Подготовка к олимпиаде Класс 5 Тема: Принцип Дирихле

Подготовка к олимпиаде
Класс 5
Тема: Принцип Дирихле. Принцип крайнего.
Цель: ознакомить учащихся с принципом Дирихле, принципом
крайнего и выработать навыки по решению задач.
1) Принцип Дирихле – утверждение, сформированное нем.
математиком Дирихле в 1834г., устанавливающее связь между
объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при
выполнении определенных условий. То есть, если кролики
рассажены в клетки, причем число кроликов больше числа клеток,
то хотя бы в одной из клеток находится больше одного кролика.
Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не
более 2 кроликов. На основании такого простого принципа
математикам удается решать довольно трудные задачи.
Задача 1.
Докажите, что в любой футбольной команде есть два игрока,
которые родились в один и тот же день недели.
Решение
Пусть футболисты – это «кролики», а дни недели – это «клетки».
Получаем 7 клеток, в которые надо «посадить» по крайней мере 11
кроликов (в футбольной команде 11 человек), а значит по
принципу Дирихле в клетке будет сидеть по крайней мере два
кролика. Значит в футбольной команде есть 2 игрока, которые
родились в один и тот же день недели.
Задача 2
В школе обучается 400 учащихся. Доказать, что хотя бы два из них
родились в один и тот же день года.
Решение
В году бывает 365 или 366 дней. Если считать дни «клетками» по
принципу Дирихле, а учащихся «кроликами», то в какой-то клетке
сидят более одного кролика. Значит, не менее двух учащихся
родились в один день года.
Задача 3
Каждую грань куба окрашено в белый или черный цвет. Доказать,
что найдутся одинаково окрашены грани и они имеют общее
ребро.
Решение
Рассмотрим произвольную вершину куба. В ней пересекаются 3
грани. Примем за «клетки» - цвета, а за «зайцев» - грани, что
пересекаются в этой вершине. Их всего три. Поэтому по принципу
Дирихле найдется «клетка», в которой находятся два «зайца». А это
значит, что найдутся две грани, которые имеют общее ребро (т.к.
они имеют общую точку) и окрашены одинаково.
Задача 4
На собеседование пришло 65 учащихся. Им предложили три
тестовых задания. За каждое задание ставилась одна оценка: 2,3,4
или 5. Верно ли, что найдется два учащихся, которые получили
одинаковые оценки со всех тестовых заданий?
Решение
Рассмотрим все наборы из трех оценок за соответствующие
задания. Таких наборов 4*4*4=64 (4 возможности за каждое из
трех заданий). Т.к. число учащихся больше 64, то двум учащимся
соответствует один набор оценок.
Задача 5
В классе учится 29 учащихся. Саша Петренко допустил в диктанте 13
ошибок и никто другой не допустил большего количества ошибок.
Доказать, что хотя бы три учащихся допустили одинаковое
количество ошибок.
Решение
За «клетки» примем все возможные варианты количества ошибок.
Их 14, т.к. учащиеся могут допустить 0,1,2,3,…,13 ошибок.
«Зайцами» будем считать учащихся, которые писали диктант и их
по условию 29. Каждого из них «садим» в «клетку», что
соответствует количеству допущенных ошибок. Понятно, что
найдется «клетка», в которой «сидят» хотя бы три «зайца», а это
означает, что найдется три учащихся, которые допустили
одинаковое количество ошибок.
Задача 6
В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого.
Какое наименьшее число шариков надо вынуть из мешка вслепую
так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного
цвета?
Решение
Всего надо вынуть три шарика. Шары - это «кролики» а цвета – это
«клетки». А т. к. клеток меньше, чем кроликов, то по принципу
Дирихле найдется клетка, в которой сидят хотя бы два кролика, то
есть два шара одного цвета. Легко заметить, что вытащив два
шарика, мы можем получить шарики разного цвета.(ответ: 3
шарика)
Задача 7
Обязательно ли среди двадцати пяти медных монет (т.е.
достоинством 1.2.3.5коп.) найдется семь монет одинакового
достоинства?
Подсказка: подумайте, сколько будет монет, если каждого из
четырех типов монет не более шести. (6*4=24).
Решение
Если бы монет каждого из четырех типов было не более 6, то всего
монет было бы 6*4=24, а их 25. Значит, обязательно среди 25-ти
медных монет достоинством 1,2,3,5 коп. найдется семь
одинаковых монет.
2) Принцип крайнего.
При решении многих задач ключевой идеей оказывается
рассмотрение некоторой крайней величины, связанной с задачей.
Этот метод решения задач называется принципом крайнего.
Задача 1
8 грибников собрали 37 грибов. Известно, что никакие двое не
собрали грибов поровну и каждый нашел хотя бы один гриб.
Докажите, что какие-то двое из них собрали больше, чем какие-то
пятеро.
Решение
Пронумеруем грибников так, чтобы первый набрал больше всех
грибов, второй больше среди оставшихся и т. д. Ясно, что первый
не мог набрать меньше 9 грибов, т. к. тогда бы все вместе набрали
максимум 1+2+…+8=36 меньше 37 грибов. Также второй не мог
набрать меньше 7 грибов. Значит, первый и второй грибники
вместе набрали хотя бы 7+9=16(грибов). Учитывая то, что третий
набрал хотя бы 6 грибов, то 4-й, 5-й,…,8-й набрали вместе 37-166=15 меньше 16 грибов.
Задача 2
Семь грибников собрали вместе 100 грибов, причем никакие двое
не собрали поровну грибов. Доказать, что есть двое грибников,
которые собрали вместе не менее, чем 50 грибов.
Решение
Рассмотрим трех грибников, которые собрали вместе
максимальное количество грибов. Если минимальное (из этих трех)
количество грибов равно 16 (16*3=48), то вместе три грибника
собрали не менее, чем 16+17+18=51. Если определено
минимальное количество менее 16, то остальное количество
четыре грибника собрали вместе не более 14+13+12+11=50 грибов.
Следовательно получаем, что первые три грибника собрали вместе
не менее, чем 50 грибов.
Задача 3
В классе имеется 10 учеников, получивших в течение года хотя бы
одну двойку, а 5 учеников, получивших не менее двух двоек, 7
учеников, получивших не менее трех двоек. Сколько всего двоек в
этом классе?(предполагается, что ни у кого нет более трех двоек).
Решение
Пронумеруем двойки каждого ученика в порядке их получения,
тогда 10 – количество первых двоек, 5*2=10 количество вторых
двоек и 7*3=21 количество трех двоек, а всего 10+10+21=41 двойка.
Задача 4
В каждой клеточке шахматки записали число. Выяснилось, что
каждое число равно среднему арифметическому чисел,
записанных в соседних (по стороне) клеточках. Доказать, что все
числа равны.
Решение
Рассмотрим наибольшее из записанных чисел. Оно равно своим
соседям. Т.к. либо какие два числа соединенные цепочкой с
соседними числами, то все эти числа равны.
Подготовила: Пустовит Т.Н.,КОШ №58