Тема 1. Основы

Тема 1. Основные понятия и определения
1.
Основные понятия
Уравнение называется дифференциальным относительно некоторой неполной функции,
если оно содержит хотя бы одну производную этой функции.
Дифференциальным уравнением называется уравнение
F ( x, y, y, y,
, y ( n ) )  0,
(1.1)
которое связывает независимый аргумент x, неизвестную функцию y и ее производные
y, y, y,
, y ( n ) . Например, 3sin y  x cos y  2 y  0.
Порядком дифференциального уравнения называется максимальная степень производной,
входящей в уравнение. Так, порядок указанного выше дифференциального уравнения равен
двум.
Если искомая функция y является функцией одного аргумента x, то дифференциальное
уравнение называется обыкновенным. Если же искомая функция зависит от нескольких
аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.
Например,
y  3xy  0,
2 ln x
где
y  y ( x ), является
обыкновенным
дифференциальным
уравнением первого порядка, а ux  3uy  2 x2 y  5  0, где u  u ( x, y ),  дифференциальным
уравнением в частных производных первого порядка.
В общем случае дифференциальное уравнение n-го порядка может быть записано в виде
(1.1). Если уравнение (1.1) можно разрешить относительно наивысшей производной, то получаем
уравнение в нормальной или канонической форме y ( n )  f ( x, y, y, y,
Процесс
нахождения
решений
дифференциального
, y ( n1) )
уравнения
(1.2)
называется
интегрированием уравнения. Решением (или интегралом) дифференциального уравнения (1.1)
(или (1.2)) называется любая действительная функция y   ( x), определенная на некотором
интервале (a;b) и вместе со своими производными обращающая данное уравнение в тождество.
График решения (или интеграла) дифференциального уравнения (1.1) (или (1.2)) на
плоскости Oxy называется интегральной линией или интегральной кривой. Следовательно,
каждому решению или интегралу соответствует интегральная кривая. Все решения образуют
семейство кривых.
2.
Задача Коши
При исследовании уравнений необходимо выяснить, существуют ли решения, а также
описать совокупность решений данного дифференциального уравнения. Для этого сформируем
задачу Коши:
1) Рассмотрим вначале дифференциальное уравнение первого порядка вида
y   f ( x, y )
(1.3)
1
В этом случае постановка задачи Коши такова: для данной точки M ( x0 , y0 ) найти такую
функцию y   ( x), чтобы она была решением уравнения (1.3) и ее график проходил через
заданную точку M ( x0 , y0 ) .
2) Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка вида
 y1  f1 ( x, y1 , y2 , , yn ),
 y  f ( x, y , y , , y ),
 2
2
1
2
n


 yn  f n ( x, y1 , y2 , , yn ),
(1.4)
которую можно записать в векторной форме y  f ( x, y ). Задача Коши для этой системы
формируется следующим образом: для заданной точки M ( x0 , y10 , y20 ,
, yn0 ) найти вектор-
функцию y   ( x), которая является решением (1.4) и y 0   ( x0 ).
3) Рассмотрим разрешенное относительно y ( n ) дифференциальное уравнение (1.2).
Введем следующие обозначения:
y  y1 ; y  y1  y2 ; y  y2  y3 ; y  y3  y4 ;
После произведенной замены (1.2) сводится к виду y ( n )  f n ( x, y1 , y2 ,
; y ( n 1)  yn .
, yn ) .
Получим эквивалентную систему n дифференциальных уравнений первого порядка
 y1  y2 ,
 y  y ,
3
 2

 y  y ,
n
 n 1
 yn  f n ( x, y1 , y2 ,
, yn ).
Задача Коши для уравнения n-го порядка следующая:
для заданных значений
 y0  y ( x0 )  y10 ,

0
 y0  y( x0 )  y2 ,


 y0( n 1)  y ( n 1) ( x0 )  yn0 ,
(1.5)
найти решение уравнения (1.2), удовлетворяющее (1.5).
Точки M ( x0 , y0 ) и M ( x0 , y10 , y20 ,
, yn0 ) называют начальными условиями.
Вопрос о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (1.2)
разрешает следующая теорема.
Теорема Коши. Если правая часть уравнения (1.2) является непрерывной функцией в
окрестности значений x0 , y0 , y0 ,
, y0( n 1)
(1.6)
то уравнение (1.2) имеет решение y   ( x) в некотором интервале (a; b), содержащем x0 , такое,
что
y ( x0 )  y0 , y( x0 )  y0 , y( x0 )  y0,
, y ( n 1) ( x0 )  y0( n 1)
2
(1.7)
Если в указанной окрестности непрерывны еще и частные производные этой функции по
аргументам y, y,
, y ( n1) , то решение y   ( x) - единственно.
Числа из совокупности (1.6) называются начальными данными, а равенства (1.7) –
начальными условиями.
у
Рисунок иллюстрирует теорему существования и
единственности решения дифференциального уравнения.
Вся область D заполнена графиками решений,
при этом они не могут ни пересекаться, ни касаться
D
друг друга.
х
0
Любое дифференциальное уравнение (1.2) в области, удовлетворяющей теореме Коши,
имеет бесчисленное множество решений. В целом, это справедливо и для дифференциального
уравнения (1.1). Для описания этих решений вводится понятие общего решения.
Общим решением дифференциального уравнения (1.1) (или (1.2)) называется функция
y    x, c1 , c2 ,
где c1 , c2 ,
1)
, cn 
(1.8)
, cn - произвольные постоянные, если выполняются следующие условия:
для
любых
значений
c1 , c2 ,
, cn функция
(1.8)
является
решением
дифференциального уравнения (1.1) (или (1.2));
2)
для любых начальных данных x0 , y0 , y0 ,
уравнение
имеет
C1  C10 , C2  C20 ,
решение,
можно
, y0( n 1) , при которых дифференциальное
указать
значения
постоянных
, Cn  Cn0 , таких, что будут выполняться начальные условия
  x0 , ci0   y0 ,
   x0 , ci0   y0 ,
 ( n 1)  x0 , ci0   y0( n 1) , где i  1, n.
Общее решение, полученное в неявном виде   x, y, C1 , C2 ,
, Cn   0, называется общим
интегралом дифференциального уравнения.
Решение или интеграл, полученные из общего решения или общего интеграла при
фиксированных значениях произвольных постоянных C1 , C2 ,
, Cn , называется соответственно
частным решением или частным интегралом дифференциального уравнения.
Решить дифференциальное уравнение – значит найти его общее решение или общий
интеграл.
3
Построение дифференциального уравнения по заданному семейству кривых
3.
Для того, чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют
кривые семейства   x, y, C1 , C2 ,
, Cn   0,
(1.9)
необходимо продифференцировать (1.9) n раз, считая у функцией зависящей от х, а затем из
полученных уравнений и уравнения (1.9) исключить произвольные постоянные C1 , C2 ,
, Cn .
Пример 1.1. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых x3  Cy 2  3 y  0
Пусть y   ( x, C ) непрерывно дифференцируемое решение данного уравнения, где С –
параметр, не зависящий от х. Взяв производную по х в выражении x3  Cy 2  3 y  0 , имеем
3 y  3 x 2
.
2 yy
3x  2Cyy  3 y  0 . Выражаем C 
2
Подставим полученное выражение для С в x3  Cy 2  3 y  0 , получим x3  y 2 
3 y  3 x 2
 3 y  0.
2 yy
Преобразовывая, получим дифференциальное уравнение y(2 x3  3 y)  3x 2 y  0.
Пример 1.2. Составить дифференциальное уравнение семейства линий ( x  C1 )2  C2 y 2  1 .
Дважды дифференцируя по х тождество ( x  C1 )2  C2 y 2  1  0.
2( x  C1 )  2C2 yy  0,
Получим 
2
 1  C2 y  C2 yy  0.
Исключаем из последней системы постоянные C1 , C2 , имеем следующие преобразования:
1

xy2  xyy  yy


C

x

yy
,
,
C1 
 1
y2  yy
y2  yy




1
1
 C 
 C 
,
.
2
2
2
2


y  yy
y  yy
Подставляем выражения для C1 и C2 в ( x  C1 )2  C2 y 2  1 , получаем
2
2

 1 
xy2  xyy  yy 
x

 y2  2


  1,
2
y  yy
 y  yy 


2
2
 yy  

y
 2
 2

  1,
 y  yy   y  yy 
( y2  yy)2  y 2 (1  y2 )  0.
Задания для самостоятельной работы
Составить дифференциальные уравнения данных семейства линий
1. y  e
Cx
xy 


y
 Ответ : y  e 


3
2. y  ( x  C )
Ответ : y  3 y 
3
2
4
3
3. y  Cx
Ответ : xy  3 y 
4. y  sin( x  C )
 Ответ : y
2
2
5. x  Cy  2 y
 Ответ : x
2
2
 y2  1
y  xy  yy 
6. стр.8, № 17 – 29, А.Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.
5