Глава III. Аналитическая геометрия

Дисциплина ЛААГ
(линейная алгебра
и аналитическая геометрия)
Кафедра высшей
математики
ТПУ
Лектор:
доцент
Тарбокова
Татьяна
Васильевна
1
Тема 3. Аналитическая
геометрия на плоскости
• Разделы
• 1. Прямая на плоскости
• 2. Кривые второго порядка
2
3
4
Взаимное расположение прямых на плоскости
На плоскости две прямые могут:
а) быть параллельны, б) пересекаться.
Допустим, уравнения прямых ℓ1 и ℓ2 имеют вид:
ℓ1: A1x + B1y + C1 = 0 или y = k1x + b1
ℓ2: A2x + B2y + C2 = 0 или y = k2x + b2
1) Пусть прямые параллельны:
N1
N2
1
1
2
2
x
1
2
5
Прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны
тогда и только тогда,
когда в их общих уравнениях
координаты нормальных векторов
пропорциональны, т.е.
A1
A2

B1
B2
или их угловые коэффициенты равны, т.е.
k1 = k2 .
6
2) Пусть прямые пересекаются
N2
1
1
2
cos 1,2  
( N1, N 2 )
N1  N 2

1
2
N1
1
A1A 2  B 1B 2
( A 1 )2  ( B 1 )2  ( A 2 )2  ( B 2 )2
где знак плюс берется в том случае, когда надо найти
величину острого угла, а знак минус – когда надо найти
величину тупого угла.
(N1 , N2 )  A1 A2  B1B 2  0 
критерий перпендикулярности прямых, заданных общими
уравнениями.
7
2
1
1
1
tg  1,2  
2
x
k 2  k1
1 k 2  k1
где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину
острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого
угла.
1
k2  

k1
критерий перпендикулярности прямых, имеющих угловые
8
коэффициенты k1 и k2.
Алгоритм решения задачи 1
• а) Координаты нормальных векторов
(коэффициенты при х и y в общих
уравнениях прямых) данной и искомой
прямой одинаковые. Зная нормальный
вектор и точку на прямой, получим
искомое уравнение прямой
9
Алгоритм решения задачи 1
• б) Направляющий вектор данной прямой
xx
yy
(координаты его (m, n) –

m
n
в знаменателях данного канонического
уравнения прямой) является нормальным
вектором искомой прямой. Зная
нормальный вектор и точку на прямой,
получим искомое уравнение прямой
m( x  xA )  n( y  yA )  0.
1
1
10
Алгоритм решения задачи 1
• в) Находим угловой коэффициент данной
прямой.
• Для горизонтальных прямых y  c
• угловой коэффициент k1  0 ,
• для вертикальных прямых x  c

угловой коэффициент равен k1 
,
2
• для наклонных прямых
y  k1x  b  k1
11
2
1
1
1
2
x
12
• Из уравнения
• надо найти два значения углового
коэффициента
k1  tg
k2 
•
1 k1tg
• и записать искомые уравнения прямых
y  yA  k2 ( x  xA )
13
Алгоритм решения задачи 1
• г) Для решения этого задания используем
уравнение прямой, проходящей через две
данные точки
x  x1
y  y1

x 2  x1 y 2  y1
14
Алгоритм решения задачи 2
• а) Чтобы найти точку пересечения прямых,
надо решить систему уравнений, задающих эти
прямые. Подставим х и y из канонического
уравнения прямой в уравнение другой прямой.
Найдём значение параметра t для точки
пересечения прямых, а потом – и её
координаты х и y .
• б) Перейдём от данных уравнений прямых к
общим
. Косинус угла между
прямыми найдём по формуле
cos 1,2  
( N1, N 2 )
N1  N 2

A1A 2  B 1B 2
( A 1 )2  ( B 1 )2  ( A 2 )2  ( B 2 )2
15
в) Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая ℓ задана общим уравнением
Ax + By + C = 0 ,
M0(x0;y0) – точка, не принадлежащая прямой ℓ.
Найти расстояние от точки M0 до прямой ℓ можно по формулам:
M0
N
d

M1
d
( N, M1M 0 )
N

Ax0  By0  C
A2  B 2
16
§ Кривые второго порядка
Кривые второго порядка делятся на
1) вырожденные
и
2) невырожденные.
Вырожденные кривые второго порядка - это прямые и
точки, которые задаются уравнением второго
порядка. Если уравнению второго порядка не
удовлетворяет ни одна точка плоскости, то тоже
говорят, что уравнение определяет вырожденную
кривую (мнимую кривую второго порядка).
Невырожденными кривыми второго порядка являются
эллипс, окружность, гипербола и парабола.
17
Общее уравнение кривой второго порядка
Рассмотрим уравнение
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
С помощью элементарных преобразований это уравнение может
быть приведено к виду:
1) при AC  0 :
( x  x0 ) 2
2) при C  0 :
( x  x0 ) 2   ( y  y 0 )
3) при A  0 :
( y  y 0 ) 2   ( x  x0 ) .


( y  y0 ) 2

 1;
Уравнения
определяют кривую, каноническая система
координат которой параллельна заданной, но имеет начало в
точке М(x0,y0).
Уравнения 1), 2), 3) определяют кривую со смещенным центром
(вершиной) и называют каноническими уравнениями кривой со
смещенным центром (вершиной).
18
Алгоритм решения задачи 3
• Чтобы привести уравнения кривых к
каноническому виду, надо выделить
полные квадраты по переменным х и y,
выполнив тождественные
преобразования:
2
b
b
ax 2  bx  c  a( x  ) 2 
c
2a
4a
19
В результате получим уравнения вида:
1)
( x  x0 ) 2


( y  y0 ) 2

 1;
2) ( x  x0 ) 2   ( y  y0 )
3) ( y  y0 ) 2   ( x  x0 ) .
Уравнение 1) определяет эллипс,
если числа α и β одного знака,
окружность, если эти числа равны
и гиперболу - если эти числа разных знаков.
Уравнения 2) и 3) соответствуют параболам.
20
• Каноническое уравнение эллипса
( x  x0 ) 2 ( y  y 0 ) 2

1
2
2
a
b
• Каноническое уравнение гиперболы
( x  x0 ) 2 ( y  y 0 ) 2

1
2
2
a
b
• Канонические уравнения парабол
( y  y0 ) 2  2 p( x  x0 )
( x  x0 ) 2  2 p ( y  y 0 )
21
Алгоритм решения задачи 4
• Полярная система координат состоит из
некоторой точки О, называемой
полюсом, и исходящего из нее луча ОЕ,
называемого полярной осью. Кроме
этого задается единица масштаба для
измерения длин отрезков.
  полярный радиус - расстояние от точки М до полюса О,
  полярный угол, на который нужно повернуть
против часовой стрелки полярную ось
для совмещения с лучом ОМ.
22
Полярные и декартовы координаты точки
связаны соотношениями:
  x  y , sin  
2
cos  
y
2
x y
2
2
,
x
y
, tg 
2
2
x
x y
23
• Чтобы получить изображение кривой в
полярной системе координат, постройте лучи,
выходящие из полюса 0 под углами 
• к полярной оси.
• На каждом луче отложите длину вычисленного
Вами полярного радиуса , соответствующего
углу  .
• Если  - отрицательное число, то для
построения соответствующей точки нужно
отложить модуль  на луче, повёрнутом на
180 вокруг полярной оси, то есть отложить от
полярной оси угол   180 .
• Соедините построенные Вами точки плавной
линией.


24
Алгоритм решения задачи 5
• Исключив параметр t, можно получить одно
уравнение, связывающее переменные х и у.
• Если параметрические уравнения кривой
содержат синусы и косинусы, надо
воспользоваться тождеством
sin t  cos t  1
2
2
• Можно также получить множество точек
• (x(t), y(t)) на плоскости, изменяя параметр t,
• и соединить точки плавной линией.
25
Алгоритм решения задачи 6
• Сначала можно построить границу
фигуры, которая задаётся
соответствующими уравнениями.
• Если произвольно взятая точка
удовлетворяет всем заданным
неравенствам,
• то эта точка принадлежит искомой
фигуре.
26
СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ
27