Гармонические колебания и их характеристики

четверг, 5 мая 2016 г.
Колебания и волны.
Геометрическая и волновая
оптика
Кузнецов Сергей Иванович
доцент кафедры
ОФ ЕНМФ ТПУ
четверг, 5 мая 2016 г.
Колебания и волны.
Геометрическая и волновая
оптика
2
Сегодня: четверг, 5 мая 2016 г.
Поток ИГНД
Кузнецов Сергей Иванович
доцент кафедры
общей физики ТПУ
ФИЗИКА
Часть 3
Колебания и волны;
Квантовая физика;
Атомная и ядерная физика.
18 лекций
9 практических занятий
9 лабораторных занятий
2 теоретических коллоквиума
3 индивидуальных задания
экзамен
3
Физика
Кафедра общей физики
Весенний семестр
2010/2011 учебный год
ИГНД , лектор Кузнецов С.И.
Гр.
Лекции
Практические занятия
Лабораторные занятия
Итого:
Вид занятий
Недели
Лекции
10
Практика
20
Лаборатория
10
10
10
20
20
10
10
20
20
10
20
Итого за семестр
10
20
20
10
10
20
20
10
10
20
20
10
20
20
30
30
30
30
30
15
0
60
130
70
30
30
470
60
30
30
30
630
70
160
160
20
100
30
10
40
30
Коллоквиумы
Экзамен
10
Сумма баллов
40
Инд. задания
Аттестация
10
20
Контр. работы
Итого за неделю
- 36 часoв
- 18 часов
- 18 часов
- 72 часа
160
80
30
90
100
200
160
860
860
140
1000
4
Литература
1. Ю.И. Тюрин, И.П. Чернов, Ю.Ю. Крючков
ФИЗИКА, Ч.3. Оптика. Квантовая физика.
2. И.В. Савельев, КУРС ФИЗИКИ Ч.3;
3. А.А. Детлаф, Б.М.Яворский КУРС ФИЗИКИ.
4. Т.И. Трофимова. Курс физики.
5. Фейнмановские лекции по физике
6. С.И. Кузнецов. Колебания и волны.
7. С.И. Кузнецов. Квантовая оптика. Атомная и
ядерная физика. Физика
5
элементарных частиц.
Раздел V Колебания и волны
Сегодня: четверг, 5 мая 2016 г.
Тема 1 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
1.1 Виды и признаки колебаний
1.2 Параметры гармонических колебаний
1.3 Графики смещения скорости и ускорения
1.4 Основное уравнение динамики гармон. колебаний
1.5 Энергия гармонических колебаний
1.6 Гармонический осциллятор
11
Примеры колебательных процессов
Круговая
волна
на
поверхности
жидкости,
возбуждаемая
точечным
источником (гармонически
колеблющимся шариком).
Генерация акустической
волны громкоговорителем.
12
Примеры колебательных процессов
Поперечная волна в сетке,
состоящей
из
шариков,
скреплённых
пружинками.
Колебания масс происходят
перпендикулярно направлению
распространения волны.
Возможные типы колебаний
атомов в кристалле.
13
1.1 Виды и признаки колебаний
В физике особенно выделяют колебания двух видов –
механические
и
электромагнитные
и
их
электромеханические комбинации, поскольку они
чрезвычайно актуальны для жизнедеятельности человека.
Для колебаний характерно превращение одного вида
энергии в другую – кинетической в потенциальную,
магнитной в электрическую и т.д.
Колебательным движением (или просто колебанием)
называются процессы, повторяющиеся во времени.
Существуют общие закономерности этих явлений.
Поэтому основные, учения о механических колебаниях,
которые мы рассматриваем здесь, должны стать
фундаментом для изучения любых видов колебаний. 14
Различные колебательные процессы описываются одинаковыми
характеристиками и одинаковыми уравнениями.
Говоря о колебаниях или осцилляциях тела, мы
подразумеваем повторяющееся движение его туда и
обратно по одной и той же траектории. Иными словами
колебательное
движение
является
периодическим.
Простейшим примером периодического движения служат
колебания груза на конце пружины.
)
Рисунок 1
15
Рисунок 1
Закон Гука
Fв = – kx
x = 0 – положение равновесия;
Fвн – внешняя растягивающая сила;
Fв – возвращающая сила;
A – амплитуда колебаний.
k - жесткостью пружины.
Знак минус означает, что возвращающая сила, всегда
противоположна направлению перемещения x
16
Fвн = + kx
Из приведенного примера следуют три признака
колебательного движения:
повторяемость (периодичность) – движение по
одной и той же траектории туда и обратно;
ограниченность пределами крайних положений;
действие силы, описываемой функцией F = – kx.
17
Примеры
колебательных процессов
Опыт Кавендиша
18
Примеры
колебательных процессов
В случае абсолютно упругого столкновения шаров (нет
потерь энергии) скорость и угол отклонения крайних
шаров одинаковы, а все промежуточные шары
находятся в покое.
В реальности общая энергия системы со временем
уменьшается за счет трения о воздух, нагревания
шаров, возбуждения акустических волн и т.д.
В результате амплитуда отскока крайних шаров
уменьшается,
а
центральные
шары
начинают
19
совершать колебательные движения.
Примеры
колебательных процессов
Упругое
столкновение
некоторого
тела
с
баллистическим
маятником:
при
движении
маятника его продольная ось остаётся параллельной
самой себе, а центр масс движется по окружности.
Амплитуда колебаний баллистического маятника
пропорциональна скорости налетающего тела.
20
Примеры
колебательных процессов
Столкновение абсолютно упругого шара с пружинным
осциллятором. Со временем колебания затухают, часть
энергии системы перейдет в тепло
21
22
Колебания называются периодическими, если
значения физических величин, изменяющихся в
процессе колебаний, повторяются через равные
промежутки времени.
• Простейшим типом периодических колебаний
являются
так
называемые
гармонические
колебания.
• Любая колебательная система, в которой
возвращающая сила прямо пропорциональна
смещению, взятому с противоположным знаком
(например, F = – kx), совершает гармонические
колебания.
• Саму такую систему часто называют
23
гармоническим осциллятором.
Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам:
 колебания, встречающиеся в природе и технике, часто
имеют характер, близкий к гармоническому;
 различные периодические процессы (повторяющиеся
через равные промежутки времени) можно представить
как наложение гармонических колебаний.
Периодический процесс можно описать уравнением:
f (t )  f (t  nT )
По определению, колебания называются гармоническими, если зависимость некоторой величины x  f (t )
имеет вид
x  A cos  или x  A sin 
(1.1.2)
Здесь синус или косинус используются в зависимости
от условия задачи,
24
А и φ – параметры колебаний, которые мы рассмотрим ниже.
1.2 Параметры гармонических колебаний
• Расстояние груза от положения равновесия до точки,
в которой находится груз, называют смещением x.
• Максимальное смещение – наибольшее расстояние от
положения равновесия – называется амплитудой и
обозначается, буквой A.
ω0t  φ определяет смещение x в данный момент
времени t и называется фазой колебания.
• φ называется начальной фазой колебания при t  0 .
• Фаза измеряется в радианах.
Т.к. синус и косинус изменяются в пределах от +1 до – 1,
25
то х может принимать значения от +А до –А (рисунок 1.2)
x  A cosφ
Рисунок 2
26
27
28
•Движение от некоторой начальной точки до возвращения
в ту же точку, например от x  A к x   A и обратно в
x  A , называется полным колебанием.
• Частота колебаний ν определяется, как число полных
колебаний в 1 секунду. Частоту, измеряют в герцах (Гц):
• 1 Гц = 1 колеб. в секунду.
1
(1.1.2)

T
• Т – период колебаний – минимальный
промежуток времени, по истечении которого
повторяются значения всех физических величин,
(1.2.3)
характеризующих колебание
2 1
T
0


29
• ω – циклическая (круговая) частота – число
полных колебаний за 2π секунд.
 0  2
(1.2.2)
• Фаза φ не влияет на форму кривой х(t), а влияет
лишь на ее положение в некоторый произвольный
момент времени t.
• Гармонические колебания являются всегда
синусоидальными.
• Частота и период гармонических колебаний не
зависят от амплитуды.
30
• Смещение описывается уравнением
x  Acos(0t   )
тогда, по определению:
скорость
ускорение
dx
 x   0 Asin (0t   )
dt
(1.2.4)
(1.2.5)
d x
ax 
 02 Acos(0t   )
dt
0 A   m – амплитуда скорости;
02 A  am – амплитуда ускорения.
31
1.3 Графики смещения скорости и ускорения
Уравнения колебаний запишем в следующем виде:
 x  Acos(0t   )

 x  m sin( 0t   )
a  a cos( t   )
m
0
 x
Из этой системы
следующие выводы:
уравнений
(1.3.1)
можно
сделать
32
33
 скорость колебаний тела максимальна и равна
амплитуде скорости в момент прохождения через
положение равновесия ( x  0 ).
 При максимальном смещении (
скорость равна нулю.
x  A )
 Ускорение равно нулю при прохождении
телом положения равновесия и достигает
наибольшего
значения,
равного
амплитуде
ускорения при наибольших смещениях.
34
Рисунок 3
35
Найдем разность фаз φ между фазами смещения х и
скорости υx.
 x  A cos(ω0t  φ)  Acosφ x

υ x  υm sin( ω0t  φ)  υm cos(ω0t  φ  π / 2)  υm cosφ υ
Δφ  φ x  φ υ  π / 2 ,
(1.3.2)
то есть скорость опережает смещение на π/2.
Аналогично можно показать, что ускорение в свою
очередь опережает скорость по фазе на π/2:
φυ  φa  π / 2
(1.3.3)
Тогда ускорение опережает смещение на π, или
φ x  φa  π
(1.3.4)
36
то есть, смещение и ускорение находятся в противофазе
1.4 Основное уравнение динамики гармонических
колебаний
• Исходя из второго закона, F  ma , можно записать
Fx  m02 Acos(0t   )  m02 x
(1.4.1)
Fx  m02 x
сила F пропорциональна х и всегда направлена к положению
равновесия (поэтому ее и называют возвращающей силой).
Период и фаза силы совпадают с периодом и фазой ускорения.
• Примером сил удовлетворяющих (1.4.1) являются
упругие силы. Силы же имеющие иную природу, но
удовлетворяющие (1.4.1) называются квазиупругими.
(1.4.2)
Квазиупругая сила
F   kx,
x
где k – коэффициент квазиупругой силы.
37
2
k
d
x
2
Сравнивая (1.4.1) и (1.4.2) видим, что 0 
a

x
m
dt 2
Получим основное уравнение динамики гармонических
колебаний, вызываемых упругими силами:
2
2
2
d x
d x k
d x
m 2  kx или m 2  kx  0 ; 2  x  0, тогда
m
dt
dt
dt
2
d x
2
 0 x  0
2
dt
Основное уравнение
динамики гармонических
колебаний
Решение этого уравнения всегда будет выражение вида
x  Acos(0t   )
38
Круговая частота колебаний
k
но  
m
2
0
Период колебаний
2
0 
T
2
k

тогда T
m
m
T  2
k
x  A cosφ
39
1.5 Энергия гармонических колебаний
Рисунок 1
Потенциальная энергия тела U, измеряется той работой,
которую произведет возвращающая сила Fx   kx
40
x
dU
Fx  
; dU   Fdx  kxdx, отсюда U  k  xdx или
dx
0
•Потенциальная
2
kx
1 2 2
энергия
U
 kA cos (0t   )
2
2
(1.5.1)
•Кинетическая энергия
m 2 1
K
 m02 A2sin 2 (0t   )
2
2
(1.5.2)
• Полная энергия:
1
E  U  K  m02 A2 , или
2
1
1 2 (1.5.3)
2 2
E  m0 A  kA
2
2
Полная механическая энергия гармонически колеблющегося
41
тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.
Колебания груза под действием сил тяжести
Максимум потенциальной энергии, (из 1.5.1)
U max
1 2
 mgh  kA
2
Максимум кинетической энергии
mυ
1 2

 kA
2
2 42
2
K max
но когда K  max , U  0 и наоборот.
При
колебаниях
совершающихся под
действием
потенциальных
(консервативных) сил,
происходит переход
кинетической энергии
в потенциальную и
наоборот, но их сумма
в любой момент
времени постоянна.
Рисунок 5
43
На рисунке 6 приведена кривая потенциальной энергии
1 2
U  kx
2
1 2
E  kA .
2
Рисунок 6
1 2
E  kA .
2
К=Е-U
44
1.6 Гармонический осциллятор
1. Пружинный маятник –
это
груз
массой
m,
подвешенный
на
абсолютно
упругой
пружине с жесткостью k,
совершающий
гармонические колебания
под действием упругой
силы F  kx
Рисунок 7
45
Из второго закона Ньютона F = mа; или F = - kx
получим уравнение движения маятника:
2
d x
m 2  kx
dt
или
d 2x  k 
  x  0
2
dt
m
(1.6.1)
Решение этого уравнения – гармонические колебания вида:
x  A cos(0t   )
циклическая частота ω
k
0 
;
m
период Т
m
T  2
k
46
2 Математическим маятником –
называется идеализированная система,
состоящая из невесомой, нерастяжимой
нити, на которую подвешена масса,
сосредоточенная в одной точке (шарик
на длинной тонкой нити).
•При отклонении маятника от
вертикали, возникает вращающий
момент
M  mgl sin  (1.6.2)
•Уравнение динамики вращательного
движения для маятника: M  J
d
 2
dt
2
Момент инерции маятника J  ml 2
47
-угловое ускорение
Тогда
2
d

2
ml
 mgl sin 
2
dt
sin   .
Обозначим :
, или
d 2 g
 sin   0
2
dt
l
g
2

l
2
d

2
(1.6.3)
Уравнение движения маятника




0
0
2
dt
- Это уравнение динамики гармонических колебаний.
Решение уравнения (1.5.3) имеет вид:
   m cos(0t   )
l
g
T  2
0 
g
l
Т – зависит только от длины маятника и ускорения
свободного падения.
48
3 Физический маятник – это
твердое тело, совершающее под
действием силы тяжести
колебания вокруг неподвижной
горизонтальной оси, проходящей
через точку подвеса О, не
совпадающую с центром масс С
Вращающий момент маятника:
M  mgl sin 
l – расстояние между точкой
подвеса и центром инерции
маятника О-С.
Обозначим:
J – момент инерции маятника относит. точки подвеса49O.
d 2 - угловое ускорение, тогда
 2
dt
sin   
d 2
J 2  mgl sin 
dt
Уравнение динамики вращательного движения
d 2
2


0  0
2
dt
   m cos(0t   )
где
mgl
 
J
2
0
J
T  2
mgl
lïð.
J

ml
T  2
lïð.
g
lпр. – приведенная длина физического маятника – это длина такого
математического маятника, период колебания которого совпадает
с
50
периодом колебаний данного физического маятника.
• Точка O' называется центром
качаний
• Применяя теорему Штейнера,
получим:
J J C  ml
JC
lпр. 


l l
ml
ml
ml
2
Рисунок 9
lпр. всегда больше l.
Точки О и О'
всегда будут лежать по обе
стороны от точки С.
51
Точка подвеса О маятника и центр
качаний O' обладают свойством
взаимозаменяемости .
На этом свойстве основано
определение ускорения силы
тяжести g с помощью так
называемого оборотного
маятника.
Это такой маятник, у которого
имеются две точки подвеса и два
груза, которые могут
перемещаться вдоль оси
маятника.
52
• Все приведенные
соотношения для
математического и
физического маятников
справедливы для малых
углов отклонения
(меньше 15°), когда x  lα
мало отличается от
длины хорды l sin α
(меньше чем на 1%).
53
Бенджамин Франклин за стеклянной
гармоникой
Его знаменитая
гармоника была
создана в 1763 году,
а затем в течение
трех лет одна
музыкантша, по
фамилии Дэвис,
объехала с новой
музыкой Америку,
Англию, Францию и
Германию.
54
Визуализация узловых
меридианов
55
Рис.11 Осциллограмма
пустого бокала
Рис.10
Поющий
толстый
бокал,
емкостью
600 мл
Рис.12 Осциллограмма
бокала, наполненного
водой
56
Частота звуковых колебаний в пустых бокалах
1400
1250
1149
1200
частота, Гц
1000
800
683
600
517
400
200
0
Тонкий
Толстый
Фужер
Ваза
тип бокала
•Частота понижается с уменьшением глубины h,
57
•Чем меньше толщина стенок бокала l, тем выше частота звуковых колебаний.
Загадка Древнего Китая
Китайский таз, известный со
времен династии Мин (13681644).
58
Комплексная форма представления
гармонических колебаний
Уравнение гармонических колебаний
Сделаем замену:
x  02 x  0
x = eλt
Продифференцировав, получаем:
Уравнение примет вид:
2 t
2 t
x e
2 t
0
 e  e 0
После сокращения на экспоненту
 2  02  0
- характеристическое уравнение, корни которого дадут
общее решение однородного ДУ
59
Корни характеристического уравнения – мнимые:
λ = ± iω0
Общее решение однородного ДУ
x  C1ei0t  C2 e  i0t
В силу вещественности функции х(t) имеем (х = х*):
C1e
i0t
 C2 e
 i0t
*  i0t
1
C e
* i0t
2
C e
В результате условия на коэффициенты С1, С2:
C1*  C2
 *
 C2  C1
60
Представим их в комплексной форме
Z = ρeiφ,
где в качестве модуля выбрано значение А/2:
A i

C

 1 2 e

C  A e i
 2 2
Тогда выражение для функции х имеет вид


A i i0t i i0t
x
e e e e

2
A i 0t   i 0t 

e
e
2


61
Из формул Эйлера
i
e  cos   i sin 
e
 i
 cos   i sin 
Получаем выражение для гармонических функций:
1 i  i
cos    e  e 
2
1 i  i
sin    e  e 
2i
И выражение для функции х приобретает вид


A i 0t   i 0t 
x
e
e
 A cos  0t   
2
62
- гармоническое колебание.
63
Бегом домой
64