ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Вопросы

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО КУРСУ
«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
Вопросы
по курсу: «Теория вероятностей, математическая статистика»
Теория вероятностей
Пространство элементарных событий. Случайные события. Действия над событиями.
Комбинаторика. Основное правило и основные соотношения комбинаторики.
Вероятность. Аксиоматическое понятие вероятности. Классическая вероятность,
геометрическая и статистическая вероятность. Условная вероятность
Вероятность суммы для совместных и несовместных событий.
Вероятность произведения зависимых и независимых событий.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Случайная величина. Непрерывная и случайная дискретная величина. Законы
распределения случайных величин. Плотность распределения вероятностей случайной
одномерной величины.
Биномиальный закон. Закон Пуассона. Равномерный и экспоненциальный законы
распределения случайных величин и их числовые характеристики
Нормальный закон распределения. Интеграл вероятностей.
Система случайных величин. Законы распределения отдельных составляющих
системы случайных величин.
Условные законы системы случайных величин.
Числовые характеристики системы случайных величин.
Математическая статистика
Связь выборки с генеральной совокупностью. Выборочные моменты.
Вариационный ряд, полигон частот. Статистический ряд. Гистограмма.
Выборочные начальные и центральные моменты.
Эмпирическая функция распределения, ее свойства.
Оценки. Требования к оценкам: состоятельность, несмещенность, эффективность
Методы получения оценок. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
Доверительный интервал. Доверительный интервал для «а» - математическое
ожидание при известной дисперсии генеральной совокупности.
Доверительный интервал для «а» – математическое ожидание при неизвестной
дисперсии генеральной совокупности.
Проверка статистических гипотез. Критическая область и область принятия решений.
Уровень значимости и доверительная вероятность.
Проверка двух средних нормально распределенных случайных величин. Критерий
Стьюдента.
Контрольная по «Теории вероятностей и МС»
№1
1. Вероятность того, что танк наедет на мину равна – 0.4. Какова вероятность того,
что танк при этом подорвется, если 15% мин имеют дефектные взрыватели.
2. Вероятность выиграть по билету лотереи равна 1/5. Найти вероятность выигрыша
не менее, чем по двум билетам из пяти.
3. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Какова
вероятность, что среди отобранных деталей хотя бы одна деталь стандартная.
4. С первого автомата поступает 70, со второго 30 таких же деталей. На первом
автомате брак составляет 3%, на втором 2%. Проверенная деталь оказалась
доброкачественной. Какова вероятность, что она изготовлена первым автоматом.
5. Случайная величина ξ задана плотностью вероятностей
0, x  0;

f ( x )  C( x 2  1), 0 x  2;
0, x 2.

Найти коэффициент С, F(x), Mξ, Dξ, P(0    1  .
№2
1. В урне 5 белых и 4 черных шаров. Из урны вынимают одновременно три шара.
Найти вероятность того, что среди вынутых шаров не менее двух черных.
2. Вероятность того, что первый ученик решит задачу, равна 0.7, что второй решит
эту же задачу – 0.6. Найти вероятность того, что задача будет решена, если ученики
будут решать ее независимо друг от друга.
3. Книга содержит 400 страниц. Вероятность опечатки на одной странице равна 0.005.
Какова вероятность, что не менее чем на трех страницах будут замечены опечатки.
4. Сборщик получил две коробки одинаковых деталей, изготовленных заводом – 1,
три коробки заводом – 2 и пять коробок заводом – 3. Вероятность, что деталь 1-го
завода стандартна, равна 0.95, 2-го завода 0.92 и 3-го 0.9. Найти, что взятая наудачу
деталь будет стандартной.
5. Случайная величина ξ задана плотностью вероятностей
0, x  0;

f ( x )  C( x  2), 0
0, x 2.

x  2;
Найти коэффициент С, F(x), Mξ, Dξ, P(0    1  .
№3
1. В коробке «А» белых и «В» черных кубиков. Какова вероятность того, что из двух
вынутых кубиков первый белый, а второй черный.
2. Найти вероятность не менее двух попаданий в корзину мячом из трех бросков
игроком команды, если вероятность попадания при одном броске равна 0.6.
3. В пакете 3 белых и 5 черных жетонов. Из пакета вынули 4 жетона. Найти
вероятность того, что среди вынутых жетонов не более 2 черных.
4. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого и
30% из второго. Брак в работе первого цеха составляет 2%, а второго 3%. Найти
вероятность того, что взятая наугад болванка доброкачественная.
5. Случайная величина ξ задана плотностью вероятностей
0, x  0;

f ( x )  C( 3x  1), 0
0, x 2.

x  2;
Найти коэффициент С, F(x), Mξ, Dξ, P(0    1  .
№4
1. Выпуск бракованных сверл в среднем составляет 3%. Сверла укладываются в
коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что в коробке бракованных сверл
будет менее двух.
2. Имеется группа из 7 человек, в которой 2 девочки. Требуется отобрать отряд из 4
человек, в который вошла бы хотя бы одна девочка. С какой вероятностью это
можно сделать?
3. Известно, что 5% всех мужчин и 0.25 всех женщин – дальтоники. Наугад
выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это женщина.
4. Деталь проходит две операции. Вероятность брака после первой операции равна
0.02, после второй – 0.05. Найти вероятность того, что деталь прошедшая две
операции будет доброкачественной.
5. Случайная величина ξ задана плотностью вероятностей
0, x  0;

f ( x )  C(2 x  1), 0
0, x 2.

x  2;
Найти коэффициент С, F(x), Mξ, Dξ, P(0    1  .
№5
1. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены потребует
его внимания, первый станок равна 0.7, второй – 0.75, третий – 0.8. Найти
вероятность того, что в течение смены потребуют внимания рабочего какие либо
два станка.
2. На тепловой электростанции 12 сменных инженеров, из них четыре
женщины. В смену занято три человека. Найти вероятность того, что
в случайную выбранную смену мужчин окажется не менее двух.
3. В баскетбольной команде пять игроков. Вероятность попадания мячом в корзину
для двух игроков равна по 0.8 каждого, а остальных по 0.7 каждого. Найти
вероятность того, что наудачу выбранный игрок попадет в корзину.
4. Вероятность выиграть по облигации займа равна 0.2. Найти вероятность выиграть
не менее чем по двум облигациям из купленных пяти облигаций.
5. Случайная величина ξ задана плотностью вероятностей
0, x  0;

f ( x )  C(x 2  1), 0 x  1;
0, x 1.

Найти коэффициент С, F(x), Mξ, Dξ, P(0    0.4 .
№6
1. Минное заграждение поставлено в две линии. Вероятность подрыва корабля на
первой линии равна - 0.6, а на второй - 0.7. Найти вероятность подрыва корабля
при форсировании минного поля.
2. На сборку поступают шестерни с трёх автоматов: первый даёт 25%,
второй - 30% и третий 45% общего количества шестерён.
Первый автомат допускает 0.1% брака, второй - 0.2%, третий - 0.3%.
Найти вероятность поступления на сборку бракованной шестерни.
3. Выпуск бракованных БИС (больших интегральных схем) в среднем составляет
0,5%. БИС укладываются в коробки по 400 штук. Найти вероятность того, что в
коробке бракованных БИС будет менее трех.
4. В салон маршрутного автобуса вошли 5 человек. Маршрут автобуса имеет 10
остановок. Какова вероятность того, что все выйдут на разных остановках, начиная
со второй?
5. Случайная величина ξ задана плотностью вероятностей
0, x  0;

f ( x )  C(2x 2  1), 0 x  1;
0, x 1.

Найти коэффициент С, F(x), Mξ, Dξ, P(0    0.4 .