Момент инерции тела относительно оси вращения

Полицинский Е.В.
Полицинский Е.В.
Момент инерции тела относительно оси вращения
Моментом инерции тела относительно оси вращения называется
сумма произведений элементарных масс на квадрат расстояния от
оси вращения
n
J   mi  ri 2
(131).
i 1
Для тела с неравномерно распределенной массой элементарная
масса
mi  i  Vi
(132),
где i - плотность в данной точке, Vi – элементарный объем. Поэтому
момент инерции тела будет равен
n
J   i  ri 2  Vi
Если  = сonst, то
(133).
i 1
n
J     ri 2  Vi
(134).
i 1
Переходя к пределу получим, что
(135).
J     r 2 dV
Интегралы берутся по всему объёму тела, причём величины и
являются функциями точки (например, декартовых координат x, y и z.
).
Полицинский Е.В.
Найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной
к плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 71). Разобьем диск на
кольцевые слои толщиной dr. Объем такого слоя равен V = b∙2∙∙rdr, где b –
толщина диска, r – радиус кольцевого слоя. Поскольку диск однороден, то =сonst
R
и
2
2
J     r dV     r  b  2    rdr ;
0
2   b    R4
J  2    b     r dr 
;
4
0
R
3
R2
J     R  b  .
2
2
2
Произведение     R  b   V  m ,
поэтому момент инерции диска относительно оси,
перпендикулярной к плоскости и проходящий через
его центр будет равен
m  R2
J 
2
Рис. 71. Однородный диск
(136).
Для нахождения момента инерции диска относительно
оси, не проходящей через его центр (рис.72) нужно
воспользоваться теоремой Штейнера.
Полицинский Е.В.
Полицинский Е.В.
Теорема Штейнера
Момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен
моменту инерции JC относительно параллельной оси, проходящей
через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела
на квадрат расстояния а между осями.
J  JC  m  a2
(137).
В соответствии с этой теоремой, момент
инерции диска относительно оси ОО равен
Рис. 72. К определению момента
инерции диска относительно оси ОО/
m  R2
3
J
 m  R2   m  R2
2
2
(137*).
Приведём моменты инерции некоторых однородных тел (таблица 6)
Полицинский Е.В.
Полицинский Е.В.
Кинетическая энергия твердого тела при вращении
Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси Z
(рис. 73). Линейная скорость точки с массой mi, равна
 i = ω∙R, где R, – расстояние точки до оси Z. Для
кинетической энергии i-й материальной точки тела
получаем выражение:
m i2 1
(138).
EK i 
  mi   2  Ri2
2
2
Рис.73. Вращающееся тело
Полная кинетическая энергия тела
1
EK   EK i   2    mi  Ri2 (139).
2
Поскольку входящая сюда сумма представляет собой момент инерции
относительно оси Z, получаем:
EK 
1
 J  2
2
(140).
Вычислим работу, совершаемую внешней силой при вращении твердого тела.
Элемент работы
dA  f  d  f  d , r   d r , f  (141).
Последнее выражение есть момент внешней силы М, таким образом,
dA  Md  M   dt
(142).
Полицинский Е.В.
Полная работа может быть вычислена так:

t
0
0
A   dA   M  d  M  dt
(143).
Кинетическая энергия при плоском движении слагается из энергии
поступательного движения со скоростью центра инерции тела и энергии
вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции
Eпл
m C2
J  2


2
2
(144).
Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела
Момент сил твёрдого тела относительно оси равен произведению
момента инерции относительно той же оси на угловое ускорение.
Работа вращения тела идёт на увеличение его кинетической энергии:
J z 2
dA  dEK , dA  M z d , dEK  d (
)  J z   d . Тогда M z d  J z  d , или
2
d
d
d
d
Mz 
 J z  
. Так как   dt ,   dt , то
dt
dt
M z  Jz 
(145).
Полицинский Е.В.
Момент импульса и закон его сохранения
Момент импульса материальной точки относительно
неподвижной точки О – физическая величина, определяемая
векторным произведением радиуса-вектора r i материальной точки,
проведённого из точки О, на импульс pi  mi  iэтой материальной точки
Li   r i , pi    r i , mi  i 
(146).
Li – псевдовектор, его направление совпадает с направлением
поступательного движения правого винта при его вращении от r i к
p i(рис. 74).
Модуль вектора момента импульса
Li  r i  pi sin   mi i  ri sin   pi  l
(147),
где α – угол между векторами ri и pi;
l  r sin  – плечо импульса.
Перпендикуляр опущен из точки О
на прямую, вдоль которой направлен
импульс частицы.
Полицинский Е.В.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси Z –
скалярная физическая величина Liz , равная проекции на эту ось вектора
момента импульса, определённого относительно произвольной точки О данной
оси Z.
Значение момента импульса Liz не зависит от положения точки О на оси Z.
Момент импульса отдельной точки вращающегося абсолютно твёрдого тела
Liz  mi i  ri
(148).
При вращении абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси Z каждая
отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri с
некоторой скоростью
 i . Скорость и импульс перпендикулярны этому
mi  i . Тогда момент импульса
радиусу, то есть радиус – плечо вектора
отдельной частицы Liz  mi i  ri и направлен по оси в сторону, определяемую
правилом правого винта (рис. 75). Момент импульса абсолютно твёрдого тела
относительно неподвижной оси Z
n
Lz   mi i  ri
i 1
(149).
Сумма моментов импульса отдельных частиц
относительно той же оси
n
n
n
Lz   mi i  ri   mi  ri       mi  ri 2  J z  
2
i 1
i 1
i 1
Lz  J z  
учли, что i    ri ;
угловая скорость.
Jz
, то есть
(150),
– момент инерции тела относительно оси Z,  –
Полицинский Е.В.
Ещё одна форма записи уравнения динамики вращательного движения
твёрдого тела
dLz
 Mz
(151).
dt
Производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна
моменту силы относительно той же оси. Продифференцировав Lz  J z   по
времени, получим записанное выражение:
dLz
d
 Jz 
 Jz   M z
dt
dt
.
Производная вектора момента импульса твёрдого тела равна моменту
(сумме моментов) внешних сил
dL
(152).
M
dt
Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы
сохраняется, то есть не изменяется с течением времени
(153).
L  const
Действительно, в замкнутой системе момент внешних сил
M  0;
dL
 0  L  const
dt
.
Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы,
является следствием изотропности пространства. Изотропность пространства –
инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат
системы отчёта (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой
угол).
Полицинский Е.В.
Иллюстрацией этого закона может служить неупругое вращательное
столкновение двух дисков, насажанных на общую ось (рис. 76).
Закон сохранения момента импульса в этом случае J1∙ω1 = (J1 + J2)∙ω.
Ещё одним наглядным примером
является человек сидящий на
скамье Жуковского (рис. 77). Если
человек прижмёт гантели к себе,
то момент инерции уменьшится.
Поскольку момент внешних сил
равен нулю, то момент импульса
системы
сохраняется
Рис. 76. Неупругое вращательное
(J1∙ω1 = J2∙ω2) и угловая скорость
столкновение двух дисков
вращения возрастает.
Гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы
уменьшить момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.
Закон сохранения момента импульса
справедлив для любой замкнутой
системы тел. Он выполняется,
например, при движении планет по
эллиптическим
орбитам
вокруг
Солнца.
Полицинский Е.В.
Уравнение вращательного движения тела можно записывать не только
относительно неподвижной или равномерно движущейся оси, но и
относительно оси, движущейся с ускорением.
Основное уравнение динамики вращательного движения не изменяет
своего вида и в случае ускоренно движущихся осей при условии, что ось
вращения проходит через центр массы тела и что её направление в
пространстве остается неизменным. Примером может служить качение
тела (обруч, цилиндр, шар) по наклонной плоскости с трением (рис. 78).
Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести и
силы реакции относительно оси O равны нулю. Момент M создает только
сила трения: M = Fтр∙R.
Рис. 78. Качение симметричного тела по наклонной плоскости
Полицинский Е.В.
Уравнение вращательного движения:
JC    JC 
a
 M  F R
R
(154),
где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его
центра масс, JC – момент инерции относительно оси O, проходящей через
центр масс.
Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс
записывается в виде:
m∙a = m∙g sin θ – Fтр
(155).
Исключая из этих уравнений Fтр, получим окончательно:
a
m  g sin 
J
( C2  m)
R
(156).
Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной
плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара
2
JС =
∙ m∙R2,
5
а у сплошного однородного цилиндра 1
J = 2 ∙ m∙R2.
Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.
Полицинский Е.В.
Между параметрами и уравнениями поступательного и вращательного
движения существует аналогия. Ниже (таблица 7) приведена аналогия в
описании поступательного и вращательного движений.
Таблица 7
Аналогия в описании поступательного и вращательного движений