Лекция 1 Введение

Математическая логика и теория алгоритмов
Лекция № 1
Введение
Роль математической логики как теоретической основы математики.
Влияние математической логики на развитие информатики.
Необходимость формализации рассуждений. Примеры задач, решаемых
рассуждениями.
Основные математические понятия, необходимые для изложения основ
математической логики.
РОЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
КАК ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ
Среди задач, для решения которых привлекают компьютер, немало таких,
которые принято называть логическими. В логических задачах исходными
данными являются не только и не столько числа, а сложные логические суждения,
подчас весьма запутанные. И нужно применить рассуждения, чтобы от
предпосылок перейти к выводу – это и есть основная задача логики.
Термин "логика" происходит от древнегреческого logos, означающего
"слово, мысль, понятие, рассуждение, закон".
Логика означает набор правил, которым подчиняется процесс мышления.
Основателем логики считают афинского философа Аристотеля (384-322 до
н.э.), одного из величайших мыслителей в истории человеческой цивилизации.
Логические сочинения Аристотеля объединены в сборник трактатов «Органон»
(organon - «орудие»). Название означает, что логика в понимании Аристотеля есть
орудие научного исследования и является введением в философию.
В «Органон» входят следующие логические трактаты:
«Категории» - дают схему описания специфических вещей в терминах их
свойств и действий; это сочинение, не совсем достоверно приписываемое
Аристотелю;
«Об истолковании» (трактат о суждении);
«Аналитики» - первая и вторая, каждая в двух книгах. Это основной
логический труд Аристотеля. В нем излагаются: в первой «Аналитике» - учение
об умозаключении (силлогизме), а во второй - учение о доказательстве,
дедуктивном методе доказательства от частного к общему;
Математическая логика и теория алгоритмов
«Топика» - обширный трактат о вероятных доказательствах и о «диалектике»
- в аристотелевском понимании этого термина;
«Опровержение софистических доказательств».
Цель логических трактатов Аристотеля «Органон» состояла в том, чтобы
развить универсальный метод рассуждения, посредством которого будет
возможно узнать все знания о действительности.
Формальная логика - наука о формах и законах мышления. Законы логики
отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов
окружающего мира. Логика как наука позволяет строить формальные модели
окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.
Логика служит базовым инструментом почти любой науки и является
теоретической основой математики. Из логики выделилась самостоятельная ее
часть – математическая логика, изучающая основания математики и принципы
построения математических теорий. Математика – это наука, в которой все
утверждения доказываются с помощью умозаключений.
Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) —
раздел математики,
изучающий математические
обозначения, формальные
системы, доказуемость математических суждений,
природу
математического доказательства в
целом, вычислимость и
прочие
аспекты оснований математики.[1]
По определению П. С. Порецкого, «математическая логика есть логика по
предмету, математика по методу».
По определению Н. И. Кондакова, «математическая логика — вторая, после
традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая
математические методы и специальный аппарат символов и исследующая
мышление с помощью исчислений (формализованных языков).»[2]
По определению С. К. Клини: математическая логика — это «логика,
развиваемая с помощью математических методов».[3] Все эти определения не
противоречат, а дополняют друг друга.
Применение в логике математических методов становится возможным
тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные
языки имеют две стороны: синтаксис и семантику.
Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка
(обычно называемых формулами).
Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше
понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни
формулы верными, а другие — нет.
Математическая логика и теория алгоритмов
ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ
ИЗЛОЖЕНИЯ ОСНОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Основными формами мышления являются
(суждения) и умозаключения (рассуждения).
понятия,
высказывания
Понятие - это форма мышления, которая выделяет существенные признаки
предмета или класса предметов, отличающие его от других. Например,
компьютер, человек, студенты, дата, экзамен.
Суждения (высказывания) - это форма мышления, в которой утверждается или
отрицается связь между предметом (понятием) и его признаком, отношения
между предметами или факт существования предмета; причем она может быть
либо истинной, либо ложной. Языковой формой высказывания является
повествовательное предложение. Вопросительные и побудительные предложения
суждениями не являются.
Высказывания рассматриваются не с точки зрения вложенного в них смысла
и содержания (как в философии), а только с точки зрения их истинности или
ложности. Истинным будет суждение, в котором связь понятий правильно
отражает свойства и отношения реальных объектов. "В январе 31 день" - истинное
суждение, а вот "У курицы 2 лапы" - ложное. Суждения могут быть простыми и
сложными. "Дискриминант равен нулю, И уравнение имеет корни" - сложное
суждение, состоящее из двух простых, которые объединены логической связкой
И.
Умозаключение - прием мышления, позволяющий на основе одного или
нескольких суждений-посылок получить новое суждение (знание или вывод).
Примерами умозаключений являются доказательства теорем в геометрии.
Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только
истинные суждения. Тогда и умозаключение будет истинным. Иначе можно
прийти к ложному умозаключению.
ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ НА РАЗВИТИЕ ИНФОРМАТИКИ
Формальная логика, построенная Аристотелем, просуществовала без
существенных изменений более 20 веков. Развитие математики потребовало ее
развития. Впервые идеи о построении логики на математической основе высказал
немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646-1716) – он считал, что основные
понятия логики нужно обозначить символами, соединяя их специальными
связующими символами. Тогда любое рассуждение можно заменить
вычислением. «Мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши
мысли другим лицам, но и чтобы облегчить сам процесс нашего мышления»
(Г.Лейбниц).
Математическая логика и теория алгоритмов
Реализация этой идеи Лейбница принадлежит английскому математику XIX
столетия Джорджу Булю (1815-1864). Он построил один из разделов формальной
логики в виде некоторой «алгебры», аналогичной алгебре чисел, обозначив
буквами высказывания. Подобно тому, как для описания действий над
переменными был разработан раздел математики алгебра, так и для обработки
логических выражений в математической логике была создана алгебра
высказываний, или алгебра логики. Алгебра логики изучает свойства функций, у
которых и аргументы, и значения принадлежат заданному двухэлементному
множеству (например, {0, 1}). Поэтому иногда вместо термина «алгебра логики»
употребляют термин «двузначная логика». Дж.Буль определил алгебру в
широком смысле слова как науку об общих операциях над математическими
объектами.
Первый русский фундаментальный труд по логике, написанный М.В.
Ломоносовым (1711 — 1765), называется «Краткое руководство к красноречию».
Алгебра логики является частью активно развивающейся сегодня науки дискретной математики, которая изучает дискретные структуры (конечные
группы – вычислительные системы, конечные автоматы, машины Тьюринга) в
классической математике и в прикладной математике. Математический аппарат
алгебры логики широко используется в информатике, в частности, в таких ее
разделах, как проектирование ЭВМ, теория автоматов, теория алгоритмов, теория
информации, целочисленное программирование и т. д.
Большой вклад в становление и развитие математической логики внесли
Августус де Морган (1806-1871), Уильям Стенли Джевонс (1835-1882), Платон
Сергеевич Порецкий (1846-1907), Чарлз Сандерс Пирс (1839-1914), Андрей
Андреевич Марков (1903-1979), Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) и др.
Долгое время алгебра логики (Булева алгебра) была известна достаточно
узкому классу специалистов. Прошло почти 100 лет со времени создания алгебры
логики Дж. Булем, прежде чем в 1938 году выдающийся американский математик
и инженер Клод Шеннон (1916-2001) показал, что алгебра логики применима для
описания самых разнообразных процессов, в том числе функционирования
релейно-контактных и электронно-ламповых схем.
Современная математическая логика – это раздел математики, который
изучает вопросы применения математических методов для решения логических
задач и построения логических схем, которые лежат в основе работы любого
компьютера. Поэтому основы информатики базируются на математической
логике.
В середине XX века развитие вычислительной техники привело к появлению
логических элементов, логических блоков и устройств вычислительной техники,
что было связано с дополнительной разработкой таких областей логики, как
Математическая логика и теория алгоритмов
проблемы логического синтеза, логическое проектирование и логического
моделирования логических устройств и средств вычислительной техники.
В 80-х годах XX века начались исследования в области искусственного
интеллекта на базе языков и систем логического программирования. Началось и
создание экспертных систем с использованием и развитием автоматического
доказательства теорем, а также методов доказательного программирования для
верификации алгоритмов и программ для ЭВМ.
В
80-ые
годы
начались
также
изменения
в
образовании.
Появление персональных компьютеров в средних школах привело к созданию
учебников информатики с изучением элементов математической логики для
объяснения логических принципов работы логических схем и устройств
вычислительной техники, а также принципов логического программирования
для компьютеров пятого поколения и разработка учебников информатики с
изучением языка исчисления предикатов для проектирования баз знаний.
НЕОБХОДИМОСТЬ ФОРМАЛИЗАЦИИ РАССУЖДЕНИЙ. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ,
РЕШАЕМЫХ РАССУЖДЕНИЯМИ
Рассмотрим вопрос, обсуждаемый в ток-шоу: «Кто ЗА – если человек на
хорошей, оплачиваемой работе, имеет свою фирму, много денег, то он хорошо
учился?»
Обсуждаемое высказывание является сложным, состоит из двух простых
высказываний:
А= «Человек на хорошей, оплачиваемой работе, имеет свою фирму, много
денег»
В= «Человек хорошо учился»,
которые соединены связкой ЕСЛИ…, ТО…
Это высказывание для участия в обсуждении требует четкой формы.
Формализуем высказывание, поставив на первое место причину, а на второе
предполагаемое следствие из этой причины: ЕСЛИ человек хорошо учился, ТО
этот человек на хорошей, оплачиваемой работе, имеет свою фирму, много денег.
Теперь можно пофилософствовать, всегда ли имеет место такая зависимость.
Наверно, не всегда. Т.е. высказывание ЕСЛИ В, ТО А – не является истинным.
Давайте рассмотрим оригинальную форму высказывания: ЕСЛИ А, ТО В,
немного изменив ее: если человек на хорошей, оплачиваемой работе, имеет свою
фирму, много денег, значит, он хорошо учился.
Математическая логика и теория алгоритмов
Каждый человек, имеющий хорошую работу, хорошо учился. Но не каждый,
кто хорошо учился, имеет хорошую, оплачиваемую работу.
Выстроив четко причину и следствие, можно обсуждать философское
содержание высказывания.
Часто в бытовой речи связка ЕСЛИ…, ТО… соединяет следствие и причину
(следствие на первом месте): ЕСЛИ есть грибы, ТО прошел дождь. Нужно четко
выяснить, что имеется в виду: если есть грибы – это признак того, что были
дожди? Или все же наоборот: если прошли дожди, то в лесу есть грибы. Русский
язык богат и многообразен, пользуйтесь синонимами, по-другому проговаривая
свои мысли; уточняйте, переспрашивайте собеседника: «Если я вас правильно
понял, …». Таким образом, как в обыденной речи, так и в математической логике
необходимо четкое понимание связей между высказываниями – вот почему нужна
формализация высказываний.
Рассуждениями решаются многие задачи.