведена оптимизация участков реальных РГРС с евклидовой и манхэттенской метриками. Результаты проведенных численных экспериментов по
оптимизации РГРС, проведенные на разработанных в диссертации модели, алгоритмах и программах для ЭВМ, позволяют снизить длину участков РГРС
Шенталинского района (евклидова метрика) на 26,5% и РГРС Сергиевского
района (манхэттенская метрика) на 30,0% по сравнению с существующими сетями.
По теме диссертации опубликованы следующие работы:
1. Забержинский Б.Э. Эволюционные методы в решении задач оптимизации.
/Вестник Самарского ГТУ, №15-2002 г. С. 49-53 (0,47 п.л.): Изд-во Самарского
ГТУ, 2002.
2. Забержинский Б.Э. Методологические аспекты системного анализа и оптимизации в газовой промышленности. /Вестник Самарского ГТУ, №40-2006г. С.
11-15 (0,46 п.л.): Изд-во Самарского ГТУ, 2006.
3. Забержинский Б.Э. Исследование и оптимизация структуры потребителей в
системе газораспределения. /Ашировские чтения. Тезисы докл. Междунар. научно-практ. конф. Самара 2002 г. С. 58 (0,11 п.л.): Изд-во Самарского ГТУ,
2002.
4. Забержинский Б.Э. Перспективные методы для решения задач оптимизации.
/Инфокоммуникационные и вычислит. технологии и системы. М-лы Всеросс.
конф., Улан-Удэ 2003 г. Ч. 1. С. 142-145 (0,42 п.л.): Изд-во Бурятского ГУ, 2003.
5. Забержинский Б.Э. Распределение и оптимизация ресурсов в условиях неопределенности. /Инфокоммуникационные и вычислит. технологии и системы.
М-лы Всеросс. конф. Улан-Удэ 2003 г. Ч. 1. С. 141-142 (0,12 п.л.): Изд-во Бурятского ГУ, 2003 г.
6. Забержинский Б.Э. Постановка задачи оптимизации региональных газораспределительных систем. /Инфокоммуникационные и вычислит. технологии и
системы. М-лы II Всеросс. конф. Улан-Удэ 2006 г. Т. 1. С. 144-147 (0,17 п.л.):
Изд-во Бурятского ГУ, 2006.
7. Забержинский Б.Э. Системные принципы в описании региональных газораспределительных сетей. /Актуальные проблемы в строительстве и архитектуре. Образование. Наука. Практика. М-лы 63-й Всеросс. научно-техн. конф. по
итогам НИР СГАСУ за 2005 г. С. 338-339 (0,12 п.л.): Изд-во Самарского ГАСУ,
2006.
8. Забержинский Б.Э. Системообразующие факторы проекта адаптации региональной газотранспортной сети. /Математ. моделирование и краевые задачи.
Труды Третьей Всеросс. научн. конф. 2006 г. Ч. 2. С. 68-72 (0,26 п.л.): Изд-во
Самарского ГТУ, 2006.
9. Забержинский Б.Э. Обоснование алгоритма оптимизации региональной газораспределительной сети. /Математ. моделирование и краевые задачи. Труды
четвертой Всеросс. научной конф. 2007 г. Ч. 4. С. 41-43 (0,14 п.л.): Изд-во Самарского ГТУ, 2007.
20
Автореферат отпечатан с разрешения диссертационного совета Д212.217.03.
ГОУВПО «Самарский государственный технический университет»
(протокол № 12 от 5 октября 2007 г.)
Формат 60x90/16 Усл. печ. Л.1.
Заказ № 710. Тираж 100 экз.
Самарский государственный технический университет
Отдел типографии и оперативной печати
443110, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244