Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы

Урок по теме
« Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы» 8 класс.
Цели урока:
- повторить определения касательной, видов углов, закрепить знания по теме,
научить поиску решения нестандартных задач;
- активизировать самостоятельность и познавательную деятельность
учащихся, научить применять полученные знания на практике.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Теоретическая разминка.
3. Тест « Верите ли Вы, что…»
4. Устная работа по готовым чертежам.
5. Тест по форме ГИА ( части А и В).
6. Различные способы решения одной задачи.
7. Софизм и окружность.
8. Проект « Найди центр круга».
9. Итоги.
10.Рефлексия.
1. Вступительное слово учителя.
Сегодня на уроке мы обобщим знания по теме «Касательная к
окружности. Центральные и вписанные углы», проверим теоретическую
подготовку по данному разделу, закрепим умения решать задачи по
готовым чертежам и навыки решения тестовых заданий, рассмотрим
различные способы решения одной задачи и обратимся к математическим
софизмам, как к средству развития интереса к математике.
2. Теоретическая разминка.
- дайте определение окружности.
- что называется хордой
- какой отрезок является радиусом окружности.
- каково может быть взаимное расположение прямой и окружности.
- какая прямая называется касательной
- сформулируйте свойство касательной
- какой угол называется центральным
- чему равна градусная мера дуги.
- какой угол называется вписанным.
- сформулируйте теорему о вписанном угле.
- какие следствия из него знаете.
- чему равен угол между касательной и хордой, проходящей через точку
касания.
- сформулируйте теорему о двух пересекающихся хордах.
- сформулируйте теорему о квадрате касательной.
Белая Ирина Вячеславна
3. Тест «Верите ли вы, что…»
(каждому ученику выдается лист с высказываниями; если он согласен с
ним ставит знак +, если нет - )
1 вариант.
1. Верите ли вы, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу?
2. Верите ли вы, что угол, проходящий через центр окружности, называется
центральным углом?
3. Верите ли вы, что хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности?
4. Верите ли вы, что градусная мера полуокружности равна 180º?
5. Верите ли вы, что любые две точки окружности делят ее на две дуги?
6. Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен
180º?
7. Верите ли вы, что отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо
точкой окружности называется диаметром?
8. Верите ли вы, что если две хорды пересекаются, то сумма отрезков одной
хорды равна сумме отрезков другой хорды?
9. Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90º, то вписанный
угол, опирающийся на эту дугу 45º?
10. Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны?
11. Верите ли вы, что прямая и окружность могут иметь одну, две, три общие
точки?
2 вариант.
1. Верите ли вы, что окружность – это геометрическая фигура, состоящая из точек
плоскости, расположенных на заданном расстоянии?
2. Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он
опирается?
3. Верите ли вы, что хорда, проходящая через центр окружности, называется
диаметром?
4. Верите ли вы, что величина центрального в два раза больше величины дуги, на
которую он опирается?
5. Верите ли вы, что для изображения окружности на чертеже используют циркуль?
6. Верите ли вы, что сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами
равна 360º?
7. Верите ли вы, что прямая, проходящая через середину хорды перпендикулярна
этой хорде?
8. Верите ли вы, что дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий
ее концы, является диаметром окружности?
9. Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют равные
углы с прямой, проходящей через центр окружности?
10. Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность, называется
вписанным углом?
11. Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут
связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники?
Ответы.
1 вариант.
--+++---++2 вариант.
-++-++-+--+
2
Белая Ирина Вячеславна
4. Устная работа по готовым чертежам.
1.
1) Найти ОА.
(24)
2.
1) Найти угол АВС.
(40)
3.
2) ОА=5, найти ОВ.
(5√2)
2) Найти угол АВС.
(130)
1) Найти углы АОD и ACD.
2) Найти угол АВС.
(80; 40)
(120)
4.
1) Найти DE.
(4)
3) АВ =12, ОВ = 13 ; найти ОА.
(5)
3) Найти углы А и С.
(53 ; 90)
3) Найти угол ВСD.
(110)
2) Найти CD.
(6)
3
Белая Ирина Вячеславна
5. Тестирование по материалам ГИА ( уровень Аи В).
Вариант 1.
1. Угол АСВ на 38о меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ
а) 96о; б) 114о; в) 104о; г) 76о;
2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО.
а) 60о; б)40о; в) 30о; г) 45о
3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол
АОС=126о
а) 112о; б) 123о; в) 117о; г) 113о;
4
Белая Ирина Вячеславна
Вариант 2.
1. Угол МСК на 34о меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК.
а) 112о; б) 102о; в) 96о; г) 68о;
2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол
ОВС.
а) 50о; б) 60о; в) 30о; г) 45о;
3. О – центр окружности, угол L =136о. Найдите угол В.
а) 108о; б) 118о; в) 112о; г) 124о;
Вариант 3.
1. Угол EFG на 42о меньше угла EOG найдите сумму углов.
а) 102о; б) 126о; в) 84о; г) 116о;
2. KL – диаметр окружности, О – ее центр. КО=ОМ=КМ. Найдите угол ОМL.
а) 60о; б) 40о; в) 30о; г) 45о;
3. Угол EOD – центральный, угол EFD – вписанный, найдите угол EFD, если угол
EOD=174о.
а) 116о; б) 120о; в) 93о; г) 103о;
Ответы к тесту:
1
2
3
1 Вариант
Б
В
В
2 Вариант
Б
В
В
3 Вариант
Б
В
В
6. Различные способы решения одной задачи
5
Белая Ирина Вячеславна
Задана была задача на вычисление суммы углов пятиконечной звезды,
вписанной в окружность. (Рис. 1)
Ученики могут решать эту задачу двумя способами, если нашли только один
способ решения, то можно по усмотрению комментировать другой.
I способ: Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные
дуги, задача решается очень просто; 360о/5/2*5=180о.
II способ: Угол AMR – внешний угол треугольника MCE, поэтому
<AMR=<C+<E. Угол ARM – внешний угол треугольника BRD, поэтому
<ARM=<B+<D. Тогда <A+<B+<C+<D+<E=<A+<AMR+<ARM=180o
7. Софизм и окружность.
Софизмом называют умышленно ложное умозаключение, которое
имеет видимость правильного.
!!! В любой окружности хорда, не проходящая через центр, равна её
диаметру.
Доказательство.
В произвольной окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через
Середину Dэтой хорды и точку В проводим хорду ВЕ. Соединив точки С
и Е, получаем два треугольника АВD и CDE. Углы ВАС и СЕВ равны
как вписанные в одну и ту же окружность и опирающиеся на одну и ту
же дугу; углы АDВ и CDE равны как вертикальные; стороны АD и СD
равны по условию. Значит, треугольники АВD и CDE равны по двум
углам и стороне. В равных треугольниках соответственно равные
элементы. Тогда АВ = СЕ, т.е. хорда, не проходящая через центр, равна
диаметру окружности.
6
Белая Ирина Вячеславна
- Посмотри внимательно на доказательство и подумай, какая ошибка
допущена?
1
2
3
4
5
В софизме доказывается, что два треугольника АВDи CDE равны,
ссылаясь на признак равенства треугольников по двум углам и стороне.
Однако такого признака нет. Сформулируйте правильно этот признак
равенства треугольников.
Рассматривая метод софизмов можно подчеркнуть важность условия
задачи и правильно построенного чертежа или схемы.
8. Проект « Найди центр круга».
Предлагается учащимся различными способами найти центр круглой
детали.
9. Итоги.
10. Рефлексия
Нам необходимо оценить свою работу на уроке. Какие ощущения у вас
остались после этого урока?
Имя ученика____________________________
Сформированные умения
полностью
частично
не знаю
этого
вопроса
Знаю определения видов
углов
Определение центрального
и вписанного углов
Определение касательной и
ее свойство, признак
Применяю знания в
простейших задачах по
теме
Могу решить
нестандартные задачи с
использованием теорем по
теме
11.Резерв. Можно использовать в качестве домашнего задания
Задачи.
1) Хорда, перпендикулярная диаметру, делит его на отрезки, разность
которых равна 7 см. Найдите радиус окружности, если длина хорды
равна 24 см.
2) Окружность касается сторон равнобедренной трапеции с углом 50º.
Найдите градусные меры дуг, на которые делят окружность точки
касания.
7