РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАЗОВЫХ МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯМ И ЭНЕРГИЯМ Ларионов В.В.

Ларионов В.В.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАЗОВЫХ
МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯМ И
ЭНЕРГИЯМ
Молекулярная физика называется молекулярно –
кинетической теорией строения вещества. Эта теория
базируется на законах классической механики. Однако
число молекул в любом теле невероятно велико: в газах
~1025 шт/м3, в жидкостях и твердых телах ~1028 шт/м3.
Поэтому для описания таких систем используют
статистический метод. Он основан на законах
вероятности и математической статистики. Дело в том, что
в совокупном движении огромного числа частиц,
координаты и скорости которых в любой момент
случайны, появляются определенные (статистические)
закономерности. Молекулярная физика рассматривает
поведение частиц в совокупности (статистически).
Скорости газовых молекул. Опыт Штерна.
Сформулирована молекулярно-кинетическая теория, но
нет никаких доказательств существования самих молекул!
А вся теория базируется на предположении о движении
молекул. С какой они движутся скоростью? И как эту
скорость измерить, если молекулы невидимы.
Теоретики первыми нашли выход. Из уравнения
молекулярно-кинетической теории газов известно, что
mυкв2
3
 kТ
2
2
(1)
3kТ
υкв 
.
m
(2)
Получена хорошая формула, но
неизвестна! Тогда можно записать:
3kNAТ
3RT
υкв 

.
mNA
μ
ρ
А мы знаем, что p  RT
μ
, тогда
масса
молекулы
(3)
υкв 
3p
,
ρ
(4)
где р – давление; ρ  плотность. Это уже измеряемые величины.
Например: плотность азота (N2) равна 1,25 кг/м3 при Т = 0С и р = 1
атм, υN  500 м/c. Для водорода: υH = 2000 м/c.
2
2
Можно отметить, что скорости молекул в газе близки к скорости
звука в этом газе. Это объясняется тем, что звуковые волны
переносятся молекулами газа.
Экспериментально впервые скорости молекул были
измерены в 1920 г. Штерном. За этот опыт и за
большой вклад в развитие молекулярной физики в 1943
г. он был удостоен Нобелевской премии.
В этом опыте были не только измерены скорости
газовых молекул, но и показано, что они имеют
большой разброс по скоростям. Причина в
хаотичности теплового движения молекул.
Схема установки Штерна приведена на рис.
Платиновая нить А, покрытая снаружи серебром,
располагается вдоль оси коаксиальных цилиндров
S1, S3.
Внутри цилиндров поддерживается низкое
давление.
При пропускании тока через платиновую нить
она разогревается до температуры выше точки
плавления серебра (> 961,9 С).
Серебро испаряется,
и его атомы через
узкие щели в цилиндре
S1 и диафрагме S2
летят к охлаждаемой
поверхности цилиндра
S3, на которые они могут
осаждаться.
Если цилиндры S1, S3 и диафрагма не
вращаются, то пучок осаждается в виде узой
полоски D на поверхности цилиндра S3.
Если же вся система приводится во вращение с
угловой скоростью , то изображение щели
смещается в точку D и становится
расплывчатым.
Пусть l – расстояние между D и D, измеренное
вдоль поверхности цилиндра S3.
Оно равно
l = v1t,
где v1  R – линейная скорость точек поверхности
цилиндра S3, радиусом R.
t = S2/v  время прохождения атомами серебра
расстояния S . Это расстояние обозначим h.
Таким образом, имеем
l = Rh/v
Откуда величину скорости теплового движения
атомов серебра
vэксп = Rh/l
Температура нити в опытах Штерна равнялась
1200 С, что соответствует среднеквадратичной
скорости vкв = 584 м/с. В эксперименте для этой
величины получилось значение от 560 до 640 м/с.
Кроме того, изображение щели D всегда
оказывалось размытым, это указывало на то, что
атомы Ag движутся с различными скоростями.
Вероятность события.
Понятие о распределении молекул газа по
скоростям.
Математическое определение вероятности: вероятность
какого-либо события – это предел, к которому стремится
отношение числа случаев, приводящих к осуществлению
события, к общему числу случаев, при бесконечном
увеличении последних. Или
n
P  lim ,
(1)
n  n
где n  число раз, когда событие произошло, а n  общее
число опытов. Отсюда следует, что Р принимает значения
от нуля до единицы (Р=0  1). Или по определению
Лапласа: вероятность – отношение числа благоприятных
случаев к числу возможных случаев.
Определить распределение молекул по
скоростям вовсе не значит, что нужно
определить число молекул, обладающих
той, или иной заданной скоростью.
Число молекул, приходящихся на каждое
значение скорости равно нулю!!!!!!!!!
Вопрос должен быть поставлен так:
«Сколько молекул обладает скоростями,
лежащими
в
этом
интервале,
включающем заданную скорость?» Так
всегда ставятся статистические задачи.
Например: на переписи населения, когда
указывается возраст (20 лет) – это не
значит, что 20 лет, 5 часов, 6 минут, 8
секунд, а эта цифра свидетельствует, что
возраст лежит в интервале от 20 до 21
год.
Молекулы движутся хаотически. Среди них
есть и быстрые и медленные. Благодаря
беспорядочному движению и случайному
характеру их
взаимных столкновений,
молекулы
определённым
образом
распределяются по скоростям.
Это распределение оказывается однозначным и
единственно возможным, и не только
противоречит хаотическому движению, но
именно им и обусловлено.
Мы будем искать число частиц (∆n),
скорости которых лежат в определённом
интервале значения скорости ∆υ (от υ до υ
+ ∆υ). То есть ∆n – число «благоприятных
молекул». Очевидно, что в единице объёма
число таких «благоприятных молекул» тем
больше, чем больше ∆υ.
Ясно так же, что ∆n должно быть
пропорционально концентрации молекул
(n). ∆n зависит также и от скорости,
так как в одинаковых по величине интервалах, но при
разных абсолютных значениях скорости, число молекул
будет различным (сложная фраза с простым смыслом:
неодинаково, например, число людей в возрасте от 20 до
21 года и от 90 до 91 года). Итак: ∆n пропорционально n∆υ,
т.е.
∆n = nf(υ) ∆υ (2)
Или перейдя к пределу dn = nf(υ)dυ
(3)
где f(υ) – коэффициент пропорциональности или функция
распределения.
dn
 f (υ),
Физический смысл f(υ):
(4)
ndv
f(υ)dυ при dυ = 1
имеет смысл
вероятности. Т. е. f(υ) показывает,
какова вероятность, что данное
число молекул dn газа в единице
объёма
имеет
скорость,
заключённую
в
единичном
интервале (от υ до υ + ∆υ,
включающем заданную скорость υ.
Функция распределения Максвелла.
Распределение молекул идеального газа по скоростям
было получено Максвеллом в 1860 году с помощью
методов теории вероятностей.
Наиболее простой вид имеет функция распределения
молекул для одномерного газа f(vX)
1
2
dnx
1  m 
f (υx ) 


 e
ndυx
π  2kT 

mυx
2 kT
 A1e

mυx
2 kT
,
где А1 – постоянная равная
A1e

mυy2
2kT
(5)
1
2
1  m 

 .
π  2kT 
Графическое
изображение
функции показано на рис 1.
Рис. 1
Приведённое выражение описывает распределение
молекул газа по x-м компонентам скорости.
Закон Максвелла – распределение молекул по абсолютным
значениям скоростей имеет более сложный вид!
3/ 2
mυ 2

dn
4  m 
2 kT 2

υ dυ

 e
n
(6)
π  2kT 
dn
– доля всех молекул единицы объёма, скорости
n
которых лежат на интервале от υ до υ + υ
Итак получаем плотность вероятности, или функцию
распределения молекул по скоростям:
3
2
dn
4  m 
f (υ) 


 e
ndv
  2kT 

mυ 2
2 kT
υ .
2
(7)
Эта функция обозначает долю молекул единицы объёма газа,
абсолютные скорости которых заключены в единичном интервале
скоростей, включающем данную скорость.
f(v)
Вся площадь под
кривой равна =1

S
0
v
v
v+dv
Любая другая площадка равна доли
молекул от общего числа, скорости
которых лежат в интервале от v до v+dv
dn

f (v)dv  1  (
)dv
ndv
График
функции
показан на рис. 2
f(v)
Рис.
1) Вид физического распределения для каждого газа зависит от
рода газа (m) и от параметра состояния Т (рис.)
2) В показателе степени стоит отношение кинетической энергии,
соответствующей данной скорости υ к (kТ) – средней
кинетической энергии молекул при данной температуре, значит
распределение Максвелла характеризует распределение молекул по
значениям кинетической энергии (то есть показывает, какова
вероятность при данной температуре иметь именно такое
значение кинетической энергии).
Наиболее вероятная,
средне квадратичная и
средняя арифметическая
скорости молекул газа
Рис. 3
Скорость,
соответствующая
максимуму распределения есть
наиболее вероятная скорость
(Рис. 3).
2kТ
υв 
– для одной молекулы. (8)
m
2kNAT
2 RT – для одного моля газа.
υв 

mNA
μ
Средняя квадратичная скорость равна
(9)
3kТ
υкв 
m
3RT
υкв 
μ
– для одной
молекулы.
– для одного
моля газа.
(10)
(11)
2
mυкв
3
 kТ ,
2
2
2 m 2
kT   
3 2
Средняя арифметическая скорость  υср

1
υср   υnf (υ)dυ
n0
(11)
Если подставить сюда f(υ) и вычислить, то:
(12)
8kТ
2,25kT
υср 

;
πm
m
Формулы для вычисления скоростей
получаются следующим образом:
i
v1n1  v2 n2  v3n3      vi ni
vср.арифм 

n1  n2  n3      ni
n v
i i
i 1
n

1
1 
 lim n  vi n   vnf (v)dv   vf (v)dv
0
n i 1
n0
Зависимость функции распределения
Максвелла от массы и температуры газа.
Если у нас смесь газов, то в пределах каждого сорта газа будет своё
распределение со своим m
m
T
f (υв ) 
, кроме того υв 
.
T
m
Можно проследить за изменением f(υ) при изменении m и
T (рис. 4). Площадь под кривой f(υ) есть величина
постоянная и равна = 1 поэтому важно знать как будет
изменяться положение максимальной кривой.
Рис. 4
Максвелловский закон распределения по скоростям и все
вытекающие следствия справедливы только для газа в
равновесной
системе.
Закон
статистический
и
выполняется тем лучше, чем больше число молекул.
Барометрическая формула.
Очень важно рассмотреть ещё один вероятностный закон.
Рассмотрим столб газа площадью S.
Атмосферное давление на какой-либо высоте z
обусловлено весом выше лежащих слоёв газа. Пусть p –
давление на высоте z, p + Δp – на высоте z + dz (рис. ).
Причём dz > 0, dр < 0, так как на большой высоте давление
меньше. Давление газа в слое dz по определению будет dp
= (F/S)dN, где F - сила, с которой молекулы действуют на
площадку S, dN - число молекул, находящихся в слое dz.
Напомним, что P = nkT. Полагаем, что по всей координате
z температура Т = const. dp =(F/S)dN. Выразим число
молекул dN=ndV= nSdz. Далее известно, что сила и
потенциальная энергия частицы связана по формуле
F = - dU/dz.
Таким образом, получаем следующее
соотношение dp = -(dU/dz)ndz = - dUn. С другой
стороны dp = dnkT.
Z
S
z+dz
P+dP
P(z)
Z
Легко видеть, что dp = - dUp/kT. Или dp/p = - dU/kT.
После интегрирования этого уравнения имеем:

p
p0
U dU
dp
 
0 kT
p
U
ln p  ln p0  
kT
p  p0 exp( U / kT )
Преобразуем полученную формулу: U= mgz,
m  масса молекулы газа, mNA = μ – молекулярный вес
газа, k NA= R. Подставляя, получим
барометрическую формулу, где р0 – давление на высоте z
= 0.
Из формулы следует, что р убывает с высотой тем
быстрее, чем тяжелее газ.
p  p0e

gh
RT
Следствия из барометрической формулы.
График этой функции имеет простой вид. При
этом необходимо помнить, что T=const.
p
Tкр > Tзел> Тсин
z=h
Распределение Больцмана
Заменив, p
на n получим
n(x) = n0exp[U(x)/kT].
Это соотношение называется законом
распределения Больцмана или просто
распределением Больцмана. Условно это
можно изобразить так:
Uk
U2
U1
Однако в искусственных системах, например
лазерах, верхние уровни заселены с большей
концентрацией. Это возможно, если Т< 0. Это и
есть «отрицательная» температура.
Распределение по энергиям
Распределение по энергиям может быть получено из
распределения по скоростям простейшей заменой
скорости v на ε, где ε – средняя кинетическая
энергия молекулы
 /( kT )
2 e
1/ 2
f ( ) 

3/ 2
 (kT )
Другие виды распределений
Распределение Ферми по энергиям для
электронов в металлах
dn/dW
wf
T=0K
dn/dW
T>>0K
W
W
Wf
Wf
Переходим к следующей теме!!!!!!!