Документ 467536

Справочный материал к теме «Тригонометрические уравнения»
(приложение к урокам 122 – 130)
1. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.
a sin 2 x  b sin x  c  0; a cos2 x  b cos x  c  0; a tg 2 x  b tgx  c  0;
a sin 2 x  b cos x  c  0; a cos2 x  b sin x  c  0;
a tgx  b ctgx  0;

1 
ctgx  tgx 


Вводим новую переменную sin x  t , cos x  t , tgx  t  и решаем полученное
уравнение относительно t. Затем переходим к решению простейших
тригонометрических уравнений вида cos x  t , sin x  t , tg x  t.
2. Однородные уравнения 1 и 2 степени.
a sin x  b cos x  0; a sin 2 x  b sin x cos x  c cos2 x  0 .
sin
2
x  1  cos2 x 
cos
2
x  1  sin 2 x 
Решаем делением обеих частей уравнения на cos x  0 или cos 2 x  0 .
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d , d  d  sin 2 x  cos2 x  .


Выполняем замену для d, переносим все члены в левую часть уравнения,
приводим подобные члены и решаем как однородное уравнение 1 степени.
3. Неоднородные уравнения.
a sin x  b cos x  c, a  0, b  0, c  0.
Способы решения:
1) С помощью формул половинного угла (выполняем замену)
x
x
x
x
x
x
x

cos x  cos2  sin 2 ; sin x  2 sin cos ; 1  sin 2  cos2 ; c  c sin 2  cos2
2
2
2
2
2
2
2

2) С помощью формул тангенса половинного угла (выполняем замену)
x
x
2tg
1  tg 2
2 ; cos x 
2 ; tg x  t .
sin x 
x
x
2
1  tg 2
1  tg 2
2
2
3) С помощью вспомогательного угла:
а) делим каждый член уравнения на a 2  b 2 ;
a
b
c
a
b
sin x 
cos x 
;
 cos ;
 sin 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a b
a b
a b
a b
a  b2
c
cos sin x  sin  cos x 
2
a  b2
c
sin  x    
2
a  b2
б) решаем как простейшее тригонометрическое уравнение вида sin x  t .
4. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители с
использованием различных тригонометрических формул.
x

2
5. Тригонометрические формулы:
1) sin 2 x  cos2 x  1; tgx  ctgx  1; tgx 
sin x
cos x
1
1
; ctgx 
; 1  tg 2 x 
; 1  ctg 2 x 
2
cos x
sin x
cos x
sin 2 x
2tg
2) sin 2  2 sin  cos ; cos 2  cos2   sin 2  ; tg 2 
формулы
2
1  tg 
двойного угла;
3) sin      sin  cos   cos  sin  ; cos      cos  cos   sin  sin  формулы
сложения;
1  cos2
1  cos2
4) sin 2  
формулы понижения степени;
; cos2  
2
2
 
 
 
 
5) sin   sin   2 sin
;
cos
; cos  cos   2 cos
cos
2
2
2
2
 
 
   
sin   sin   2 sin
cos
; cos  cos   2 sin
sin
2
2
2
2
Формулы суммы и разности синусов и косинусов.
1
1
6) sin   sin   cos     cos   ; cos  cos   cos     cos   
2
2
1
sin   cos   sin      sin     формулы преобразования произведения в
2
сумму.
Алгоритм решения тригонометрических неравенств
Решение неравенств вида sin x  a; cos x  a с помощью единичной окружности
1. Отметить число а на оси ординат (абсцисс) Оу (Ох) и провести через нее
прямую, перпендикулярную этой оси.
2. Отметить на окружности дугу, состоящую из всех точек, ордината (абсцисса)
которых удовлетворяет данному неравенству. Эти точки расположены по одну
сторону от проведенной прямой.
3. Записать один числовой промежуток, точки которого заполняют отмеченную
дугу, и, прибавив к его концам 2n , получить общее решение.
4. Левый конец промежутка должен быть меньше правого и разность между
левым и правым концом не превосходит 2 .
Решение неравенств вида sin x  a; cos x  a; tgx  a; ctgx  a
графиков тригонометрических функций
с
помощью
1. Построить графики функций y  sin x; ( y  cos x; y  tgx, y  ctgx) и y  a на
одной координатной плоскости.
2. Находим абсциссы точек пересечения графиков на одном числовом
промежутке (учитываем периодичность тригонометрических функций).
3. Находим все значения х на выбранном числовом промежутке, для которых
соответствующие точки графика лежат выше (ниже) прямой у = а.
4. Записываем решение неравенства в виде двойного неравенства, прибавив к его
концам 2n (для синуса и косинуса) и n (для тангенса и котангенса).
Формулы приведения
Если угол выражен или можно выразить через

2
;;
3
; 2 90; 180; 270; 360 ,
2
то применяем формулы приведения.
1. Выразим заданный угол через один из перечисленных углов, причем второй
угол в сумме или разности должен удовлетворять условию 0   

.
2
2. Определим четверть, в которой расположен заданный угол, и знак данной
тригонометрической функции.
 3
90; 270 , то синус заменяется на косинус,
3. Если угол выражен через ;
2 2
тангенс на котангенс и наоборот. Если угол выражен через  ; 2 180; 360 , то
замены не происходит.
Справочный материал к теме «Простейшие тригонометрические уравнения»
(приложение к уроку 116)
1. Уравнение вида cos x  a .
arccosa   , если cos  a,   0;  , a   1; 1
arccos a     arccosa
a) a  1, то нет действительных корней;
б ) 0  a  1, x   arccosa  2n, n  ;
в )  1  a  0, x    arccosa   2n, n  ;

 n, n  ; a  1, x  2n, n  ;
2
2. Уравнение вида sin x  a .
г ) a  0, x 
a  1, x    2n, n  .
  
arcsin a   , если sin   a,    ; , a   1; 1
 2 2
arcsin  a    arcsin a
a) a  1, то нет действительных корней;
б ) 0  a  1, x   1 arcsin a  n, n  ;
n
в )  1  a  0, x   1 arcsin a  n, n  ;
n 1
г ) a  0, x  n, n  ;
a  1, x 
3. Уравнение вида tg x  a .

2
 2n, n  ;
  
arctg a   , если tg  a,     ; , a  R
 2 2
arctg  a   arctga
a) a  0, x  arctga  n, n  ;
б ) a  0, x  arctga  n, n  ;
г ) a  0, x  n, n  .
4. Уравнение вида ctg x  a .
arcctg a   , если сtg  a,     ;  , a  R
arcctg  a     arcctga
a) a  0, x  arcctga  n, n  ;
б ) a  0, x    arcctga  n, n  ;
г ) a  0, x 

2
 n, n  .
a  1, x  

2
 2n, n  .