«Старинные задачи»

«Старинные задачи»
Наиболее древние
письменные
математические
тексты датируются
примерно началом 2
тыс. до н. э.
Математические
документы
сохранились только
в Египте, Вавилоне,
Китае и Индии
МОУ «Кормиловский лицей»
Самые ранние математические тексты, известные в
наши дни, оставили две великие цивилизации
древности - Египет и Месопотамия, или Междуречье.
• Вот как писал об этом в V в. до н. э. знаменитый
греческий историк Геродот: «Они [египетские жрецы]
говорили, что царь разделил землю между всеми
египтянами, дав каждому по равному
прямоугольному участку; из этого он создал себе
доходы, приказав ежегодно вносить налог. Если же от
какого-нибудь надела река отнимала что-нибудь, то
владелец, приходя к царю, сообщал о происшедшем.
Царь же посылал людей, которые должны были
осмотреть участок земли и измерить, на сколько он
стал меньше, чтобы владелец вносил с оставшейся
площади налог, пропорциональный установленному.
Мне кажется, что так и была изобретена геометрия,
которая затем из Египта была перенесена в Элладу».
1). Месопотамия
(начале III тыс. до н.э.)
Задача из папируса Ахмеса.
• 1. У семи лиц по семи кошек, каждая
кошка съедает по семи мышей, каждая
мышь съедает по семи колосьев, из
каждого колоса может вырасти по семи
мер ячменя. Как велики числа этого
ряда и их сумма?
2). Древний Египет: Задачи из папируса
Ринда (1700 г. до н.э.)
Некий математик насчитал на выгоне
70 коров. «Какую долю от всего стада
составляют эти коровы?» - спросил
математик пастуха. «Я выгнал пастись
две трети от трети всего стада», отвечал пастух. Сколько голов скота
насчитывается во всем стаде?
• Решение: Пусть х – число голов
скота во всем стаде. Тогда:
(2/3)*(1/3)х=70 (2/9)х=70 х = 315
Ответ: во всем стаде 315 голов
скота.
3). Шумеры (5 тысяч лет назад)
Задача из акмимского папируса.
Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что
осталось, другой взял 1/17, оставив же он в
сокровищнице 150. Сколько было в сокровищнице
первоначально? Решение: В рукописи дробная часть
ответа 17221/32 дается в виде суммы дробей,
числители которых равны 1, а именно: 1/2 + 1/8 +
1/48 + 1/96. Ответ: В сокровищнице было 17221/32.
• Основную часть курса математики в шумерской школе занимала
техника счета. У шумеров «денежной единице служила мина кучка серебра. Это была крупная сумма, и при продаже
недорогих товаров её обычно делили пополам, а каждую
половину -ещё на три части, так что шестая часть мины широко
использовалась при расчётах
4). Аккад
• . У аккадиев в ходу была своя монета шеккель. При сделках между шумерами и
аккадиами шестая часть мины
приравнивалась к 10 шеккелям, т. е. мина
составляла 60 шеккелей.
• В результате появились знаки для чисел 1,10,
60, 600, 3600. Это произошло около 5 тыс.
лет назад. Знаки выдавливались тупым
концом палочки для письма на глиняных
табличках. Позднее они превратились в
клинья и уголки.
5). Народы Урарту
(Ванское царство или царство Урарту)
• усвоив вавилонскую математику,
перешли к десятичной нумерации.
6). Арабская цивилизация: Арабская сказка
«1001 ночь» (ночь 458-я)
• Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села
на ветках, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на
ветках голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один
из вас взлетел к нам, то вас осталось втрое меньше, чем нас
всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами
стало бы поровну». Сколько голубей сидело на ветвях и сколько
под деревом?
• Решение: Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у –
число голубей, расположившихся под деревом.
• Тогда y-1= (x + y)/3
• И, кроме того, х-1 = у+1, т.е. х = у+2. Подставляя х = у+2 в
первое уравнение, получаем (у-1) • 3 = у +2 +у, 3у – 3 = 2у + 2, у
= 5. Следовательно, х = у + 2 = 7. Итак, 7 голубей сели на
дерево, а 5 голубей расположились под деревом.
7. Древний Вавилон (около 2000г. до н. э.)
•
•
•
•
•
•
Древний Вавилон
(около 2000г. до н. э.)
Длина и ¼ ширины вместе
составляют 7 ладоней, а длина и
ширина вместе – 10 ладоней. Сколько
ладоней составляют длина и ширина
в отдельности?
Решение:
Пусть ширина составляет х ладоней,
длина – у ладоней. Тогда х/4 + у = 7, (1)
х + у = 10, (2)
х = 10 – у. (3)
Подставляя (3) в (1), получаем
(10 – у) /4 + у = 7,
у = 6.
Затем из (1) находим х/4 + 6 = 7, х=4.
8. Из древнеиндийской математики (около
2000 г. до н. э.)
– Пчелы числом, равным квадратному корню из полного числа
их во всем рое, сели на куст жасмина, 8/9 пчел полетели назад
к рою. И только одна пчела из того же роя кружилась над
цветком лотоса, привлеченная жужжанием подруги,
неосторожно угодившей в ловушку сладко благоухающего
цветка. Сколько всего пчел было в рое?
• Решение: Пусть х – число пчел в рое. Тогда
квадратный корень(х/2)+ 8/9 *х+2 (1) Обозначив
квадратный корень(х/2)через у, преобразуем
уравнение (1) ( так как у²= х/2, или х=2у²) к виду у +
16/9 у² + 2 = 2у², 2у² - 9у – 18 = 0, Откуда у1 = 6, у2 = 3/2. Этим значениям у соответствуют следующие
значения х: х1= 72, х2= 4,5. Так как число пчел в рое
может быть только натуральным числом, то в рое
было 72 пчелы.
9. Задачи Древнего Китая
(Возникновение китайской цивилизации на берегах реки Хуанхэ
относится к началу II тыс. до н. э.)
•
В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся
клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.
Следуя «правилам оптимальной стратегии», можно составить уравнение
•
4x + 2(35 – x) = 94,
где x — число кроликов, и получить ответ задачи.
Если мы представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и
кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки,
чтобы дотянуться до морковки.
Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?
— 70 (35·2 = 70).
— Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?
— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.
— Сколько их?
— 24 (94 – 70 = 24).
— Сколько же кроликов?
— 12 (24:2 = 12).
— А фазанов?
— 23 (35 – 12 = 23).
•
•
•
•
•
•
•
10. ЗАДАЧА БЕГА-ЭДДИНА
( Иранский математик автор трактата
«Сущность искусства счисления»)
• Разделить число 10 на такие две части,
разность которых есть 5.
• Решение: Если меньшую часть
обозначить через х, то большая будет
х+5. Согласно условию задачи, 2х +5 =
10. Откуда х = 21/2. Следовательно
меньшая часть 21/2, а большая 71/2.
11. ЗАДАЧА АЛ-КАРХИ (Среднеазиатский математик ХI
в, автор трактата « Все известное в арифметике»)
• Найдите площадь прямоугольника,
основание которого вдвое больше высоты, а
площадь численно равна периметру.
Решение: Обозначим ширину прямоугольника
через х, тогда длина его будет 2х, площадь
2х2, периметр 6х. Согласно условию задачи
2х2 = 6х, следовательно х = 3, и искомая
площадь равна 18 кв. ед.
12. Анания из Ширака,
армянский математик VII века.
• В городе Афинах был водоём, в который
проведены 3 трубы. Одна из труб может
наполнить водоём в один час, другая, более
тонкая, в два часа, третья, ещё более тонкая
,в три часа. Итак, узнай, в какую часть часа
все три трубы вместе наполняют бассейн.
• Решение:
• В 6/11 часа. За 6 ч первая труба наполнит 6
таких водоёмов, вторая -3, а третья-2, всего
11 водоёмов. Значит, 3 трубы вместе
наполнят один водоём за 6/11 часа.
• Ответ: 6/11 часа.