x i-1

Правильно ли интегрируют физики-теоретики?
Петр Иванович Дубровский, ведущий инженер ОАО «НТИ «Радиосвязь».
Санкт-Петербург, Российская Федерация.
e-mail: d-pi@yandex.ru
Интегрировать я научился лет в тринадцать,
а дифференцировать умел всегда.
Л.Д. Ландау о себе.
- Самолюбия, - сказал Левин, задетый за живое
словами брата, - я не понимаю. Когда бы в
университете мне сказали, что другие
понимают интегральное вычисление, а я не
понимаю, - тут самолюбие.
Л.Н. Толстой «Анна Каренина»
Полагаю, эта статья будет интересна преподавателям математики, так
как она затрагивает довольно серьёзный аспект математического
образования.
Обсуждая на различных Интернет-форумах проблемы современной
теоретической физики, я столкнулся с весьма удивившей меня проблемой.
Оказывается, довольно большое количество студентов-физиков и даже уже
«остепенившихся» кандидатов и докторов физико-математических наук, не
знают или просто не понимают элементарных основ интегрирования. Этим
страдают даже некоторые математики, например, Всеволод Воронов,
известный на просторах Интернета под ником «vsvor», как он сам
представился в ЖЖ (livejournal.com), полунаучный полусотрудник, а также
полуучитель полуолимпиадной математики (http://vsvor.livejournal.com).
Дело в чем. Оказывается, многие считают, что если брать
определенный интеграл какой-то функции обычным способом, слева –
направо, то получается одно значение, а если брать интеграл «по-еврейски»
(или «по-арабски», кому как нравится; если кто не знает, евреи и арабы
пишут и читают наоборот) справа – налево, то значение получится совсем
даже противоположное.
Рассмотрим для примера изотерму идеального газа (см. график 1):
График 1.
Изотерма идеального газа
8
Давление газа (атмосфер)
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
Объём газа (литров)
Так вот, среди многих физиков-теоретиков бытует убеждение, будто
бы работа газа Aрасш при его изотермическом расширении от 0,2 литров до
1 литра численно равна:
1
1
𝐴расш = ∫ 𝑝 𝑑𝑉 = ∫
0,2
0,2
1
𝑑𝑉 = ln 1 − ln 0,2 ≈ 0 − (−1,609) = 1,609
𝑉
A работа этого же газа при его при его изотермическом сжатии Aсж от
1 литра до 0,2 литра численно равна:
0,2
0,2
𝐴сж = ∫ 𝑝 𝑑𝑉 = ∫
1
1
1
𝑑𝑉 = ln 0,2 − ln 1 ≈ −1,609 − 0 = −1,609
𝑉
Именно
таким
образом
«математически
обосновывается»
предположение, дескать,
при расширении
газа
он
совершает
«положительную» работу, а при сжатии – «отрицательную». Подобный
метод взятия интегралов напоминает мне отрывок из одного бородатого
анекдота:
…Экскурсия по зоопарку.
Гид. – А вот наши крокодилы. Обратите внимание, что они в длину от
носа до хвоста 13 метров, а от хвоста до носа – 5.
Один из экскурсантов. – Как же так? Ведь такого не может быть!
Гид. – Крокодилы – наши, а не ваши. Поэтому – как хотим, так и
меряем…
1
Но дело в том, что при взятии интеграла функции 𝑝 = была допущена
𝑉
грубая ошибка. Согласно законов интегрирования правильным решением
является следующее:
0,2
𝐴сж
0,2
1
1
1
= ∫ 𝑝(−𝑑𝑉) = ∫ (−𝑑𝑉) = ∫ 𝑑𝑉 = ln 1 − ln 0,2 ≈ 0 − (−1,609)
𝑉
𝑉
1
1
0,2
= 1,609
Определённые интегралы, точно так же, как и «крокодилы общего
пользования», должны быть абсолютно, совершенно равны, как их не меряй
– хоть обычно, «от носа до хвоста», слева – направо, хоть «от хвоста до
носа», то есть справа – налево. Убедиться в этом довольно легко. Достаточно
вспомнить самые простые правила преобразования определенных
интегралов. Так, для уравнения изотермы:
𝑏
𝐴 = ∫ 𝑝 𝑑𝑉
𝑎
Поменяем пределы интегрирования, для чего вынесем перед знак интеграла
знак «минус»:
𝑏
𝑎
𝐴 = ∫ 𝑝 𝑑𝑉 = − ∫ 𝑝 𝑑𝑉
𝑎
𝑏
И избавимся от этого знака:
𝑎
𝑎
𝐴 = − ∫ 𝑝 𝑑𝑉 = ∫ 𝑝 (−𝑑𝑉)
𝑏
𝑏
То есть при взятии интеграла «еврейским способом», следует
учитывать, что при этом происходит не инкрементация аргумента (+dx), а его
декрементация (-dx).
Это довольно легко объяснить. Когда мы разбиваем отрезок [a, b]
(a < b) точками на «прямые» элементарные участки (dx)прям = [xi-1, xi] (i = 1,
2,..., n):
a = x0 < x1 < x2 <…< xi-1 < xi < xi+1 <… < xn-1 < xn = b,
то, (dx)прям = xi – xi-1 > 0.
Когда же мы разбиваем отрезок [a, b] точками на элементарные участки
в обратном направлении, то (dx)обр = [xi-1, xi] (i = 1, 2,..., n):
b = x0 > x1 > x2 >…> xi-1 > xi > xi+1 >… > xn-1 > xn = а,
то, как очевидно, (dx)обр = xi – xi-1 < 0, причем (dx)обр = – (dx)прям
Но разве определенный интеграл не может принимать отрицательных
значений? Отвечаю – может. Если график функции лежит в третьей и
четвёртой четвертях декартовой системы координат.
Но почему нельзя «подсунуть» знак «минус» под знак интеграла таким
образом, что обычно рекомендуют сделать «остепенённые» доктора и
кандидаты
физико-математических
наук,
а
также
полунаучный
полуматематик Всеволод Воронов, выступающие в качестве моих
оппонентов по данному вопросу:
𝑎
𝑎
𝐴 = − ∫ 𝑝 𝑑𝑉 = ∫ −𝑝 𝑑𝑉
𝑏
𝑏
Дело в том, что в данном случае мы будем интегрировать уже не
1
функцию изотермического сжатия/расширения идеального газа 𝑝 = , а
𝑉
некую совершенно другую алгебраическую функцию 𝑦 =
1
−𝑥
, которая не
имеет ровным счетом ничего общего с изотермической зависимостью
давления идеального газа от занимаемого им объёма. Вот представлен
график этой функции (см. график 2):
График 2
График функции y=-1/x
0
Абсолютное давление газа
на может быть отрицательным
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
Для наглядности вычислим и определенный интеграл этой функции в
тех же самых пределах:
1
1
𝐼 = ∫(− ) 𝑑𝑥 = − ln 1 − (− ln 0,2) ≈ 0 − 1,609 = −1,609
𝑥
0,2
В этом случае мы действительно получили отрицательное значение
интеграла.
Однако мои самые твердолобые физико-математические оппоненты не
сдаются. Их этот довод мало убеждает. Дело в том, что они слишком
привыкли верить в любую глупость, если она напечатана на бумаге, тем
более если в качестве автора (соавтора) значится какой-нибудь лауреат
Нобелевской премии в области физики (Э.Ферми, Р.Фейнман, Л.Д.Ландау)
Я же привык руководствоваться в своей жизни принципом «доверяй,
но проверяй». Вот я и проверил.
Давайте теперь определим, чему будет равен определенный интеграл
самой обычной логарифмической функции 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥) в интервале от 0,2 до 2.
График 3
График логарифмической функции y = ln(x)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Используем ту самую формулу Ньютона-Лейбница, которой мы уже
неоднократно пользовались прежде:
2
𝐼 = ∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥 = 2(ln 2 − 1) − 0,2(ln 0,2 − 1) ≈ −0,092
0,2
Проверим это.
По своей сути, интеграл есть сумма бесконечно большого числа
бесконечно малых величин Δу, что часто используется при приближённых
вычислениях определенных интегралов с применением различных
квадратурных формул, например, формулы трапеций или формулы
Симпсона.
Поэтому каждый определенный интеграл можно представить как
сумму двух или более интегралов той же самой функции, которые бы
полностью однократно перекрывали пределы интегрирования.
𝑏
𝑧
𝑐
𝑧
𝐼 = ∫ f(x) 𝑑𝑥 = ∫ f(x) 𝑑𝑥 + ∫ f(x) 𝑑𝑥 + ⋯ + ∫ f(x) 𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑏
𝑤
Тогда в нашем случае
2
1
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 = ∫ ln(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ ln(𝑥)𝑑𝑥
1
0,2
2
𝐼1 = ∫ ln(𝑥)𝑑𝑥 = 2(ln 2 − 1) − 1(ln 1 − 1) ≈ 0,386
1
1
𝐼2 = ∫ ln(𝑥)𝑑𝑥 = 1(ln 1 − 1) − 0,2(ln 0,2 − 1) ≈ −0,478
0,2
2
1
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 = ∫ ln(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ ln(𝑥)𝑑𝑥 = 0,386 − 0,478 = −0,092
1
0,2
После такого результата становится не совсем понятен так часто
упоминаемый «геометрический смысл интеграла», как его обычно
описывают во многих учебниках, да и в той же самой Википедии: «если f(x)
непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл
𝑏
∫ f(x) 𝑑𝑥
𝑎
представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной
линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x).»
Площадь, как нам всем прекрасно известно, есть величина абсолютная
(другими словами, площадь всегда положительна), а вот интеграл, как
показывает пример с определенным интегралом
2
∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥 = −0,09 < 0
0,2
не всегда.
Надеюсь, данная статья даст пищу для размышлений всем людям,
которым небезразлична наука – как физика, так и математика.