Дискретная математика МЭиП( Лебедев)_1

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
П р а в ит е л ь с т во Р о с с и йс ко й Фе д е р а ци и
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Ф а ку л ь т е т Мировой Экономики и Политики
Программа дисциплины
Дискретная математика
для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра
Автор программы: Лебедев Анатолий Николаевич, к.ф.-м. н., с.н.с.,
lan@lancrypto.com
Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики 29.08.2011 г.
Зав. кафедрой
Алескеров Ф.Т.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель
[Введите И.О. Ф.]
Утверждена Ученым Советом факультета экономики «___»_____________20 г.
Ученый секретарь
[Введите И.О. Ф.]
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 080100.62 «Экономика», подготовки бакалавра, изучающих дисциплину «Дискретная математика».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного
учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория
«Национальный исследовательский университет»;
 Рабочим учебным планом университета подготовки магистра по направлению
080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра, утвержденным в 2011 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Дискретная математика» являются
 ознакомление студентов с основами современной дискретной математики;
 формирование навыков работы с абстрактными понятиями математики;
 знакомство с прикладными задачами дисциплины.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основы дискретной математики, необходимые для дальнейшего изучения
последующих дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим учебными планами;
 Уметь применять идеи и методы современной дискретной математики для решения задач, возникающих в дисциплинах, их использующих;
 Владеть навыками применения современного инструментария дискретной математики.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
ОНК-1
Способность к анализу и синтезу
на основе системного подхода
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-2
Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам,
задачам и лежащим в их основе
противоречиям
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-3
Способность использовать методы критического анализа, развития научных теорий, опроверже-
Стандартные (лекционно-семинарские)
Компетенция
Общенаучная
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
ния и фальсификации, оценить
качество исследований в некоторой предметной области
ОНК-4
Готовность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной
деятельности, применять методы
дискретной математики и моделирования, теоретического и экспериментального исследования
при работе в какой-либо предметной области
Стандартные (лекционно-семинарские)
ОНК-5
Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь
их для решения соответствующий аппарат дисциплины
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-6
Способность приобретать новые
знания с использованием научной
методологии и современных образовательных и информационных технологий
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-7
Способность порождать новые
идеи (креативность)
Стандартные (лекционно-семинарские)
ИК-2
Умение работать на компьютере,
навыки использования основных
классов прикладного программного обеспечения, работы в компьютерных сетях, составления
баз данных
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-1
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных
фактов, концепций, принципов
теорий, связанных с прикладной
математикой и информатикой
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-2
Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-4
Способность критически оценивать собственную квалификацию
и её востребованность, переосмысливать накопленный практический опыт, изменять при
необходимости вид и характер
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
Общенаучная
Инструментальные
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
своей профессиональной деятельности
Профессиональные
4
ПК-8
Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей,
алгоритмических и программных
решений
Стандартные (лекционно-семинарские)
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин ОПД.00 «Общие профессиональные дисциплины направления» и блоку дисциплин СД.00 «Специальные дисциплины» и является базовой.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Начала математического анализа;
 Геометрия;
 Алгебра;
 Начала информатики.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями в рамках программы средней школы:
 Знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин;
 Навыками решения типовых задач этих дисциплин.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 Математический анализ;
 Линейная алгебра и аналитическая геометрия;
 Теория вероятностей и математическая статистика.
5
№
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Всего
часов
Аудиторные часы
Лекции
Семинары
Практические
занятия
Самостоятельная
работа
1.
Теория множеств: понятие множества,
отображения множеств, мощности
множества, операции над множествами,
свойства операций.
14
2
4
8
2.
Элементы комбинаторики и алгебры:
18
4
4
10
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
размещения, перестановки, размещения
с повторениями, сочетания, сочетания с
повторениями, операция композиции
подстановок, конечные группы, таблица Кэли, кольца вычетов.
3.
Отношения на множестве. Формула
включения-исключения. Отношения
эквивалентности и частичного порядка.
Частично упорядоченные множества.
Булев куб, его длина и ширина.
14
2
2
10
4.
Булевы функции. Примеры применения
булевых функций. Элементарные булевы функции. Способы задания булевых
функций. Полнота систем булевых
функций. Классы T0 , T 1 , L, M, S, теорема Поста.
18
4
4
10
5.
6.
Многозначные функции.
Графы. Примеры применения. Транспортная задача. Поток в сети, теорема
Форда – Фалкерсона. Алгоритм построения максимального потока в сети.
Конечные автоматы. Примеры применения. Автоматные функции, способы
их задания. Теорема о преобразовании
периодической последовательности автоматной функцией. Теорема Мура.
Итого:
8
22
2
4
2
2
4
16
14
2
2
10
108
20
20
68
7.
6
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
Недели 3 модуля
5
Параметры **
10
Текущий
(неделя)
Домашнее задание
Промежуточный
Контрольная работа
Итоговый
Зачет
1-4
6-9
Исполнение в течение недели
Письменная работа 80 минут
1
1
Письменная работа 160 минут
Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания
основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные
6.1
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
на семинарских занятиях. При этом для получения зачета в 3-м модуле необходимо предоставить, как минимум, 70 % решенных в домашнем задании задач.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
7
Содержание дисциплины
Тема I. Теория множеств
Понятие множества. Примеры. Конечные и бесконечные множества. Парадокс Рассела.
Основные операции над множествами: объединение, пересечение, разность, симметрическая
разность, дополнение. Свойства операций в алгебре множеств. Функции: понятие функции
(отображения множеств), инъективные отображения, сюръективные отображения, биекции.
Свойства отображений конечных множеств.
Лит-ра: основная: [1], с. 54-91.
Тема II. Элементы комбинаторики и алгебры
Перестановки. Размещения, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями. Биномиальные коэффициенты и их основные свойства. Формула включения - исключения.
Операция композиции на множестве подстановок. Свойства конечной группы подстановок. Определение абстрактной группы, таблица Кэли, порядок группы, подгруппы, порядок
элемента группы. Порядок подстановки, цикловая структура подстановки. Решение уравнений
в подстановках.
Кольцо целых чисел, поля рациональных и действительных чисел. Кольца вычетов по
модулю натуральных чисел, их свойства
Лит-ра: основная: [1], с. 107-125.
Тема III. Отношения на множестве
Понятие отношения на множестве. Бинарные отношения на множестве. Отношения эквивалентности и частичного порядка. Частично упорядоченные множества и их свойства. Булев куб и его свойства, его длина и ширина. Отображения конечных множеств, их свойства,
подсчет отображений с заданными свойствами. Отношения делимости на множестве целых
чисел.
Лит-ра: основная: [1], с. 130-179; 188-207.
Тема IV. Булевы функции
Понятие булевой функции и примеры его применения. Элементарные булевы функции.
Способы задания былевых функций: ДНФ, КНФ, АНФ, существование и единственность, другие эквивалентные способы задания булевых функций. Полнота систем булевых функций.
Классы булевых функций T0 , T 1 , L, M, S, теорема Поста.
Лит-ра: основная: [1], с. 267-328; 398-408.
Тема V. Многозначные функции
Элементарные k-значные функции. Способы задания k- значных функций: формулы,
первая и вторая формы, полиномы. Вопросы полноты классов k – значных функций.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Тема VI. Графы
Понятие графа и ориентированного графа, примеры применения этих понятий в естественнонаучных, гуманитарных и технических дисциплинах. Степени вершин графа, гомоморфизм и изоморфизм графов, группа автоморфизмов конечного графа. Свойства графов:
связность, планарность, ацикличность, и др. Гамильтоновы и эйлеровы графы, теорема Эйлера. Транспортная задача. Поток в сети, теорема Форда – Фалкерсона. Алгоритм построения
максимального потока в сети.
Лит-ра: основная: [1], с.233-266; 476-490; дополнительная: [3], с.305-310.
Тема VII. Конечные автоматы
Понятие конечного автомата Мили и автомата Мура. Примеры применения. Автоматные функции, способы их задания. Теорема о преобразовании периодической последовательности автоматной функцией. Теорема Мура.
Лит-ра: основная: [1], с.233-266; 476-490; дополнительная: [3], с.305-310.
8
8.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы / задания для контрольной работы:
1. Множества А, В, С содержат соответственно 5, 7 и 9 элементов, а их попарные объединения – 7, 9, 11 элементов. Сколько элементов в их тройном пересечении?
2. Пусть А – непустое конечное множество, на котором задана функция полезности
u: A → R+, где R+ - множество неотрицательных действительных чисел. Бинарное
отношение Р определим так, что xPy  | u(x) – u(y)| > α, где α – фиксированное положительное число. Какими свойствами (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность) обладает заданное бинарное отношение Р?
3. Отношение эквивалентности Р определено на множестве {a, b, c, d, e, f}. Известно,
что aPb, bP*c, cP*d, dP*e, ePf. Приведите пример отношения эквивалентности, для
которого выполнены приведенные условия. Сколько таких отношений эквивалентности существует?
4. Найти порядок подстановки s*t*s-1 где
s = (159)(2648)(37), t = (173)(29)(4658).
5. Сколько существует пятизначных чисел, в которых все цифры нечетны и различны?
Найти сумму всех этих чисел.
6. Сколькими способами можно выстроить очередь из 8 человек (A,B, . . .H) так, чтобы
никакая из пар AB, DE, GH не стояла именно в этом порядке?
7. Та же задача, но очередь строится из 7 человек.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету по всему курсу и итоговому контролю для самопроверки студентов:
1. Множества, конечные и бесконечные множества, мощность множества. Операции
над множествами: дополнение множества, объединение, пересечение, разность, симметрическая разность множеств. Диаграммы Эйлера-Венна.
2. Свойства операций над множествами: ассоциативность объединения и пересечения
множеств, коммутативность, свойства дистрибутивности (оба два), идемпотентность,законы де Моргана.
3. Алгебра подмножеств данного множества. Универсум. Основные формулы алгебры
множеств.
4. Булеан и его свойства.
5. Доказательство эквивалентности формул алгебры множеств.
6. Декартово произведение множеств. Свойства декартова произведения.
7. Отображения конечных множеств: инъекции, сюръекции и биекции. Условия существования каждого из этих типов отображений. Подсчет числа отображений каждого
типа при заданных множествах (отображаемом и области значений).
8. Бинарные отношения на конечном множестве: определение и свойства. Отношения
эквивалентности. Отношения частичного и линейного порядка.
9. Представление бинарного отношения в виде ориентированного графа.
10. Дополнительное и обратное бинарные отношения. Транзитивное замыкание отношения. Свойства орграфов этих отношений.
11. Подстановки. Количество подстановок заданной степени. Операция композиции подстановок. Порядок подстановки. Задание подстановки в виде произведения независимых циклов. Нахождение порядка элемента группы подстановок по его стандартному виду.
12. Абстрактные группы. Задание операции и аксиомы группы. Таблицы Кэли конечной
группы. Подгруппы, смежные классы, разложение группы по подгруппе, теорема Лагранжа.
13. Кольца целых и рациональных чисел, кольца вычетов по модулю натурального числа, свойства колец вычетов, делители нуля. Полугруппы и моноиды. Поля вычетов по
модулю простых чисел: свойства арифметики конечных полей. Поле GF(2).
14. Булевы функции: определение и способы задания. Приложения теории булевых
функций в научных и инженерных дисциплинах.
15. Элементарные булевы функции от 1 и 2х переменных.
16. Существование и единственность канонических представлений булевой функции:
ДНФ, КНФ, АНФ (полином Жегалкина). Построение канонической формы булевой
функции.
17. Эквивалентные преобразования булевых функций.
18. Полнота системы булевых функций. Классы Т0, Т1, L, M, S. Теорема Поста.
19. Методы построения полных систем булевых функций из заданного числа элементов.
20. Графы: определение конечного графа и основные его свойства. Степени вершин графа, связность, планарность, ацикличность.
21. Деревья, построение корневых деревьев с заданными свойствами. Применение к базам данных.
22. Гомоморфизмы и изоморфизмы графов. Автоморфизмы конечного графа.
23. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Теоремы Эйлера, Дирака, Оре.
24. Теорема Понтрягина-Куратовского.
25. Машины Тьюринга. Задание МТ и составление программы для МТ, реализующей заданный алгоритм арифметических вычислений.
26. Понятие о классах сложности P, NP. «Проблема тысячелетия» P = NP ?
27. Алгоритмически неразрешимые проблемы. Проблема остановки МТ.
8.2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
28. Конечные автоматы. Автоматы Мура и автоматы Мили. Распознавание языков конечными автоматами.
29. Построение конечного автомата, распознающего данный язык. Построение конечного автомата эквивалентного данному, но с меньшим числом состояний.
30. Минимизация конечного автомата.
31. Вычисление с целыми числами. Простые и составные числа, разложение на простые
множители, наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное целых чисел
алгоритм Евклида.
8.3
Примеры заданий итогового контроля
Примеры задач для зачета по дисциплине:
1. Следует ли из условий (А → В), (В → С) и (С → А), что А ≡ В ≡ С?
2. Приведите пример полной системы из двух булевых функций, существенно зависящих от четырех переменных каждая, причем ни одна из функций не будет лишней.
3. Шесть акционеров владеют 100 акциями предприятия. Скольким способами можно
разделить между ними эти акции, если кто-то владеет более, чем половиной акций?
9
Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в
рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских
занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.
Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется
перед промежуточным или итоговым контролем – Осам. работа.
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Отекущий = 0,6·Оаудиторная + 0,4·Осам. работа .
Способ округления накопленной оценки текущего контроля производится по правилам
арифметики округления.
Результирующая оценка за промежуточный контроль в форме зачета выставляется по
следующей формуле, где Озачет – оценка за работу непосредственно на зачете:
Опромежуточный = 0,7·Озачет + 0,2·Одз + 0.1·Отекущий .
Способ округления накопленной оценки промежуточного контроля производится по
правилам арифметики округления.
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле, где Оэкзамен – оценка за работу непосредственно на экзамене:
Оитоговый = 0,7·Оэкзамен + 0,2·Окр1 + + 0,1 Отекущий.
Способ округления накопленной оценки итогового контроля производится по правилам
арифметики округления.
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл
для компенсации оценки за текущий контроль.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
В диплом выставляется результирующая оценка по учебной дисциплине, которая формируется по следующей формуле:
Одисциплина = 0,3·Опромежуточный + 0,7·Оитоговый .
Способ округления результирующей оценки по учебной дисциплине производится по
правилам арифметики округления.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
[1] Новиков Ф.А., Дискретная математика для магистров и бакалавров. – СПб. ПИТЕР
2011.
[2] Канцедал С.А., Дискретная математика. – Москва ИД «ФОРУМ» 2011.
10.2 Основная литература
[1] Хаггарти Р., Дискретная математика для программистов. – М. ТЕХНОСФЕРА. Любое издание, начиная с 2004.
[2] Просветов Г.И. Дискретная математика. Задачи и решения: Учебное пособие. – М.
БИНОМ, 2008.
10.3 Дополнительная литература
[1] Деза Е.И., Модель Д.Л., Основы дискретной математики: Учебник. – М.: изд.
«URSS», 2010.
[2] Соболева Т.С., Дискретная математика. – Москва ИЦ «Академия» 2006.
[3] Жуков А.Е., Элементы комбинаторики. – Москва 2008.
[4] Виленкин Н.А., Комбинаторика. – Москва «Наука» 2011.
[5] Холл М., Комбинаторика. – Москва «Мир» 1970.