Тригонометрические формулы и приемы их запоминания

Тригонометрические
формулы и приемы их
запоминания
Учитель математики: Слаткова О.М
Первый Темиртауский Классический
Лицей
Цель урока:
познакомить учащихся с мнемоническими
правилами для запоминания формул
приведения и значений тригонометрических
функций некоторых углов;
способствовать развитию логического
мышления и устной математической речи
при поиске решения поставленной
проблемы;
воспитывать внимательность,
наблюдательность и самостоятельность
Входное тестирование:
1.
Укажите значение выражения
sin 60º
1
A)
;
2
B)
С) 1;
D) 0.
3;
2
Ответ: В
Входное тестирование:
2.
Упростите выражение






cos  2

A) cos α ;
B) cos  ;
C) sin α ;
D) tg α .
2
Ответ: С
Входное тестирование:
3. Найдите значение выражения
сos 157º cos 97º + sin 157º sin 97º
1
A) 2 ;
C) 1;
B) 0;
3
D)
.
2
Ответ: А
Входное тестирование:
4.
Упростите выражение
2 sin 65º cos 65º
A) cos130º;
B) cos 50º;
C) sin 50º ;
D) tg 65º .
Ответ: С
Входное тестирование:
5. Представьте в виде произведения
cos 80º - cos 40º
А) C) -
3 sin 20º ;
2
3 sin 20º ;
B) cos 20º;
D) -
3 cos20º.
Ответ: С
Притча о трех дамах:
Пошли три дамы гулять. Первая дама,
вторая дама и третья дама.
α
sin
cos
30º
1
45º
2
60º
3
Притча о трех дамах:
И неожиданно пошел дождь. Все дамы
открыли зонтики, и одели по паре
калош.
α
sin
cos
30º
45º
60º
1
2
2
2
3
2
Притча о трех дамах:
Прогулка была закончена. Первая
дама, вторая дама и третья дама
пошли домой.
α
30º
45º
60º
3
2
2
2
1
2
sin
cos
Значения синуса и косинуса для углов
в 30º, 45º и 60º
α
sin
30º
45º
60º
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
Чтобы указать значения тангенса и
котангенса тех же углов достаточно
вспомнить ОТТ, т.е
sin 
tg α =
,
cos 
а котангенс взаимно обратная
функция для тангенса.
Формулы приведения:
-Жил рассеянный математик, и каждый раз
преобразовывая тригонометрические
функции углов вида     ,    ,  32   , 2    ,


2

он спрашивал у своей лошади, жующей за
окном сено, надо менять функцию на
«кофункцию» или нет. А лошадь кивала
головой по той оси, которой принадлежала
точка  , 3 или  , 2 , соответствую 2
2
щая первому слагаемому аргумента.
у


2
3
2
2
х
Формулы приведения:
Математику оставалось лишь записывать
ответ, указывая знак данной функции.
Например,
cos      = sin α; sin     = sin α;
2

 3



 = -tg α;
сtg 
 2

tg 2    = tg α.
Знаки тригонометрических функций:
cos α
у
у
+
-
+
-
х
-
+
-
+
tg α и сtg α
у
х
+
sin α
+
-
х
Формулы сложения:
Формулы сложения – это та, группа формул которую
нужно знать наизусть. Но для их запоминания можно
тоже воспользоваться ассоциативным приемом. У
косинуса функции одноименные:
cos ( α β ) = cos α cos β + sin α sin β;
cos ( α + β ) = cos α cos β - sin α sin β;
а у синуса разноименные:
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β;
sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β.
Не все в нашей жизни бывает «гладко» за белой
полосой идет черная, и наоборот. Так и у наших
функций, если функции идут одноименные, то знаки
не совпадают, а если разноименные, то совпадают.
Формулы сложения:
Для получения формулы тангенса суммы и
тангенса разности достаточно применить
ОТТ и разделить числитель и знаменатель
полученной дроби на cos α cos β, где
cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0.
tg  tg
tg  tg
tg (α + β) =
;
tg (α - β) =
1  tgtg
1  tgtg
Например,
сos 97º cos 67º + sin 97º sin 67º = сos (97º- 67º) =
= сos 30º =… ;
sin 25º сos 20º + cos 25º sin 20º = sin (25º + 20º)=
= sin 45º =… .
Формулы двойного угла:
Чтобы получить тригонометрические
формулы двойного аргумента достаточно в
формулах сложения β заменить на α.
Например,
cos 2α = cos (α +α)= cos α cos α - sin α sinα =
= cos²α - sin²α;
sin 2α = sin (α + α) = sin α cos α + sin α cos α =
=2sin α cos α
tg  tg
2tg

tg2α = tg (α + α ) =
1  tgtg 1  tg 2
Поэтому, 2 sin 65º cos 65º = sin (2∙ 65º) =
=sin130º = sin (180º - 50º) = sin 50º
Формулы суммы и разности
тригонометрических функций
cos (α β)=cos α cos β + sin α sin β;
cos (α + β)=cos α cos β - sin α sin β;
cos(αβ)+ cos (α + β)= 2 cos α cos β
Пусть α β = х, а α + β = у, тогда:
1
1
α = 2 (х+у)
и
β = 2 (х-у).
Следовательно,
1
1
cos х + cos у = 2 cos 2 (х+у) cos (х-у).
+
2
Если обе части равенства
cos(αβ)+ cos (α + β)=2 cos α cos β : 2,
получим формулу, позволяющую
представлять произведение косинусов
двух углов в виде суммы:
1
cos α cos β = (cos (α β) + cos (α + β)).
2
Чем нужно воспользоваться, что бы получить
формулу, позволяющую представлять
произведение синусов двух углов в виде суммы?
Итоговое тестирование:
1. Укажите значение выражения cos 60º
A)
3
;
2
1
C)
;
2
B) 1;
2. Упростите выражение cos    
D) 0.
А) cos α ; B) sin α ; C) - cos α ; D) - sin α .
3. Найдите значение выражения
sin 57º cos 27º + сos 57º sin 27º
3
1
A)
; B) 1;
C) 0 ;
D)
.
2
2
4. Упростите выражение 2 sin 75º cos 75º
1
3
A) 0;
B) 1;
C)
;
D)
.
2
2
5.Представьте в виде произведения sin 80º + sin 40º
A) 3 sin 20º;B) - 3 cos 20º;C) 3 cos20º; D) - sin 20º .
Итоговое тестирование:
Ответы: B, C, A, D, C.
Желаю сдать экзамены на
«отлично»!!!