ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Девятков А. П.
ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 01.03.01 «Математика», профиль подготовки
«Вещественный, комплексный и функциональный анализ»
Форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2014
Девятков А.П. Граничные свойства аналитических функций. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов направления 01.03.01 «Математика», профиль подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ». Форма обучения очная, Тюмень, 2014, 17 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Граничные свойства аналитических функций [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru,
свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой
математического анализа и теории функций
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Девятков А.П., 2014.
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины
Цель курса «Граничные свойства аналитических функций» - ознакомление студентов с основными положениями теории граничного поведения аналитических и гармонических функций. Эта теория использует в качестве своего аппарата такие разделы математического анализа как теория функций вещественного и комплексного переменного, функциональный анализ, топология и другие. Наряду с собственной значимостью предмета
(имеются приложения к функциональному анализу, приближенным методам построения
конформных отображений, к теории краевых задач), названный аналитический аппарат
позволяет студенту «пощупать», как на практике работают те понятия, теоремы и методы,
которые он изучал в более ранних дисциплинах.
Задачи курса. Дать представление о граничных теоремах теории аналитических и
гармонических функций. Познакомить студентов с важнейшими классами аналитических
и гармонических функций и их приложениями в других областях математики. Сформировать представление о теории целых функций, мероморфных функций, теории потенциала.
Научить качественному исследованию свойств конформных отображений. Развить технику действительного, комплексного и функционального анализа.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Учебная дисциплина «Граничные свойства аналитических функций» входит в
блок Б1, в его вариативную часть, является обязательной дисциплиной.
Требования к входным знаниям и умениям студента – свободное владение методами математического анализа, функционального анализа, теорией функций комплексного переменного, теорией меры и интеграла Лебега, основными понятиями общей т опологии.
1.1.
1.2.
2.1.
2.2.
2.3.
3.1.
3.2.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
Таблица 1
№
Наименование обеспечи- Темы дисциплины необходимые для изучения
п/п
ваемых (последующих)
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
дисциплин
1.
Пространства Соболева
+
+
+
+
+
+
+
2.
Преддипломная практика
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать компетенциями ПК-2, ПК-3.
ПК-2 - способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи,
знание постановок классических задач математики.
ПК-4 - способность публично представлять собственные и известные научные результаты.
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: понятия гармонической функции, аналитической функции, методы обобщенного суммирования рядов Фурье, формулировку теоремы Фату, неравенства Гарнака,
определение классов Харди и Неванлинны и их свойства, формулировку граничной теоремы единственности для аналитических функций, формулировку теоремы Римана о конформном отображении, формулировку теоремы Каратеодори о соответствии границ при
конформном отображении, граничные свойства интеграла типа Коши, формулы Сохоцкого-Племеля.
Уметь: доказывать теорему Фату, доказывать свойства функций классов H p и N ,
доказывать теорему Римана о существовании конформного отображения, доказывать
формулы Сохоцкого-Племеля, находить граничные значения интегралов типа Коши.
Владеть: аппаратом теории граничных свойств аналитических функций, методами
доказательства утверждений, навыками применения этого в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 8. Форма промежуточной аттестации – экзамен, лабораторные работы.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 академических часов, из них 64,35 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем (30 часов лекций, 30 - лабораторных, 4,35 часа иных видов работ), 43,65 часа, выделенных на самостоятельную работу.
3. Тематический план
Таблица 2
Итого количество баллов
2.3.
2.4.
2.5.
Из них в интерактивной
форме
2.1.
2.2.
Самостоятельная
работа
1.3.
Лабораторные занятия
1.1.
1.2.
2
Модуль 1
Ряды Фурье
Граничное поведение гармонических функций
Формула Пуассона-Йенсена
Всего
Модуль 2
Субгармонические функции
Ограниченные аналитические
функции
Произведения Бляшке
Пространства H p и N
Пространство H 1
Всего
Лекции
1
Тема
Итого
часов
по теме
3
4
5
6
7
8
9
1
2-3
4
4
4
4
4
4
12
12
2
2
0-10
0-10
3
2
10
2
10
3,65
11,65
7,65
31,65
2
6
0-10
0-30
4
5
2
2
2
2
2
2
6
6
2
2
0-10
0-5
5
6
7
2
2
2
10
2
2
2
10
4
4
4
16
8
8
8
36
2
1
1
8
0-5
0-5
0-5
0-30
неделя семестра
№
Виды учебной работы и самостоятельной работы, в час.
7
8
9
2
2
2
2
2
2
4
4
4
8
8
8
2
2
1
0-10
0-10
0-10
9-10
4
4
4
12
1
0-10
10
10
0-40
30
10
36
4,35
108
6
30
10
16
4,35
48
20
0-100
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Тема 1.1.
Тема 1.2.
Тема 1.3.
Всего
Тема 2.1.
Тема 2.2.
Тема 2.3.
Тема 2.4.
Тема 2.5.
Всего
Тема 3.1.
Тема 3.2.
Тема 3.3.
Тема 3.4.
Всего
Итого
Модуль 1
0-5
0-5
0-5
0-5
0-10
Модуль 2
0-5
0-2
0-2
0-2
0-7
0-5
0-5
0-10
0-22
0-4
Модуль 3
0-5
0-5
0-10
0-24
реферат
контрольная
работа
№ темы
Письменные работы
ответ на семинаре
Устный опрос
Итого количество
баллов
Таблица 3
собеседование
3.4.
Модуль 3
Теорема Римана
Простые концы Каратеодори
Основная теорема о соответствии границ
Последовательности аналитических функций
Всего
Иные виды работ
Итого (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
коллоквиумы
3.1.
3.2.
3.3.
0-5
0-5
0-5
0-15
0-10
0-10
0-10
0-30
0-5
0-5
0-3
0-3
0-3
0-19
0-10
0-5
0-5
0-5
0-5
0-30
0-5
0-5
0-5
0-5
0-20
0-54
0-10
0-10
0-10
0-10
0-40
0-100
5. Содержание дисциплины
Модуль 1
Тема 1.1. Ряды Фурье
Комплексная форма записи ряда Фурье. Суммирование рядов Фурье методом Чезаро и
методом Пуассона-Абеля. Ядра Фейера и Пуассона. Аппроксимативная единица. Описание типов рядов Фурье.
Тема 1.2. Граничное поведение гармонических функций
Гармонические и аналитические функции. Представление гармоничесих функций в виде
степенного ряда. Связь с рядами Фурье. Формула Пуассона. Неравенства и теорема Гарнака. Описание типов гармонических функций. Теорема Фату.
Тема 1.3. Формула Пуассона-Йенсена
Изолированные особые точки гармонических функций. Общий вид формулы ПуассонаЙенсена. Формула Пуассона-Йенсена для мерофных функций и для аналитических функций. Следствия формулы Пуассона-Йенсена.
Модуль 2
Тема 2.1. Субгармонические функции
Полунепрерывные функции. Субнармонические и супергармонические функции. Принцип гармонической мажоранты. Операции над субгармоническими функциям. Неравенство Йенсена. Примеры субгармонических функций.
Тема 2.2. Ограниченные аналитические функции
Гармоническая мера. Теоремы Линделёфа и Фрагмена-Линделёфа. Граничная теорема
единственности для ограниченных аналитических функций.
Тема 2.3. Произведения Бляшке
Конечное произведение Бляшке. Условие сходимости произведения Бляшке. Свойства
произведения Бляшке. Построение произведения Бляшке с заданными нулями.
Тема 2.4. Пространства H p и N
Определение. Соотношение между классами Харди и классом Неванлинны. Представление функций из N в виде отношения двух ограниченных функций. Граничные свойства
функций из N и H p . Сходимость в среднем к граничным значениям функций из H p .
Теорема Хинчина-Островского.
Тема 2.5. Пространство H 1
Теорема Ф. и М. Риссов. Конформное отображение областей со спрямляемыми границами. Теорема единственности Лузина-Привалова.
Модуль 3
Тема 3.1. Теорема Римана
Теорема Римана. Конформное отображение многосвязных областей.
Тема 3.2. Простые концы Каратеодори
Сечение области. Цепь сечений. Достижима точка. Простой конец и его носитель. Главные и смежные точки. Простые концы 1, 2, 3, 4 родов. Примеры областей.
Тема 3.3. Основная теорема о соответствии границ
Лемма Кёбе. Основная теорема К. Каратеодори. Конформное отображение жордановых
областей.
Тема 3.4. Последовательности аналитических функций
Теорема Каратеодори о сходимости последовательности конформных отображений. Нормальные по Монтелю семейства аналитических функций. Принцип нормальности Монтеля. Модулярная функция. Теорема Пикара.
6. Планы семинарских занятий.
Не предусмотрены учебным планом ОП.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Модуль 1
Тема 1.1. Ряды Фурье
1. Разложение функций в ряд Фурье.
2. Обобщенное суммирование рядов Фурье.
Тема 1.2. Граничное поведение гармонических функций
1. Общие свойства аналитических и гармонических функций.
2. Теорема Фату и её следствия.
Тема 1.3. Формула Пуассона-Йенсена
1. Формула Пуассона-Йенсена и её следствия.
Модуль 2
Тема 2.1. Субгармонические функции
1. Свойства субгармонических функций.
2. Теорема Рисса о представлении субгармонических функций.
Тема 2.2. Ограниченные аналитические функции
1. Гармоническая мера и её применения.
2. Граничная теорема единственности для ограниченных аналитических функций.
Тема 2.3. Произведения Бляшке
1. Функции Бляшке и их свойства.
Тема 2.4. Пространства H p и N
1. Граничные свойства функций из N и H p .
2. Теорема Хинчина-Островского.
Тема 2.5. Пространство H 1
1. Конформное отображение областей со спрямляемыми границами.
2. Теорема единственности Лузина-Привалова.
Модуль 3
Тема 3.1. Теорема Римана
1. Теорема Римана. Конформное отображение многосвязных областей.
Тема 3.2. Простые концы Каратеодори
1. Простые концы и их классификация. Примеры областей.
Тема 3.3. Основная теорема о соответствии границ
1. Основная теорема К. Каратеодори. Качественное исследование граничного поведения конформного отображения.
Тема 3.4. Последовательности аналитических функций
1. Теорема Каратеодори о сходимости последовательности конформных отображений. Нормальные по Монтелю семейства аналитических функций. Принцип
нормальности Монтеля.
2. Модулярная функция. Теорема Пикара.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ООП.
Модуль 1
1.1. Ряды Фурье
1.2. Граничное поведение гармонических
функций
обязательные
Выполнение дом. заданий. Работа с литературой.
Выполнение дом. заданий. Подготовка к
собеседованию. Работа с литературой.
дополнительные
Подготовка сообщения на семинар
Количество
баллов
Модули и темы
Объем часов
№
Неделя
семестр
9. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные
средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Планирование самостоятельной работы студентов
Таблица 4
Виды СРС
1
4
010
2-3
4
010
1.3. Формула ПуассонаЙенсена
Выполнение дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к
опросу и контрольной
работе.
3
3,65
010
11,65
030
4
2
010
5
2
0-5
5
4
0-5
6
4
0-5
7
4
0-5
16
030
7
4
010
8
4
010
9
4
010
9-10
4
010
16
0-
Всего
Модуль 2
2.1. Субгармонические
функции
2.2. Ограниченные аналитические функции
2.3. Произведения
Бляшке
2.4. Пространства H p и
N
2.5. Пространство H 1
Выполнение дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к
собеседованию.
Выполнение дом. заданий. Работа с литературой.
Выполнение. дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к
устному опросу.
Выполнение. дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к
контрольной работе.
Выполнение. дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к
собеседованию и контрольной работе
Подготовка сообщения на семинар
Подготовка минисообщения на
лекцию
Всего
Модуль 3
3.1. Теорема Римана
Выполнение дом. заданий. Работа с литературой. Подготовка к
опросу и контрольной
работе.
3.2. Простые концы Ка- Выполнение дом. заратеодори
даний. Работа с литературой. Подготовка к
опросу и контрольной
работе.
3.3. Основная теорема о Выполнение. дом. засоответствии граданий. Работа с литениц
ратурой. Подготовка к
контрольной работе и
собеседованию.
3.4. Последовательности Выполнение. дом. зааналитических
даний. Работа с литефункций
ратурой. Подготовка к
контрольной работе и
собеседованию.
Всего
Подготовка сообщения на семинар
Подготовка презентации на семинар
Итого
43,65
40
0100
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и практические навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях, развить поставленные компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на самостоятельную
работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.
Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа реализуется в
виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического материала, предусмотренного учебным планом ООП.
Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится к
лекционным и практическим занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и
контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и литературу, предложенную в разделе 11 данной рабочей программы. В указанном разделе расположен список основной и дополнительной литературы, а также необходимые интернетресурсы. Подготовка теоретического сообщения на практическое занятие выполняется
студентом самостоятельно, но по согласованию с преподавателем темы сообщения.
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы
ПК-2 - способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи,
знание постановок классических задач математики.
ПК-4 - способность публично представлять собственные и известные научные результаты.
Индекс компетенции
ПК-2
+
ПК-4
+
+
+
+
* - дисциплины базовой части
+
+
+
+
+
+
Системы компьютерной математики
Нестандартный анализ
Ряды и интегралы Фурье
+
Уравнения в частных производных
4 семестр
Базы данных
Теория вероятностей*
Действительный анализ
Объектно-ориентированное программирование
Дифференциальная геометрия и топология*
3
семестр
Иностранный язык в профессиональной
сфере (английский)
Иностранный язык в профессиональной
сфере (английский)
Объектно-ориентированное программирование
Дифференциальная геометрия и топология*
Дискретная математика*
Аналитическая геометрия*
1 семестр
2 семестр
Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ОП
Избранные вопросы математики
Выдержка из МАТРИЦЫ
соответствия компетенции и составных частей ООП
Таблица 5
Б.1. Дисциплины (модули)
5 семестр
+
+
+
+
+
+
+
ПК-4
Системы компьютерной математики
Непрерывные группы
Функции с ограниченной вариацией
Теоретико-множественная топология
Теоретическая механика*
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Б.1. Дисциплины (модули)
+
+
+
+
* - дисциплины базовой части
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Карта критериев оценивания компетенций приведена в таблице 6.
Выпускная квалификационная работа
Р-адический анализ
Граничные свойства аналитических функций
7 семестр
История развития математической науки
Пространства непрерывных функций
Теория обобщенных функций
Теория категорий
6 семестр
Физика
Циклы, дисциплины (модули) учебного
плана ОП
Концепции современного естествознания
Уравнения в частных производных
ПК-2
Математическая статистика
Индекс компетенции
Теоретическая механика*
Таблица 5 - продолжение
Б.3.
ГИА
8 семестр
+
+
Таблица 6
Код
компетенции
Карта критериев оценивания компетенций
ПК-2
ПК-4
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
Знает: основные понятия, определения и
свойства теории аналитических функций; постановки граничных задач теории аналитических функций
Знает: методы исследования свойств
граничных свойств аналитических и
гармонических функций
Умеет: пользоваться основными определениями и понятиями
Умеет: решать задачи теории аналитических функций
Владеет: методами решения простейших задач на исследование граничных
свойств аналитических функций
Знает: общие сведения о представлении
собственных и известных научных результатов в рамках изучаемой дисциплины
Умеет: с помощью справочных материалов или под руководством преподавателя публично представлять известные
научные результаты
Владеет: навыками интерпретации результатов исследования граничных
свойств аналитических функций
Знает: алгоритмы и методы публичного
представления собственных и известных
научных результатов в рамках изучаемой дисциплины
Умеет: демонстрировать собственные и
известные научные результаты на
уровне не выше студенческих конференций
Владеет: способами и методами представления известных научных результатов в рамках изучаемой дисциплины
Владеет: методами представления собственных и известных научных результатов, решений математических задач и
проблем из различных областей математики
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Виды
занятий
Знает связи и приложения теории граничного поведения функций в других
областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания
Умеет: самостоятельно анализировать
граничные свойства аналитических и
гармонических функций
Владеет: навыками самостоятельной
постановки задач теории граничного
поведения аналитических функций
Знает: алгоритмы и методы публичного
представления собственных и известных
научных результатов для любой профессиональной аудитории
Умеет: публично представлять собственные и известные научные результаты проблемы и их решения в терминах, понятных для любой профессиональной аудитории
Владеет: методами представления собственных и известных научных результатов, математических задач и проблем
из различных областей математики, которые требуют некоторой оригинальности мышления
лекции,
практические
занятия
Ответ на
семинаре
лекции,
практические
занятия
лекции,
практические
занятия
лекции,
практические
занятия
Опрос,
контрольная
работа
Контрольная
работа
лекции,
практические
занятия
Контрольная
работа,
собеседование
лекции,
практические
занятия
Контрольная
работа,
опрос
Оценочные
средства
Коллоквиум,
ответ на
семинаре
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Задачи к контрольной работе

1
1. Показать, что ряд  sin nx есть ряд Фурье функции из L2 ( ,  ) , и найти эту функn 1 n
цию.
2. Если f – функция ограниченной вариации на [ ,  ] , то её коэффициенты Фурье
cn  O 1 n  .
2. Пусть чезаровские средние ряда

a
n 1
сходятся к некоторому числу A , и пусть
n
an  O 1 n  . Доказать, что частичные суммы этого ряд также сходятся к A .
3. Доказать, что если ряд

a
n 1
n
сходится, то он суммируем и по Чезаро и по Абелю, при-
n
суммируем по Чезаро, то он суммируем и по Абелю, при-
чём к той же сумме.

4. Доказать, что если ряд
a
n 1
чём к той же сумме.
6. Если ряд

a
n 1
n
суммируем по Чезаро, то an  O  n  .
5. Привести пример ряда, суммируемого по Абелю и не суммируемого по Чезаро.
6. Если f - функция ограниченной вариации, то в каждой точке x  R , её ряд Фурье схоf ( x  0)  f ( x  0)
дится к значению
.
2
7. Пусть f – непрерывная функция периода 2 , имеющая ограниченную вариацию на
[ ,  ] . Доказать, что её ряд Фурье сходится равномерно.
8. Доказать, что частичные суммы ряда Фурье функции с ограниченной вариацией равномерно ограничены.
b
9. Пусть  ( x)   ( x, t ) dt . Доказать, что  ( x)
a
b
p
   ( x, t ) p dt ( p  1 ).
a
10. Доказать, что если f  L ( 1  p  ) , то f  ft
p
p
 f ( x)  f ( x  t )
p
 0 при t  0 .
11. Доказать, что при p  1 свёртка функций f  L1 и g  Lp

 f  g  ( x)  
f ( x  t ) g (t )dt

лежит в Lp . Доказать, что при p   свёртка – непрерывная функция.
12. Доказать, что если f  L2 , то функция g ( x) 
1
2

 f ( x  t ) f (t )dt непрерывна.

13. Если функция f ( z ) гармоническая и zf ( z ) гармоническая, то функция f ( z ) - аналитическая.
14. Если u - гармоническая в круге функция и 0  u (r , )  P(r ,  ) , то u (r , )   P(r , ) с
некоторой постоянной   [0,1] .
15. Найти аналитическую функцию f ( z ) , если Re f ( x  iy)  e x ( x cos y  y sin y) и
f (0)  0 .
16. Найти аналитическую функцию f ( z ) , если Im f ( x  iy )  y cos y ch x  x sin y sh x и
f (0)  0 .
17. Найти аналитическую функцию H r ( ) такую, что Re H r ( )  Pr ( ) .
18. Доказать, что полунепрерывная сверху функция ограничена сверху на каждом компактном множестве.
19. Функция полунепрерывна сверху тогда и только тогда, когда она является пределом
убывающей последовательности непрерывных функций.
20. Доказать, что max{u , v} субгармоническая, если u и v субгармонические.
21. Для того, чтобы субгармоническая в круге D :| z | 1 функция u ( z ) имела гармониче
скую мажоранту необходимо и достаточно, чтобы sup
 u(re
0  r 1 
it
) dt   .
22. Если функция u субгармонична в области D и u   , то

uds   для любой
C R ( z0 )
окружности CR ( z0 )  D и
 udxdy   для любого компакта E  D .
E
23. Если f , g  N и f ( zk )  g ( zk ) на последовательности точек {zk } с

 1  z    , то
k 1
k
f ( z)  g ( z) .
24. Если f  N , то | f ( z ) | e
2N ( f )
1 | z |
.
1 p
 2H p ( f ) 
25. Если f  H , то | f ( z ) | 
 .
 1 | z | 
p
Теоретические вопросы к экзамену
1. Суммирование рядов Фурье методом Чезаро и методом Пуассона-Абеля. Ядра Фейера
и Пуассона.
2. Описание типов рядов Фурье и гармонических в круге функций.
3. Теорема Фату.
4. Формула Пуассона-Йенсена.
5. Субнармонические и супергармонические функции. Принцип гармонической мажоранты.
6. Неравенство Йенсена.
7. Теоремы Линделёфа
8. Теорема Фрагмена-Линделёфа.
9. Граничная теорема единственности для ограниченных аналитических функций.
10. Произведения Бляшке.
11. Классы H p и N . Представление функций из N в виде отношения двух ограниченных
функций.
12. Теорема Хинчина-Островского.
13. Сходимость в среднем к граничным значениям функций из H p .
14. Теорема Ф. и М. Риссов.
15. Конформное отображение областей со спрямляемыми границами.
16. Теорема единственности Лузина-Привалова.
17. Теорема Римана.
18. Простые концы Каратеодори. Теорема Каратеодори о соответствии границ при конформном отображении.
19. Теорема Каратеодори о сходимости последовательности конформных отображений.
20. Принцип нормальности Монтеля.
21. Теорема Пикара.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования
компетенций.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля, предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Шкала перевода семестровых баллов в оценку
Таблица 7.
Баллы
0 – 60
61 – 75
76 – 90
91 – 100
Экзамен
Неудовлетворительно
Удовлетворительно
Хорошо
Отлично
Неуспевающие студенты или студенты, желающие повысить оценку, должны сдать
экзамен.
Экзаменационные билеты включают два теоретических вопроса по курсу дисциплины за семестр.
Критерии оценивания ответа на теоретический вопрос:
«Отлично» ставится в случае, если:
- ответ содержит глубокое знание излагаемого материала;
- студент ответил на дополнительные или уточняющие вопросы по тематике, указанной в билете.
При этом допускаются незначительные неточности и частичная неполнота ответа
при условии, что в процессе беседы экзаменатора с экзаменуемым последний самостоятельно делает необходимые уточнения и дополнения.
«Хорошо» ставится в случае, если
- ответ содержит в целом правильное, но не всегда точное и аргументированное изложение материала.
- недостаточно полно раскрыто содержание вопроса, и при этом в процессе беседы
студент не смог самостоятельно дать необходимые поправки и дополнения, или не обнаружил какое-либо из необходимых для раскрытия данного вопроса умение.
«Удовлетворительно» ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые при наводящих вопросах экзаменатора были частично исправлены;
- студент испытывает затруднения с использованием научно-понятийного аппарата и
терминологии дисциплины;
- в ответе не раскрыты некоторые существенные аспекты содержания.
«Неудовлетворительно» ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые студент не смог исправить даже
с помощью наводящих вопросов экзаменатора;
- студент путает термины и не владеет научно-понятийным аппаратом курса.
- все формулировки ответа не соответствуют поставленным вопросам;
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для достижения
запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют
пояснения об их приложениях к другим разделам математики.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре; взаимопроверка
выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения изучаемого
теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
В учебном процессе применяются активные и интерактивные формы обучения.
Они включают в себя методы, стимулирующие познавательную деятельность обучающихся и вовлекающие каждого участника в мыслительную и поведенческую активность.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
12.1 Основная литература:
1. Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ [Электронный ресурс]: учебное
пособие в 6 частях / Э.И. Зверович. - Минск : Вышэйшая школа, 2006. - Ч. 1. Введение
в анализ и дифференциальное исчисление. - 320 с. - Режим доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=234982 (дата обращения: 13.10.2014).
2. Гельфанд И.М. Коммутативные нормированные кольца/ И. М. Гельфанд, Д. А. Райков,
Г. Е. Шилов. - Москва: Физматлит, 2011. - 260 с.
12.2 Дополнительная литература:
1. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций, изд. 2-е. – М. – Л.:
ГИТТЛ, 1950. – 336 с.
2. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. – М.: ИЛ, 1963. – 312 с.
3. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М.:
Наука, 1966. – 628 с.
4. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т.2. – М.: Наука, 1968. – 624 с.
5. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. – М.: Мир, 1980. – 304 с.
6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. – М.: Мир, 1984. – 470 с.
7. Коллингвуд Э., Ловатер А. Теория предельных множеств. – М.: Мир, 1971. – 312 с.
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
В организации учебного процесса необходимыми являются средства, обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и
др.).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях,
оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной доски.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Дисциплина «Граничные свойства аналитических функций» содержит 3 модуля, которые изучаются 1 семестр. Каждый модуль имеет определенную логическую завершенность по отношению к установленным целям и результатам обучения.
При изучении дисциплины применяется рейтинговая технология обучения, которая
позволяет реализовать непрерывную и комплексную систему оценивания учебных достижений студентов. Непрерывность означает, что текущие оценки не усредняются, а непрерывно складываются на протяжении всего семестра. Комплексность означает учет всех
форм учебной и творческой работы студента в течение семестра.
Рейтинг направлен на повышение ритмичности и эффективности самостоятельной
работы студентов. Он основывается на заинтересованности каждого студента в получении
более высокой оценки знаний по дисциплине.
Принципы рейтинга: непрерывный контроль и получение более высокой оценки за
работу, выполненную в срок.
Рейтинг включает в себя три вида контроля: текущий, промежуточный и итоговый
по дисциплине. Текущий контроль – это опросы на семинарах по пройденным темам.
Опросы проводятся на каждом семинаре по содержанию лекционного материала, а также
по базовым знаниям, полученным на практических занятиях. Промежуточный контроль –
это проверка знаний студентов по разделу программы, проводится в виде регулярных контрольных мероприятий или коллоквиумов. Итоговый контроль по дисциплине – это проверка уровня учебных достижений студентов по всей дисциплине за семестр.
По всем трем формам контроля студент имеет возможность набрать до 100 баллов
включительно. Критерии перевода суммарного количества баллов в оценку можно найти в
п.10.4 данной рабочей программы.
Успешное освоение дисциплины невозможно без непрерывной самостоятельной работы. В течение семестра необходимо не только изучать лекционный материал и готовиться к контрольным мероприятиям и устным опросам, но и решать практические задания, выполнять упражнения. Примеры задач и упражнений приведены в разделе 9
(Упражнения и задачи для самостоятельного решения). Результаты решения задач и выполнения упражнений, а также возникшие трудности студент может обсудить с преподавателем на практическом занятии либо в консультационные часы.