Чудеса квантовой механики Владислав Курин “Лекция для аспирантов”, ИФМ РАН, 25 октября 2012 г. Что за чудеса? • • • • Измерения без взаимодействия Квантовый эффект Зенона Парадокс ЭПР Квантовая телепортация Это квантовая механика индивидуальных систем, а не ансамблей! Нобелевская премия по физике 2012 David J. Wineland Serge Haroche (right) and assistant Igor Dotsenko (left) Serge Haroche and David J. Wineland "for ground-breaking experimental methods that enable measuring and manipulation of individual quantum systems" Чем я пользовался при подготовке? • • • • Оригинальная литература Л.И. Мандельштам, Лекции по квантовой механике R. Penrose, The Road to Reality Википедия • М.Г. Иванов (МФТИ),http://www.intuit.ru/video 2 Лекции по квантовой механике Основы квантовой механики • Вектор состояния или волновая функция (q) • Уравнение Шредингера i (q) Hˆ (q) , q дискретные и непрерывные переменные Это полностью детерминированная часть квантовой механики! Однако, ( q ) называется амплитудой вероятности! (q) 2 плотность вероятности q и вероятность ν! Статистическая часть. Правило Борна Дискретный спектр (q) сn n (q), где Aˆ n (q) n n (q) n p(n ) | сn |2 вероятность, что при измерении физической величины A мы получим собственное значение λn Сплошной спектр (q) сa a (q)da, Aˆ a (q) a a (q) p(a) | сa |2 сa сейчас это плотность вероятности физической величины A амплитуда вероятности – комплексное число! a2 2 p ( a ) da | с | a da a1 вероятность-интеграл Измерение как проекция Измеритель физической величины это проектор a Tˆa a a Сумма всех проекторов Tˆ a a a 1ˆ вероятность исхода измерения с результатом a Pa | | Tˆa | |2 | | a |2 a 2 Редукция волновой функции при измерении a a a Если получен результат a, то волновая функция после измерения есть a a Измерение, как взаимодействие Hˆ Hˆ x Hˆ y Vˆ ( x, y, t ) x До взаимодействия ( x, y) 0 ( x)0 ( y) y После взаимодействия ( x, y ) ci i ( x)i ( y ) i Измерение, это выбор какого-то одного члена этой суммы Как это работает. Примеры. Поляризация фотона. cos E sin Измеритель поляризации-призма Глана y k x Вертикальная поляризация испытывает полное внутреннее отражение, а горизонтальная-проходит Фотон – всегда целая частица! 2 cos Ex 1 0 cos sin 0 1 Ey sin 2 вероятность того, что на выходе будет фотон x поляризации вероятность того, что на выходе будет фотон y поляризации Призма Глана-Тейлора Полупрозрачное зеркало | R |2 | T |2 1 с вероятностью а с вероятностью | T |2 | R |2 фотон летит вправо, фотон летит вверх, Прибор Штерна-Герлаха Анализатор поляризации частиц с магнитным моментом e m gs 2mc z S F m B Измеритель Z проекции спина z N 1 1 0 1 2 0 1 2 с вероятностью а с вероятностью | 1 |2 электрон летит вверх, | 2 |2 вниз Эксперимент Штерна-Герлаха Квантовая интерференция x 1 R1 D eikR1 eikR2 1 2 ~ R1 R2 S R2 2 D S D G S D S D 1 1 S D 2 2 S 1 2 Амплитуда попадания из S в D Принцип Гюйгенса-Френеля Вероятность попадания из S в D 1 2 1 2 2 2 2 2 Измерение без взаимодействия | R |2 S 2 | T |2 D2 D1 Если сработал детектор 1 и не сработал детектор 2, то фотон полетел вверх, и ни с чем не взаимодействовал! Avshalom C. Elitzur, Lev Vaidman, Quantum Mechanical InteractionFree Measurements, Foundations of Physics, Vol. 23, No. 7, 1993 Продвинутый вариант Интерферометр Маха-Цандера D2 Настраиваем так, чтобы D2 S 0 D1 D3 S i 1 R ,T 2 2 Детектор 3 нарушает когерентность! Если сработал детектор 2, то это значит, что в плече есть детектор 3. Но сам детектор 3 может и не сработать. Мы обнаруживаем объект не взаимодействуя с ним! Модификация Пенроуза Интерферометр Маха-Цандера D2 D1 D3 Фактически, исправная бомба-это детектор 3 S Если бомба исправна, то плечи интерферометра некогерентны! Если сработал детектор 2 и бомба не взорвалась, то, мы утверждаем, что бомба исправная! Теория эффекта Интерферометр с глухим зеркалом или неисправной бомбой. Пути когерентны! D2 S R 2 T 2 e 2ikL 0, D1 S 2 RTe 2ikL 1 Интерферометр с исправной бомбой. Пути некогерентны! Появилось новое квантовое число – состояние бомбы S , B B начальное состояние, фотон в источнике, бомба не взорвана D1 , B , D2 , B , D2 , B , D2 , B D1 , B S , B RTe 2ikL D2 , B S , B R e 2 2 ikL D1 , B S , B RTei ( k k ') L D2 , B S , B T 2ei ( k k ') L Конечных состояний 4 D2 , B S , B 2 0.25 Увеличение эффективности обнаружения D1 y x D2 B D1 D2 Paul Kwiat, Harald Weinfurter, Thomas Herzog, Anton Zeilinger, Mark A. Kasevich Interaction-Free Measurements, PRL, 74, No. 24, 1995 Теория. Трансфер-матрица xn1 ˆ xn ˆ R T xN 1 ˆ N 1 x0 T , T , y T y y y T R N 1 n1 n 0 R T 1 1 1 1 1 1 1 Tˆ N 1 STdN 1S 1 , S , S , T S TS d 2 1 1 2 1 1 0 0 R T Чтобы ничего не попадало в D2 N 1 R T 1 1 1 2 N 1 1 1 0 R i cos 1 1 R 0 N 1 R T 1 1 T 1 0 2 N 2 ; T sin 2 N 2 Ставим бомбу и вычисляем вероятность того, что фотон пройдет по нижнему пути в D2 Pbot R 2N cos 2N 2 N 2 ; Ptop 1 P 1 cos 2N 2 1 1 2 2 N 2 8 N 2N вероятность взрыва бомбы (фотон пройдет по верхнему пути)→0 ! 2 4N Эффект Зенона-заморозка состояния Парадокс Зенона Элейского «Стрела» Сначала «Антизенон» N поляроидов На одном поляроиде Ptr cos 2 ; Pabs sin 2 ; Выйдет фотон с поляризацией последнего поляроида. 1 0 В осях последнего поляроида это будет чистое состояние Вероятность поглощения на N поляроидах 2 2N Pabs 1 cos 1 1 2 2N 0 2 02 N N 0 N N 2 Эффект Зенона Пример. Фотон в среде с естественной оптической активностью. 1 1 ik1z 1 1 ik2 z e e i 2 2 i две циркулярно поляризованные волны с разными скоростями Вероятность сохранения состояния после N измерений 2 2N P cos 1 2 2N 1 N 1 2 02 N 1 Измерение может заморозить временную эволюцию системы! ЭПР парадокс Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена в модификации Бома Пусть есть сложная нестабильная частица, состоящая из двух частиц со спином 1/2 синглет 2 s0 ЭПР пара Эйнштейна думал, что здесь парадокс ! Сейчас это квантовые корреляции! Телепортация 1 t Friend Bob Alice 1 2,3 Классический канал 2 3 2 3 2 Волновая функция 3 частиц 1,2,3 1 1 2 1 2,3 1 3 2 3 2 3 2 x Bennett C., Brassard G., et al., Teleporting of unknown quantum state via classical and EPR channels, PRL , 70, 1895 (1993). Телепортация 2 Alice делает измерения над 1 и 2 проектируя их на 1,2 1 2 1 2 1,2,3 1,2 2 2 1 1,2 3 3 2 1,2 3 1 2 1 2 1,2 3 3 1,2 3 3 3 Алиса получает один из 4 результатов и сообщает их Бобу. Теперь Боб знает квантовое состояние своей частицы. Это, одно из 3 ; 1 0 3 ; 0 1 0 1 3 ; 1 0 Применяя оператор конечного вращения, Боб восстанавливает состояние частицы 1 0 1 3 ; 1 0 Uˆ cos i (nσ ) sin ; 2 2 Есть ещё много чего в КМ • Парадоксы – кот Шредингера – мышь Эйнштейна – друг Вигнера • Квантовая информация – криптография – вычисления Спасибо за внимание.