МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Алтайский государственный университет»
Рубцовский институт (филиал)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Уровень основной образовательной программы базовый
Специальность 230103.51 Автоматизированные системы обработки
информации и управления (в промышленности, в бюджетных отраслях).
Форма обучения дневная
Срок освоения ОПОП нормативный
Кафедра математики и прикладной информатики
Рубцовск - 2011
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА .....................................................................4
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ................................................................................6
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ....................................................................8
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ ..................................................................................................19
4.1 Самостоятельная работа студента ............................................................19
4.2 Оценочные средства для контроля успеваемости и результатов
освоения учебной дисциплины ......................................................................19
5. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 21
6.МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ КОНТРОЛЮ
...............................................................................................................................22
7 СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ ...........................................30
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Дискретная математика представляет собой область математики, в
которой изучаются свойства структур конечного характера, а так же
бесконечных структур, предполагающих скачкообразность происходящих в них
процессов или отделимость составляющих их элементов. Дискретная
математика имеет дело с дискретными моделями – представлением реальных
процессов или систем в виде последовательности или совокупности состояний
(стадий), различающихся наборами некоторых признаков. Задачи дискретной
математики возникают, как правило, после формализации научных,
технических, планово-экономических и других проблем, в постановке которых
участвуют дискретно размещенные объекты с конечным числом связей между
собой. Бурное развитие дискретной математики обусловлено прогрессом
компьютерной техники, необходимостью создания средств обработки и
передачи информации, а так же представление различных моделей на
компьютерах, являющихся по своей природе конечными структурами.
Цели освоения дисциплины:
Целью дисциплины является изучение и освоение методов дискретной
математики, наиболее применяемых при проектировании вычислительных
машин, комплексов, систем и сетей. Формирование практических навыков
разработки и анализа алгоритмов над объектами дискретной математики.
Задачи дисциплины:
- способствовать формированию у студентов навыков логического мышления
и освоения принципов работы с формальными математическими объектами;
- дать студентам базовые знания и навыки решения задач по основным
разделам дискретной математики и их приложениям.
Требования к уровню изучения.
В результате изучения дисциплины студент должен:
иметь представление:
- о значении и областях применения данной дисциплины;
знать:
- основные дискретные структуры: множества, отношения, графы,
комбинаторные структуры
- основные методы и алгоритмы теории графов, теории отношений и
комбинаторики связанные с моделированием и оптимизацией систем
различной природы;
уметь:
- употреблять специальную математическую символику для выражения
количественных и качественных отношений между объектами;
4
выполнять операции над множествами, применять аппарат теории множеств
для решения задач;
- исследовать бинарные отношения на заданные свойства;
- решать оптимизационные задачи на графах.
Дисциплина «Математика» относится к циклу ОПД.04 Цикл
общепрофессиональных дисциплин. Федеральный компонент.
Перечень дисциплин, усвоение которых студентами необходимо для
изучения данного курса:
«Математика», изучаемая студентами на первом курсе.
Программа предусматривает различные формы работы со студентами:
проведение лекционных и семинарских занятий, в качестве промежуточного
контроля знаний проведение контрольных работ.
-
5
ДЕ 1 Логика
1
2
1. Логические операции, формулы логики,
законы алгебры логики
2. Понятие функции алгебры логики.
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы алгебры логики
3 Представление функции в совершенных
нормальных формах
4. Операция двоичного сложения. Многочлен
Жегалкина
5. Основные классы функций, полнота
множества функций, теорема Поста.
6. Логика предикатов.
Промежуточный контроль
Практически
е занятия
Лабораторны
е работы
Самостоятельная работа
студентов, час.
Количество
аудиторных
часов при
очной форме
обучения
Лекции
Наименование тем
Максимальная нагрузка
студентов, час.
Дидактические единицы
(ДЕ)
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
(распределение часов курса по разделам и видам работ)
Очная форма обучения
3
4
5
6
7
4
2
1
1
6
4
1
1
5
2
2
1
6
4
1
1
4
2
1
1
9
4
4
1
Домашняя контрольная
работа
ДЕ 2 Множества.
Алгебра вычетов.
7. Основные понятия теории множеств,
теоретико-множественные операции и их
связь с логическими операциями.
8. Бинарные отношения и их виды.
9. Элементы теории отображений и алгебры
подстановок.
10. Основы алгебры вычетов.
6
9
4
4
1
9
4
4
1
5
4
1
6
4
2
11. Приложение алгебры вычетов к
простейшим криптографическим шифрам
Промежуточный контроль
ДЕ 3. Метод математической индукции.
Алгоритмическое исчисление комбинаторных
объектов
12. Метод математической индукции.
Принцип метода математической индукции.
Некоторые разновидности (модификации)
метода математической индукции.
13. Алгоритмическое перечисление
(генерирование) комбинаторных объектов
(Понятие алгоритмического перечисления
(генерирования) элементов конечного
множества. Генерирование двоичных слов
заданной длины. Генерирование элементов
декартова произведения множеств.
Генерирование перестановок заданной длины.
Генерирование К–элементных подмножеств
данного множества. Генерирование всех
подмножеств данного множества).
7
ДЕ 4 Графы. Теория
автоматов.
15. Эйлеровы и гамильтоновы графы, плоские
графы, деревья, ориентированные графы,
бинарные деревья.
16. Элементы теории автоматов.
Промежуточный контроль
Итоговый контроль
Итого часов
7
2
1
Аудиторная
контрольная работа
4
2
2
6
4
2
Промежуточный контроль
14. Основные понятия теории графов.
Характеристики графов.
4
Коллоквиум
8
3
4
1
11
6
4
1
11
5
4
2
Защита домашней
контрольной работы
Экзамен
110 58 32
20
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
(дидактические единицы)
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
(дидактические единицы)
3.1 Обязательный минимум содержания образовательной программы
Логические операции, формулы логики, законы алгебры логики; понятие
функции алгебры логики, представление функции в совершенных нормальных
формах, многочлен Жегалкина; основные классы функций, полнота множества
функций, теорема Поста; основные понятия теории множеств, теоретикомножественные операции и их связь с логическими операциями; логика
предикатов, бинарные отношения и их виды; элементы теории отображений и
алгебры подстановок; основы алгебры вычетов и их приложение к простейшим
криптографическим
шифрам;
метод
математической
индукции;
алгоритмическое перечисление основных комбинаторных объектов; основные
понятия теории графов, характеристики графов, эйлеровы и гамильтоновы
графы, плоские графы, деревья, ориентированные графы, бинарные деревья;
элементы теории автоматов
3.2 Содержание разделов учебной дисциплины
ДЕ 1. Логика.
Тема 1. Логические операции, формулы логики, законы алгебры логики.
Аудиторное изучение: Логические переменные. Логические связки.
Таблицы истинности. Правила расстановки скобок в формулах.. Законы алгебры
логики.
Самостоятельное изучение: штрих Шеффера, стрелка Пирса, сумма по
модулю два
Требования к знаниям: Студент должен знать: понятие высказывания,
формулы алгебры логики; логические связки (отрицание, конъюнкция,
дизъюнкция, импликация, эквивалентность, штрих Шеффера, стрелка Пирса,
сумма по модулю два); правила расстановки скобок в формулах.
Требования к умениям: Студент должен уметь: строить таблицу
истинности формул и символическую форму для высказываний.
Тема 2. Понятие функции алгебры логики. Дизъюнктивные и
конъюнктивные нормаль-ные формы алгебры логики
Аудиторное изучение: Булева функция. Вектор значений булевой
функции. Эквивалентность формул. Основные эквивалентности. Выполнимая и
опровержимая формула. Тождественно-истинная формула. Тождественноложная формула. Понятие литеры. Дизъюнкт. Конъюнкт. ДНФ. КНФ. Алгоритм
приведения формулы к ДНФ и КНФ.
Самостоятельное изучение: Конституента единицы. Конституента нуля.
8
Требования к знаниям: Студент должен знать: понятие булевой
функции, вектора значения булевой функции, выполнимой, опровержимой,
тождественно-истинной и тождественно-ложной формулы, понятие литеры,
дизъюнкта, конъюнкта, ДНФ, КНФ; алгоритм приведения формулы к ДНФ и
КНФ.
Требования к умениям: Студент должен уметь: составлять таблицы
истинности булевых функций; доказывать эквивалентность формул,
тождественную истинность формул, строить КНФ, ДНФ.
Тема 3. Представление функции в совершенных нормальных формах
Аудиторное изучение: Совершенная дизъюнктивная и конъюнктивная
нормальные формы. Алгоритмы нахождения СДНФ и СКНФ.
Самостоятельное изучение: Минимизация булевых функций в классе
ДНФ.
Требования к знаниям: Студент должен знать: понятие совершенной
ДНФ, методику представления булевой функции в виде совершенной ДНФ;
понятие совершенной КНФ, методику представления булевой функции в виде
совершенной КНФ; понятие минимальной ДНФ, методику представления
булевой функции в виде минимальной ДНФ.
Требования к умениям: Студент должен уметь: представлять булеву
функцию в виде СДНФ, СКНФ и минимальной ДНФ.
Тема 4. Операция двоичного сложения. Многочлен Жегалкина
Аудиторное изучение: Многочлены Жегалкина. Теорема Жегалкина.
Методики представления булевой функции в виде многочлена Жегалкина.
Метод неопределенных квадратов.
Самостоятельное изучение: Алгоритм определения линейности булевой
функции.
Требования к знаниям: Студент должен знать: операцию двоичного
сложения и ее свойства, определение многочлена Жегалкина, теорему
Жегалкина, методику представления булевой функции в виде многочлена
Жегалкина, алгоритм определения линейности булевой функции.
Требования к умениям: Студент должен уметь: строить многочлен
Жегалкина двумя способами и проверять на линейность булеву функцию.
Тема 5. Основные классы функций, полнота множества функций,
теорема Поста
Аудиторное изучение: Понятие выражения одних булевых функций
через другие. Проблема возможности выражения одних булевых функций через
другие. Полнота множества функций. Замыкание множества функций. Понятие
замкнутого класса функций. Важнейшие замкнутые классы: Т0 (класс функций,
сохраняющих константу 0), Т1 (класс функций, сохраняющих константу 1), S
(класс самодвойственных функций), L (класс линейных функций), M (класс
монотонных функций). Теорема Поста.
9
Самостоятельное изучение: изучение соответствующего лекционного
материала.
Требования к знаниям: Студент должен знать: понятие выражения
одних булевых функций через другие, понятие полноты множества функций,
понятие замкнутого класса, важнейшие замкнутые классы: Т0, Т1, S, L, М
(определения этих классов, методику проверки булевой функции на
принадлежность к этим классам); понятие полноты множества функций;
теорему Поста.
Требования к умениям: Студент должен уметь: проверять булеву
функцию на принадлежность к классам Т0, Т1, S, L, М; проверять множество
булевых функций на полноту (с помощью теоремы Поста).
Тема 6. Логика предикатов.
Аудиторное изучение: Предикаты. Кванторы. Формулы логики
предикатов. Равносильные формулы логики предикатов. Приведенные и
нормальные формы в логике предикатов.
Самостоятельное изучение: Исчисление предикатов.
Требования к знаниям: Студент должен знать: понятие предиката,
понятия области определения и области истинности предиката; операции над
предикатами (обычные логические и кванторные); понятие предикатной
формулы, понятия свободной переменной и связанной переменной; методику
приведения формулы к нормальной форме.
Требования к умениям: Студент должен уметь: записывать область
истинности предиката; выделять в предикатной формуле свободные переменные
и связанные переменные; формализовывать предложения с помощью логики
предикатов; преобразовывать формулы в нормальную форму.
ДЕ 2 Множества. Алгебра вычетов.
Тема 7. Основные понятия теории множеств, теоретикомножественные операции и их связь с логическими операциями.
Аудиторное изучение: Понятие множества, подмножества. Задание
множеств. Сравнение множеств. Операции над множествами (объединение,
пересечение, дополнение, разность). Диаграммы Венна. Универсальное
множество. Разбиения и покрытия. Булеан. Формула включения и исключения.
Самостоятельное изучение: Свойства операций над множествами.
Требования к знаниям: Студент должен знать: понятие множества,
подмножества, операции над множествами и их свойства;
Требования к умениям: Студент должен уметь: применять теоретикомножественные диаграммы; выполнять операции над множествами; решать
задачи на подсчет количества элементов с использованием формулы включения
и исключения, проверять теоретико-множественные соотношения с помощью
формул логики.
Тема 8. Бинарные отношения и их виды.
10
Аудиторное изучение: Прямое произведение. Бинарное отношение.
Способы задания бинарных отношений. Композиция бинарных отношений.
Свойства бинарных отношений и их распознавание. Свойства матриц бинарных
отношений. Рефлексивные, симметричные, транзитивные бинарные отношения.
Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Теорема о разбиении
множества на классы эквивалентности.
Самостоятельное изучение: Отношения порядка. Упорядоченные пары.
Требования к знаниям: Студент должен знать понятие бинарного
отношения; понятия рефлексивного, симметричного, транзитивного бинарного
отношения; свойства матриц бинарного отношения; понятие отношения
эквивалентности, теорему о разбиении множества на классы эквивалентности,
отношения порядка.
Требования к умениям: Студент должен уметь составлять матрицы
бинарных отношений; изображать графически бинарные отношения; определять
область определения, область значения и свойства отношений; выполнять
операции над бинарными отношениями.
Тема 9. Элементы теориия отображений и алгебры подстановок.
Аудиторное изучение: Понятие отображения. Взаимооднозначные
(биективные) отображения. Операция композиции отображений и ее свойства.
Обратное отображение. Композиционная степень отображения.
Диаграмма внутреннего отображения, заданного на конечном множестве;
циклы. Степенная последовательность элемента (a, f(a), f2(a),…,fn(a),…).
Теорема о зацикливании степенной последовательности элемента. Теорема о
разбиении взаимооднозначного внутреннего отображения, заданного на
конечном множестве, на отдельные независимые циклы.
Понятие подстановки. Формула количества подстановок. Циклическое
разложение подстановки. Произведение подстановок. Обратная подстановка.
Степень подстановки. Методика решения простейших уравнений (ax=b, xa=b,
axb=c) в алгебре подстановок. Чётные и нечетные подстановки, свойства четных
и нечетных подстановок.
Самостоятельное изучение: изучение соответствующего лекционного
материала.
Требования к знаниям: Студент должен знать понятие отображения,
понятие
взаимооднозначного
(биективного)
отображения,
операцию
композиции отображений и ее свойства, понятие обратного отображения,
условие обратимости отображения, понятие композиционной степени
отображения, структурные особенности диаграммы внутреннего отображения,
заданного на конечном множестве, теорему о зацикливании степенной
последовательности элемента, теорему о разбиении взаимооднозначного
внутреннего отображения, заданного на конечном множестве, на отдельные
независимые циклы, понятие подстановки, формулу количества подстановок,
11
циклическое разложение подстановки, операции над подстановками, методику
решения простейших уравнений в алгебре подстановок, понятия четной
подстановки и нечетной подстановки, свойства четных и нечетных подстановок.
Требования к умениям: Студент должен уметь определять вид
отображения и функции; вычислять композицию отображений и функций,
выполнять операции над подстановками, решать простейшие уравнения в
алгебре подстановок.
Тема 10. Основы алгебры вычетов.
Аудиторное изучение: Понятие вычета по модулю N; система вычетов по
модулю N. Операции над вычетами (сложение, вычитание, умножение) и их
свойства. Обратимые вычеты; критерий обратимости вычета; система
обратимых вычетов по модулю N.
Самостоятельное изучение: изучение соответствующего лекционного
материала.
Требования к знаниям: Студент должен знать понятие вычета по
модулю N, операции над вычетами и их свойства, понятие обратимого вычета,
критерий обратимости вычета, определение медианы НСВ и методику ее
нахождения.
Требования к умениям: Студент должен уметь выполнять операции над
вычетами, находить медиану НСВ.
Тема
11.
Приложение
алгебры
вычетов к
простейшим
криптографическим шифрам.
Аудиторное
изучение:
Проблема
криптографической
защиты
информации; понятие шифрования. Шифры замены. Шифр Цезаря и шифр
Виженера как частные случаи шифров замены. Перестановочные шифры.
Самостоятельное изучение: изучение соответствующего лекционного
материала.
Требования к знаниям: Студент должен знать понятие шифрования,
принцип шифров замены, шифры Цезаря и Виженера, принцип перестановочных
шифров.
Требования к умениям: Студент должен уметь применять простейшие
шифры замены (в частности, шифр Цезаря и шифр Виженера) для шифрования
текста, применять перестановочные шифры для шифрования текста, осуществлять
дешифровку шифротекста, зашифрованного заданным шифром замены или
заданным перестановочным шифром.
ДЕ 3. Метод математической индукции. Алгоритмическое исчисление
комбинаторных объектов.
Тема 12.. Метод математической индукции.
Аудиторное изучение: Принцип метода математической индукции.
Некоторые разновидности (модификации) метода математической индукции.
12
Самостоятельное изучение: изучение соответствующего лекционного
материала.
Требования к знаниям: Студент должен знать принцип метода
математической индукции, некоторые разновидности (модификации) метода
математической индукции.
Тема 13. Алгоритмическое перечисление (генерирование) комбинаторных
объектов
Аудиторное изучение: Понятие алгоритмического перечисления
(генерирования) элементов конечного множества. Генерирование двоичных
слов заданной длины. Генерирование элементов декартова произведения
множеств. Генерирование перестановок заданной длины. Генерирование К–
элементных подмножеств данного множества. Генерирование всех подмножеств
данного множества.
Самостоятельное изучение: изучение соответствующего лекционного
материала.
Требования к знаниям: Студент должен знать понятие алгоритмического
перечисления (генерирования) элементов конечного множества, принцип
генерирования двоичных слов заданной длины, принцип генерирования
элементов декартова произведения множеств, принцип генерирования
перестановок заданной длины, принцип генерирования К–элементных
подмножеств данного множества, принцип генерирования всех подмножеств
данного множества;
Требования к умениям: Студент должен уметь: генерировать двоичные
слова заданной длины, генерировать элементы декартова произведения
множеств, генерировать перестановки заданной длины, генерировать К–
элементные подмножества заданного множества, генерировать все
подмножества заданного множества.
ДЕ 4. Графы. Теория автоматов.
Тема 14. Основные понятия теории графов. Характеристики графов.
Аудиторное изучение: Виды и способы задания графов. Понятие
мультиграфа, псевдографа. Матрица смежности. Матрица инцидентности.
Степень вершины. Взвешенный граф. Матрица весов. Операции над графами.
Требования к знаниям: Студент должен знать: понятие графа, мультиграфа,
псевдографа; виды и способы задания графов; операции над графами.
Требования к умениям: Студент должен уметь: определять матрицы
смежности и инцидентности, степень вершины.
Тема 15. Эйлеровы и гамильтоновы графы, плоские графы, деревья,
ориентированные графы, бинарные деревья.
Аудиторное изучение: Эйлеровы графы. Теорема Эйлера (критерий
эйлеровости графа). Методика нахождения эйлерова цикла в эйлеровом графе.
Гамильтоновы графы. Плоские графы. Грани плоской укладки плоского графа.
13
Соотношения между количествами вершин, рёбер и граней в плоском графе.
Примеры неплоских графов. Деревья и их свойства. Понятие ориентированного
дерева. Понятие бинарного дерева. Дисбаланс вершины в бинарном дереве.
Кодирование бинарных деревьев. Понятие бинарного дерева сортировки,
методика его построения для заданной последовательности поступающих
элементов, использование его для организации хранения и поиска информации.
Самостоятельное изучение: Двудольные графы.
Требования к знаниям: Студент должен знать: понятие изоморфности
двух графов, методику проверки пары графов на изоморфность, понятие
эйлерова графа, теорему Эйлера, методику нахождения эйлерова цикла в
эйлеровом графе, понятие гамильтонова графа, понятие плоского графа;
соотношения между количествами вершин, рёбер и граней в плоском графе;
простейшие примеры неплоских графов, понятие дерева, свойства деревьев,
понятие ориентированного дерева, понятие бинарного дерева, понятие
дисбаланса вершины в бинарном дереве, кодирование бинарных деревьев.
Требования к умениям: Студент должен уметь: проверять, являются ли
два данных графа изоморфными (в простейших случаях), проверять, является
ли данный граф эйлеровым; находить эйлеров цикл в эйлеровом графе,
проверять, является ли данный граф гамильтоновым (в простейших случаях),
проверять, является ли данный граф плоским (в простейших случаях),
записывать для дерева с пронумерованными вершинами его код Пруфера,
восстанавливать по коду Пруфера дерево с пронумерованными вершинами,
находить дисбаланс вершины в бинарном дереве, записывать код бинарного
дерева, по коду восстанавливать бинарное дерево, строить бинарное дерево
сортировки для заданной последовательности поступающих элементов.
Тема 16. Элементы теории автоматов
Аудиторное изучение: Базовые множества для автомата: входной
алфавит, выходной алфавит, множество состояний. Таблица автомата. Принцип
работы автомата. Диаграмма автомата. Словарная функция автомата. Финальная
функция автомата. Правильный автомат (автомат Мура). Упрощённый вид
диаграммы для правильных автоматов. Автомат, распознающий свойство слова,
и его построение.
Самостоятельное изучение: Канонические уравнения автомата.
Требования к знаниям: Студент должен знать: базовые множества и
принцип работы автомата, диаграмму автомата, словарную и финальную
функции автомата, понятие правильного автомата, упрощённый вид диаграммы
для правильного автомата, понятие автомата, распознающего свойство слова.
Требования к умениям: Студент должен уметь: по таблице автомата
строить его диаграмму, по диаграмме автомата записывать его таблицу, для
заданного автомата по заданному входному слову записывать соответствующее
14
выходное слово, строить автомат, распознающий заданное свойство слова (для
простейших случаев свойства слова).
15
3.3 Содержание лабораторных занятий (практических занятий)
Тема 1. Формулы логики.
План.
1. Логические переменные.
2. Логические связки.
3. Таблицы истинности. Правила расстановки скобок в формулах.
4. Символическая форма для высказываний.
5. Булева функция. Вектор значений булевой функции.
6. Эквивалентность формул.
7. Выполнимая и опровержимая формула. Тождественно-истинная
формула. Тождественно-ложная формула.
8. Упрощение формул логики с помощью равносильных преобразований.
Тема 2. Представление булевой функции в виде совершенной ДНФ,
совершенной КНФ, минимальной ДНФ.
План.
1. Понятие литеры. Дизъюнкт. Конъюнкт.
2. Построение ДНФ и КНФ.
3. Представление булевой функции в виде СДНФ.
4. Представление булевой функции в виде СКНФ.
5. Представление булевой функции в виде минимальной ДНФ.
Тема 3. Полные системы булевых функций
План.
1. Представления булевой функции в виде многочлена Жегалкина двумя
способами.
2. Проверка булевой функции на линейность.
3. Важнейшие замкнутые классы: Т0 (класс функций, сохраняющих
константу 0), Т1 (класс функций, сохраняющих константу 1), S (класс
самодвойственных функций), L (класс линейных функций), M (класс
монотонных функций).
4. Полные системы булевых функций. Теорема Поста.
Тема 4. Логика предикатов
План.
1. Предикаты. Область истинности предиката
2. Кванторы.
3. Свободные и связанные переменные.
4. Формулы логики предикатов.
5. Равносильные формулы логики предикатов.
6. Приведенные и нормальные формы в логике предикатов.
Тема 5. Множества.
План.
1. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна.
16
2. Упрощение выражений над множествами с использованием основных
тождеств алгебры множеств.
3. Решение задач на подсчет количества элементов с использованием
формулы количества элементов в объединении нескольких конечных
множеств.
Тема 6. Бинарные отношения
План.
1. Прямое произведение.
2. Бинарное отношение. Способы задания бинарных отношений.
3. Матрицы бинарных отношений.
4. Рефлексивные, симметричные, транзитивные бинарные отношения.
5. Отношения порядка.
Тема 7. Простейшие криптографические шифры
План.
1. Шифрование текста с помощью шифра замены.
2. Шифрование текста с помощью перестановочного шифра.
3. Дешифровка шифротекста, зашифрованного заданным шифром.
1. Однородный граф. Полный граф. Дополнение графа.
2. Операции над графами: дополнение, объединение, пересечение, сумма
по модулю два, произведение.
Тема 8. Графы
План.
1. Маршруты, цепи, простые цепи, циклы, простые циклы. Длина цепи.
2. Связность графа.
3. .Эйлеров цикл. Критерий Эйлера. Алгоритм построения эйлерова цикла.
4. Гамильтоновы графы. Задача о коммивояжере.
5. Двудольные графы.
6. Гомеоморфизм.
7. Теорема Эйлера о плоских графах.
8. Деревья и лес.
9. Орграф. Матрица смежности. Изоморфизм.
10. Степень вершины орграфа.
11. Маршруты, цепи, циклы в орграфах.
12. Связность орграфа.
13. Эйлеровы цепи и циклы в орграфе.
14. Полный орграф.
15. Нахождение кратчайщих маршрутов.
Тема 9. . Элементы теории автоматов
План.
1. Построение по таблице автомата его диаграммы.
2. Запись таблицы по диаграмме автомата.
17
3. Запись соответствующего выходного слова для заданного автомата по
заданному входному слову.
4. Построение автомата, распознающего заданное свойство слова (для
простейших случаев свойства слова).
18
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ
4.1 Самостоятельная работа студента
Основной составной частью учебного процесса в преподавании
дисциплины «Дискретная математика» студентам дневной формы обучения
являются лекции и практические занятия. Очевидно, что студенты, активно
участвующие в этих занятиях, способны успешнее освоить предмет.
Все лекции студентам необходимо конспектировать. В конспект
рекомендуется выписывать определения, формулировки и доказательства
теорем, формулы и т.п. На полях конспекта следует помечать вопросы,
выделенные студентом для консультации с преподавателем. Выводы,
полученные в виде формул, а также алгоритмы решения тех или иных классов
задач дискретной математики рекомендуется в конспекте подчеркивать или
обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделялись и лучше
запоминались. Полезно составить краткий справочник, содержащий
определения важнейших понятий и наиболее часто употребляемые формулы
дисциплины. К каждой лекции следует разобрать материал предыдущей лекции.
Ряд вопросов дискретной математики вынесен на самостоятельное изучение.
Такое задание требует оперативного выполнения. В конспекте лекций
необходимо оставить место для освещения упомянутых вопросов.
На практических занятиях подробно рассматриваются основные вопросы
дисциплины, разбираются основные типы задач. К каждому практическому
занятию следует заранее самостоятельно выполнить домашнее задание и
выучить лекционный материал к следующей теме. Систематическое выполнение
домашних заданий обязательно и является важным фактором, способствующим
успешному усвоению дисциплины.
Промежуточный контроль проводится в виде контрольных работ и
коллоквиума.
Большая часть материалов для самостоятельного изучения доступна на
файл-сервере Института.
4.2 Оценочные средства для контроля успеваемости и результатов
освоения учебной дисциплины
На экзамене оценка «отлично» ставится, если студент строит ответ
логично в соответствии с планом, показывает максимально глубокие знания
математических терминов, понятий, категорий, концепций и теорий.
Практические задания выполнены полностью, осознанно. Устанавливает
содержательные межпредметные связи. Демонстрирует знание специальной
19
литературы в рамках учебного методического комплекса и дополнительных
источников информации.
Оценка «хорошо» ставится, если студент строит свой ответ в соответствии
с планом. Есть небольшие неточности в изложении теоретического материала
или в выполнении практических заданий. Устанавливает содержательные межпредметные
связи. Речь грамотна, используется профессиональная лексика. Демонстрирует
знание специальной литературы в рамках учебного методического комплекса и
дополнительных источников информации. Имеет место средний уровень
выполнения контрольных и самостоятельных работ в течение учебного
процесса
Оценка «удовлетворительно» ставится, если ответ недостаточно
логически выстроен, план ответа соблюдается непоследовательно.
Практические задания выполнены все, есть небольшие неточности.
Оценка «неудовлетворительно» ставится при условии недостаточного
раскрытия понятий. Ответ содержит ряд серьезных неточностей. Выводы
поверхностны. Имеет место очень низкий уровень выполнения контрольных и
самостоятельных работ в течение учебного процесса
20
5. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
1. Аудитория для проведения лекционных занятий, имеющая необходимое
количество посадочных мест и оснащенная оборудованием для проведения
презентаций (ноутбук, проектор).
21
6.МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ
КОНТРОЛЮ
Вариант домашней контрольной работы
1. Для заданной булевой функции трех переменных:
а) построить таблицу истинности, найти двоичную форму булевой функции и
привести функцию к СДНФ и СКНФ;
б) найти двумя способами многочлен Жегалкина и ответить на вопрос,
является ли данная функция линейной;
с) с помощью эквивалентных преобразований приведите функцию к ДНФ, КНФ,
СДНФ и СКНФ.
a
 x  y   z  x
2. Выяснить, является ли система функций A функционально полной.
A   xy, x  y, x  y, xy  yz  zx
3. На множестве R заданы предикаты:
P( x) :" x 3  6 x 2  11x  6  0", Q( x) :" x 2  4 x  3  0" .
Найти множества истинности предикатов:
a) P ( x)  Q ( x);
b)
P ( x)  Q ( x);
c) P( x)  Q( x).
4. Рассмотреть
все
варианты
навешивания
кванторов
на
предикат
P( x, y ) :" x живет в одном доме с y " , заданный на множестве людей.
Описать в словесной форме полученные высказывания и определить их
истинность.
Вариант аудиторной контрольной работы
1. В студенческой группе 25 человек. Чтобы получить допуск на экзамен по
данному курсу необходимо защитить курсовую работу, выполнить
лабораторную работу и сдать зачет. 15 студентов защитили курсовую
работу, 20 — выполнили лабораторную работу, 17 — сдали зачет. Защитили
курсовую работу и выполнили лабораторную работу 12 человек. Защитили
курсовую работу и сдали зачет 13 человек. Выполнили лабораторную
работу и сдали зачет 16 человек. Сколько студентов допущено к экзамену?
22
2. Изобразить с помощью диаграмм Венна:
a.
( A  В) \ С ;
b. N  M .
3. Даны множества: A = {1, 2, 3}; B = {2, 3, 4}; С = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Найдите
элементы множеств: A  B  C ; A  B  C ;  A \ B   C ;  A \ B   C ;


A \ B  C ; A  B  C ;  A  B \ A  C ; A  B  C .
4.
A  a, b, c, B  1,2,3,4, P1  A  B, P2  B 2 . Изобразите Р1 и Р2 графически.


Найдите P1  P2  . Проверьте с помощью матрицы P2  , является ли
отношение Р2 рефлексивным, симметричным, антисимметричным,
транзитивным?
1
P1  (a,2), (a,4), (a,3), (c,1), (c,2), (c,3),
P2  (1,1), (1,4), (2,3), (3,3), (4,1), (4,3), (4,4)
Вопросы к коллоквиуму.
1. Принцип метода математической индукции.
2. Некоторые разновидности (модификации) метода математической
индукции.
3. Понятие алгоритмического перечисления (генерирования) элементов
конечного множества.
4. Генерирование двоичных слов заданной длины.
5. Генерирование элементов декартова произведения множеств.
6. Генерирование перестановок заданной длины.
7. Генерирование К–элементных подмножеств данного множества.
8. Генерирование всех подмножеств данного множества.
Вариант домашней контрольной работы.
1. Даны графы G1 и G2. Найдите G1  G 2 , G1  G 2 , G1  G 2 , G1  G 2 . Для
графа G1  G 2 найдите матрицы смежности, инцидентности, сильных
компонент, маршрутов длины 2 и все маршруты длины 2, исходящие из
вершины 1.
23
2. Найдите матрицы фундаментальных циклов, фундаментальных разрезов,
радиус и диаметр, минимальное множество покрывающих цепей графа G.
Является ли изображенный граф эйлеровым? Является ли изображенный
граф планарным?
3. Для графа представленного следующей матрицей смежности, определить
матрицу инцидентности и изобразить его графически.
0
1

1

1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1 1
0 0 
1 0

0 0
0 0
4. Для графа представленного следующей матрицей инцидентности, определить
матрицу смежности и изобразить его графически.
 1 0  1 0
 0 1
0 0

 1 1 0 0

 0 0 1 1
 0 0 0
0

 0 0 0 1
1
0
0
0
0
0
0
0
0 1
1
1
0
 1
0

0
1

0 
5. Для автомата, заданного таблицей, постройте диаграмму Мура. Задайте этот
автомат системой булевых функций.
24
25
6. Для
автомата,
заданного
диаграммой
Мура,
соответствующую таблицу и систему булевых функций.
26
выпишите
Вопросы к экзамену:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Множество. Способы задания множеств. Сравнение множеств.
Операции над множествами. Разбиения и покрытия. Булеан.
Свойства операций над множествами.
Функция. Операция. Отображение.
Отношения порядка.
Упорядоченные пары. Прямое произведение. Бинарное отношение.
Способы задания бинарных отношений. Композиция бинарных
отношений.
Свойства бинарных отношений и их распознавание. Свойства матриц
бинарных отношений.
Простейшие комбинаторные конфигурации и их свойства.
Группа подстановок.
Логические переменные. Логические связки. Таблицы истинности.
Булева функция. Вектор значений булевой функции. Эквивалентность
формул.
Основные эквивалентности.
Выполнимая и опровержимая формула. Тождественно-истинная
формула. Тождественно-ложная формула.
Понятие литеры. Дизъюнкт. Конъюнкт. ДНФ. КНФ. Констинтуента
единицы. Конституента нуля.
Алгоритм приведения формулы к ДНФ и КНФ.
Совершенная дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные ормы.
Алгоритмы нахождения СДНФ и СКНФ.
Минимизация булевых функций в классе ДНФ. Матрица Квайна.
Замкнутые классы. Классы T0 , T1 , S , M, L.
Полные системы булевых функций. Теорема Поста.
Свойства суммы по модулю 2. Теорема Жегалкина. Алгоритмы
построения полинома Жегалкина.
Предикаты. Кванторы. Формулы логики предикатов
Кодирование и декодирование. Алфавитное кодирование. Двоичный
алфавит.
Кодирование по Хеммингу.
Проблема
криптографической
защиты
информации;
понятие
шифрования.
Шифры замены. Шифр Цезаря и шифр Виженера как частные случаи
шифров замены.
Перестановочные шифры.
Виды и способы задания графов. Понятие мультиграфа.
27
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
Матрица смежности. Матрица инцидентности.
Взвешенный граф. Матрица весов.
Операции над графами.
Понятия маршрута, цепи, простой цепи, цикла, простого цикла, контура,
пути.
Связный и сильно связный граф. Достаточный признак существования
в графе маршрута определенной длины.
Матрица достижимости, контрдостижимости и сильных компонент.
Радиус и диаметр графа.
Эйлеров цикл. Критерий Эйлера. Алгоритм построения эйлерова цикла.
Минимальное множество ребернонепересекающихся цепей графа.
Гамильтонов цикл.
Плоские графы.
Понятие конечного автомата. Способы задания конечного автомата.
Примеры конечных автоматов.
Канонические уравнения автомата.
28
6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ:
2. Аудитория для проведения лекционных занятий, имеющая необходимое
количество посадочных мест и оснащенная оборудованием для проведения
презентаций (ноутбук, проектор).
29
7 СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ
Основная литература
Глухов М. М., Шишков А. Б. Математическая логика.
Дискретные функции. Теория алгоритмов / М. М. Глухов, А. Б. Шишков
– СПб.: «Лань», 2012 – 409.
b.
Шевелев Ю.П., Писаренко Л. А., Шевелев М. Ю. Сборник задач
по дискретной математике (для практических занятий в группах)/ Ю.П.
Шевелев, Л. А. Писаренко, М. Ю. Шевелев - СПб.: «Лань», 2013 – 523.
c.
Шевелев Ю.П. Дискретная математика / Ю.П. Шевелев. - СПб.:
«Лань», 2008 – 592.
a.
Дополнительная литература
1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика./ Н. Я. Виленкин, А.Н Виленкин.,П. А.
Виленкин - М.: ФИМА, МЦНМО, 2006. - 400 с.
2. Галкина В.А. Дискретная математика: комбинаторная оптимизация на
графах: Учеб. Пособие/ В.А. Галкина -М.: Гелиос АРВ, 2003. 232c.
3. Гончарова, Г. А. Элементы дискретной математики: Учебное пособие
для среднего профессионального образования по специальностям
информатики и вычислительной техники / Г. А. Гончарова, А. А.
Мочалин - М, 2003, 128 с.
4. Горбатов В. А. Фундаментальные основы дискретной математики.
Информационная математика. /В. А. Горбатов, А. В. Горбатов, М.В.
Горбатова - Наука, 2000.- С.- 544c.
5. Москинова, Г.И. Дискретная математика: Математика для менеджера в
примерах и упражнениях / Г.И. Москинова. - М.: Логос, 2003 - 240c.
6. Овчинникова Е. В. Математическая логика и теория алгоритмов:
учебник / Е. В. Овчинникова, С. В. Судоплатов. - Новосибирск: НГТУ,
2012. - 280 c.
7. Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики: учебник / Е. В.
Овчинникова, С. В.Судоплатов -М. 2002, 280 с.
8. Плотников А.Д. Дискретная математика: учеб. пособие /А.Д.
Плотников. — М.: Новое знание, 2005. — 288 с.
9. Соболева Т.С. Дискретная математика: учебник для студ. вузов / Т.
С.Соболева, А. В.Чечкин; под ред. А. В.Чечкина. — М.: Издательский
центр «Академия», 2006. — 256 с.
30
1.
2.
3.
4.
Базы данных, Интернет-ресурсы,
информационно-справочные и поисковые системы
Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная
библиотека [Электронный ресурс]: инф. система. – М.: ФГАУ ГНИИ ИТТ
"Информика", 2005-2012. – Режим доступа: //www. http://window.edu.ru,
свободный. – Загл. с экрана (дата обращения 11.04.2012)
Образовательный математический сайт http://www.exponenta.ru/
Поисковые системы: Яндекс, Rambler, Google
Свободная энциклопедия Википедия (http://ru.wikipedia.org)
31