Лекция 1-4

Министерство образования и науки РФ
Владивостокский государственный университет экономики и сервиса
Институт ИИБС
Кафедра СТЭА
Потехин Б.Б
Конспект лекций
По курсу «Сопротивления материалов»
(Презентация)
Владивосток 2006 год
Лекция 1
ВВЕДЕНИЕ
Наука о сопротивлении
материалов
2
Сопротивлением материалов называют науку об
инженерных методах расчета на прочность, жесткость и
устойчивость элементов сооружений и машин.
В процессе эксплуатации сооружений и машин их элементы
(стержни, балки, пластины, болты, заклепки и др.) в той или
иной мере участвуют в работе конструкции и подвергаются
действию различных сил (нагрузок). Для обеспечения
надежной работы конструкции ее элементы должны быть
прочными, жесткими и устойчивыми при наименьших
затратах материала (наименьшей стоимости).
Прочность конструкции, ее частей и элементов — это их
способность выдерживать определенную нагрузку, не
разрушаясь.
Жесткость конструкции и ее элементов — это их
способность работать в условиях нормальной эксплуатации
так, чтобы изменение размеров и формы (деформации) не
превышали заданных (обычно весьма малых) величин.
3
Устойчивость конструкции или ее элементов — это их способность
сохранять первоначально приданную форму. Например, при сжатии тонкой
и длинной деревянной линейки двумя силами, приложенными к ее концам,
у нее вначале до некоторого значения сжимающих сил сохраняется
первоначально приданная прямолинейная форма. Однако при дальнейшем
увеличении сил происходит внезапное выпучивание— изгиб линейки.
Линейка, как говорят, теряет устойчивость, отчего она может разрушиться
при таком значении сил, какое безопасно для более короткой линейки
такого же поперечного сечения.
Размеры и форма сечений элементов конструкции и сооружения,
обладающих достаточной прочностью, жесткостью и устойчивостью при
наименьших затратах материала и наименьшей стоимости, могут быть
получены с помощью расчетов, разрабатываемых в курсе «Сопротивление
материалов». Эти расчеты позволяют в зависимости от величины и
характера действующей нагрузки и свойств материала определить
требуемые размеры сечения, назначить рациональную форму.
Имеется другой путь отыскания размеров и формы поперечных сечений
элементов конструкций — экспериментальный. Однако он оказывается
слишком дорогим и длительным и применяется чаще в сочетании с
теоретическими решениями при проектировании сложных ответственных и
малоизученных конструкций.
4
Элементы конструкции
5
Внешние силы и их классификация
Объемные силы — это силы, распределенные по объему тела и
приложенные к каждой его частице. К ним относятся, например, силы
тяжести, магнитные силы и силы инерции. Объемные силы невозможно
отделить от материала и рассматривать вне его. Эти силы характеризуются
интенсивностью, т. е. силой, приходящейся на единицу объема материала
элемента. Размерность интенсивности объемных сил Т/м3, кГ/см3
Равнодействующая объемных сил равна сумме элементарных сил, взятой по
всему объему тела. Если интенсивность в каждой точке тела постоянна по
величине и направлению, то равнодействующая равна произведению
интенсивности на объем и проходит через его центр тяжести (например,
сила тяжести однородного тела).
Поверхностные силы — это силы, приложенные к поверхности тела. Они
являются результатом непосредственного контактного взаимодействия
данного тела с другими телами (или средой), например, давление воды на
обшивку корпуса судна, давление ветра и снега на крышу или пара на
стенку котла, давление одного элемента конструкции на другой и пр.
Поверхностные силы всегда можно мысленно отделить от элемента
конструкции, так как они не связаны с его материалом.
6
7
Понятие о деформации, внутренних
силах и упругости
Все элементы конструкции в результате воздействия на них внешних сил изменяют свои геометрические
размеры и форму, т. е. деформируются. Деформация — это изменение геометрических размеров и формы
тела. Деформация тела всегда имеет место при действии на него внешних сил.
Материал элементов конструкций состоит из бесчисленного множества элементарных частиц. Очевидно,
деформация происходит за счет изменения взаимного расположения этих частиц. В результате между
частицами появляются силы взаимодействия — так называемые внутренние силы, препятствующие их
перемещению. Вообще между частицами тела до его деформации тоже есть внутренние силы
взаимодействия, которые обеспечивают существование тела, как такового. Однако в сопротивлении
материалов они не рассматриваются и не принимаются во внимание, а изучаются и вычисляются те
дополнительные внутренние силы, которые появляются в результате нагружения тела.
Таким образом, внутренними силами (или внутренними усилиями) будем называть силы, возникающие
внутри тела между его частицами и обусловленные их смещением в результате деформации. Так как
внутренние силы по мере прекращения действия внешних сил возвращают частицы в исходное
положение, деформация тела исчезает, и оно принимает свои первоначальные размеры и форму.
Свойство тел возвращаться к своей первоначальной форме и принимать первоначальные размеры после
удаления внешних сил называется упругостью. Тело называют абсолютно упругим, если оно после
разгрузки полностью восстанавливает первоначальную форму и размеры. Тело частично упруго, если
после разгрузки деформация исчезает не полностью.
Так как упругие свойства материала обусловлены наличием внутренних сил, то последние можно назвать
внутренними силами упругости. Опыты показывают, что все материалы могут рассматриваться как
совершенно (абсолютно) упругие только в некоторых пределах значений внутренних сил.
8
Определение внутренних усилий методом
сечений.
Понятие о напряжении
9
10
N — нормальная составляющая, или нормальная сила.
Приложена в центре тяжести сечения и направлена вдоль
нормали;
Оу, Оz — поперечные составляющие, или поперечные
силы. Лежат в плоскости сечения, проходят через его центр
тяжести и направлены соответственно вдоль осей y и z;
Мх — крутящий момент. Действует в плоскости сечения
относительно нормали;
Му, Мz — изгибающие моменты. Действуют в
плоскостях хОz и хОу относительно соответствующих осей y
и z;
11
 пр P , P ,...  N  0;  mx P1 , P2 ,...  M x  0;
 пр P , P ,...  Q  0;  m P , P ,...  M  0;
mz P1 , P2 ,...  M z  0;



пр
P
,
P
,...

Q

0
;
 z 1 2
z
x
y
1
1
2
2
y
y
1
2
(11)
y
12
В уравнения статики вошли как внешние силы Р1, Р3…, так и все
внутренние силовые факторы N, Qν, Qz, Mx, Му, Мz.
Из полученной системы уравнений можно найти неизвестные
внутренние усилия N, Qν, Qz, Mx, Му и Мz. В этом и заключается метод
сечений для определения внутренних усилий. Компоненты N, Qν, Qz,
Mx, Му и Мz являются составляющими равнодействующих (силы и момента) внутренних усилий взаимодействия между частицами, которые
оказались разделенными плоскостью А
Внутренние усилия распределены по всему сечению и их действие в
какой-либо точке характеризуется интенсивностью, т. е. силой,
приходящейся на единицу площади сечения, выделенную вокруг этой
точки. Эту интенсивность называют напряжением. Итак, напряжением в
какой-либо точке сечения называется внутренняя сила, приходящаяся на
единицу площади сечения, выделенную вокруг этой точки. Через одну и
ту же точку можно провести множество сечений, поэтому в ней будет
множество различных по величине напряжений. Следовательно,
указывая напряжения в точке, надо обязательно указывать положение
сечения, в котором они действуют.
13
Лекция 2
Основные допущения в
сопротивлении материалов
14
1. Материал каждого элемента конструкции представляет
собой однородную сплошную среду и является изотропным,
т. е. он обладает одинаковыми свойствами во всех частях и
по всем направлениям.
15
2. Перемещения от внешних нагрузок малы по сравнению
с размерами тел. Это допущение позволяет считать
расчетную схему неизменяемой, т. е. при составлении
уравнений равновесия не учитывать влияние
перемещений на взаимное расположение нагрузок и на
расстояния от нагрузок до любых точек сооружения.
16
3. Деформации прямо пропорциональны нагрузке. Это
допущение с достаточной для практики точностью
подтверждено опытом и справедливо до тех пор, пока
напряжения не превышают вполне определенной
величины.
17
4. Результат воздействия на тело системы нагрузок равен
сумме результатов воздействия каждой нагрузки в
отдельности — принцип не зависимости действия сил.
18
5. Результаты расчета внутренних усилий не изменятся,
если вместо реального стержня с действующими на него
нагрузками рассматривать расчетную схему.
19
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
0бщее понятие о растяжении и сжатии.
Определение нормальной силы
20
21
22
Общее понятие о растяжении и сжатии.
Определение нормальной силы
23
Pl
l 
EF
(7)
l
 
l
(8)
24
b1  b b
 '

b
b
(9)
'


(10)
25
26
Определение напряжений в поперечном
сечении стержня
27
28
Лекция 3
Диаграмма растяжения и механические свойства
материалов
29
30
Предел
пропорциональности
—
это
наибольшее
напряжение, при котором еще справедлив закон Гука
П
РП

F
(15)
31
Предел упругости — это напряжение, при превышении
которого
появляется
незначительная
остаточная
деформация
у 
Рy
F
(16)
32
Предел текучести — это напряжение, при котором
деформация возрастает без заметного увеличения нагрузки
РT
T 
F
(17)
33
Предел прочности или временное сопротивление — это
наибольшее напряжение, при действии которого
начинается разрушение материала
Рmax
B 
F
(18)
34
Остаточное относительное удлинение—это отношение
наибольшего остаточного удлинения образца к его
первоначальной длине
lОСТ

100%
l
(19)
35
Остаточное относительное сужение — это отношение
уменьшения площади поперечного сечения в шейке к
первоначальной площади
FШ

100%
F
(20)
36
Диаграмма растяжения и механические свойства
материалов
Т
  
nT 
(23)
  
N
     (25)
F
B
n B 
(24)
37
1.
Проверка прочности. Известны: наибольшее
нормальное усилие N , площадь поперечного сечения F
и допускаемое напряжение [σ]. Требуется проверить
прочность — найти действующее напряжение σ и
сравнить его с допускаемым [σ]. В этом случае
действующее напряжение определяют по формуле
N
 
F
Прочность достаточна, если σ≤[σ] и недостаточна, если
σ>[σ]. Задачи этого типа возникают при проверке
прочности элементов существующих конструкций.
38
2. Подбор площади поперечного сечения. Известны:
наибольшее нормальное усилие N и допускаемое
напряжение [σ]. Требуется найти площадь поперечного
сечения F. В этом случае потребную площадь поперечного
сечения определяют из условия, что действующие
напряжения σ равны допускаемой величине.
Следовательно,
N
    
F
откуда потребная площадь поперечного сечения
F 
N
 
39
3. Определение допускаемой нагрузки. Известны:
площадь поперечного сечения F и допускаемое напряжение
[σ]. Требуется определить допускаемую нормальную силу
[N], а по ней допускаемую величину внешних нагрузок. В
этом случае допускаемое усилие также определяют из
условия, что действующие напряжения σ равны
допускаемой величине. Следовательно,
N
    
F
откуда допускаемое усилие
N   F  
40
Допускаемую величину внешней нагрузки при
известной силе [N] определяют из уравнения (6). Этот
тип задачи встречается при оценке грузоподъемности
существующих конструкций.
Иногда для обеспечения нормальной работы некоторых
деталей машин и сооружений ограничивают величину
удлинения (укорочения). Это ограничение выражается
условием жесткости
Pl
l 
 l 
EF
где [Δι] —допускаемая величина удлинения
(укорочения) стержня.
На основании условия жесткости, как и условия
прочности, могут решаться задачи тех же трех типов.
Расчет по условию жесткости всегда должен быть
дополнен расчетом на прочность.
41
Статически неопределимые стержни и стержневые
системы. Раскрытие статической неопределимости
42
43
Раскрытие статической неопределимости
стержневой системы.
44
Лекция 4
Чистый сдвиг
Плоское напряженное состояние, когда по граням
главного куба, выделенного вокруг некоторой точки тела,
действуют численно равные между собой главные
напряжения называется чистым сдвигом.
45
46
Связь между напряжениями и деформациями
при чистом сдвиге
Пусть элементарный куб abcd, проекция которого
изображена на рисунке, испытывает деформацию чистого
сдвига. Под действием касательных напряжении τ грань cd
сдвигается на величину ΔS относительно условно
неподвижной грани аb. При этом куб abcd. перекосится, его
прямые углы станут острыми и тупыми, длины же граней не
изменятся, так как на элемент не действуют нормальные
напряжения. Ввиду малости угла γ можно считать, что и
расстояние между гранями ab и cd остается постоянным.
Деформированная форма элемента на рис. изображена
пунктирными линиями.
Изменение первоначального прямого угла между гранями
элемента, называют углом сдвига или относительным
сдвигом. Угол сдвига обозначают γ и выражают в радианах.
47
48
1
1

   1   3        1   
E
E
E
1

  1   
2
E
E
 

21   
49
Обозначим постоянную величину
E
 через G,
21   
получим   G
Таким образом, при чистом сдвиге касательные
напряжения τ прямо пропорциональны относительному
сдвигу γ - закон Гука при чистом сдвиге
50
Понятия о гипотезах прочности
Первая гипотеза прочности — гипотеза наибольших
нормальных напряжений. В первой гипотезе фактором,
влияющим на прочность материала, считается наибольшее
нормальное напряжение. На основании этой гипотезы
нарушение прочности материала наступает тогда, когда
наибольшее по абсолютной величине нормальное
напряжение |σ|max достигает опасного значения σ°,
определенного при растяжении (сжатии). Известно, что при
растяжении (сжатии) опасными напряжениями являются
или предел текучести σт (для пластичных материалов), или
предел прочности σв (для хрупких материалов).
Следовательно, условие прочности по первой гипотезе
будет
0

max

n
  
51
Вторая гипотеза прочности — гипотеза наибольших
линейных деформаций. Во второй гипотезе фактором,
влияющим на прочность материала, считается
наибольшая по абсолютной величине линейная
деформация. На основании этой гипотезы нарушение
прочности материала наступает тогда, когда наибольшая
по абсолютной величине линейная деформация ‫׀‬ε‫׀‬max
достигает опасного значения ε°, определенного при
растяжении (сжатии). Следовательно, условие прочности
по второй гипотезе будет

max

0
n
  
52
Третья гипотеза прочности — гипотеза наибольших
касательных напряжений. В третьей гипотезе
прочности фактором, влияющим на прочность
материала, считается величина наибольшего
касательного напряжения. На основании этой гипотезы
нарушение прочности материала наступает тогда, когда
наибольшее касательное напряжение τmах достигает
опасного значения τ°, определенного при осевом
растяжении (сжатии) в момент начала текучести.
Следовательно, условие прочности по третьей гипотезе
будет
 max 
0
n
  
53
При сложном напряженном состоянии наибольшее
касательное напряжение определяется по выражению
 max 
1   2
2
Допускаемая величина касательных напряжений при
осевом растяжении (сжатии), соответствующая
допускаемому напряжению [σ] , будет


  
2
Подставляя выражения для τmах и [τ] в условие
прочности (125), получим
 1   3   
54
Гипотеза прочности Мора. Немецкий ученый Отто Мор
внес поправку в третью гипотезу прочности. Он
доказал, что одни наибольшие касательные напряжения
еще не определяют прочности материала, так как
вместе с ними по площадкам действуют и нормальные
напряжения σα
55
56
57
58
Четвертая гипотеза прочности — гипотеза энергии
формоизменения.
В четвертой гипотезе фактором, влияющим на прочность
материала, считается количество удельной
потенциальной энергии формоизменения, накопленной
деформированным элементом. На основании этой
гипотезы нарушение прочности материала наступает
тогда, когда удельная потенциальная энергия
формоизменения иф достигнет опасного значения иф0,
определенного при осевом растяжении (сжатии) в
момент начала текучести. Следовательно, условие
прочности будет
иф 
и
0
ф
n
2
 
 иф
59