применение-подобия-на-практике
реклама
Муниципальное образовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа С углубленным изучением отдельных предметов № 89 Применение подобия на практике Выполнила: Кочанова Лада, Ученица 8 «Б» класса школы № 89 Руководитель: Вахрушева Е. В. учитель математики школы № 89 Ижевск 2011 Содержание: Введение: .................................................................................................................. 4 1. Обзор литературы .......................................................................................... 5 1.1 Что такое подобные треугольники?.......................................................... 5 1.2 Признаки подобных треугольников. ........................................................ 5 1.3 Подобие треугольников в жизни. ............................................................. 6 1.4 Что такое геодезия?........................................................................................ 6 1.4 1.5 Способы применения подобия .................................................................. 8 Измерение дерева ....................................................................................... 8 1.6.1 Способ Фалеса.............................................................................................. 8 1.6.2 С помощью равнобедренного треугольника............................................. 9 1.6.3 Карманная записная книжка. .................................................................... 10 1.6.4 Не приближаясь к дереву. ......................................................................... 10 1.6.5 Высотометр................................................................................................. 11 1.6.6 Высотометром, не приближаясь к дереву. .............................................. 12 1.6.7 Зеркало. ....................................................................................................... 13 1.6.8 По способу Жюля Верна. ......................................................................... 14 1.7 Измерение недоступного расстояния ..................................................... 15 1.7.1 1способ ........................................................................................................ 15 1.7.2 2 способ. ...................................................................................................... 16 1.7.3 3способ. ....................................................................................................... 16 1.8 Измерения глубины .................................................................................. 17 1.8.1 Задача древних индусов ........................................................................... 17 1.9 2 На какой высоте находится шпиль ......................................................... 18 Практическая часть...................................................................................... 20 2.1 Измерение десяти этажного дома различными способами ..................... 20 2.1.1 с помощью прямоугольного равнобедренного треугольника ............ 20 2.1.2 высотометром............................................................................................ 20 2.1.3 Способ с помощью зеркала ..................................................................... 21 2.1.4 Измерение на расстоянии ........................................................................ 22 2.1.5 Способ с тенью ......................................................................................... 22 2.1.6 При помощи записной книжки ............................................................... 23 2.2 измерение дерева различными способами ................................................ 25 2.2.1 с помощью записной книжки ................................................................... 25 2.2.2 При помощи высотометра ........................................................................ 26 2 2.2.3 При помощи зеркала.................................................................................. 26 2.2.4 С помощью тени ........................................................................................ 28 2.2.5 С помощью прямоугольного равнобедренного треугольника. ............. 28 2.2.6 измерение на расстоянии .......................................................................... 28 2.2 измерение магазина различными способами......................................... 30 2.2.1 измерение на расстоянии ......................................................................... 30 2.3.2 с помощью прямоугольного равнобедренного треугольника............... 30 2.3.3 С помощью зеркала ................................................................................... 31 2.3.4 высотометром ............................................................................................. 31 2.3.5 При помощи тени ....................................................................................... 32 2.3.6 при помощи записной книжки ................................................................. 32 2.3 измерение школы различными способами ............................................ 34 2.3.1 С помощью зеркала .................................................................................. 34 2.4.2 С помощью тени ........................................................................................ 35 2.3.2 Измерение на расстоянии ........................................................................ 35 2.3.3 С помощью высотометра ......................................................................... 35 2.3.4 С помощью прямоугольный равнобедренного треугольника ............ 36 2.4 Частный дом .............................................................................................. 38 2.4.1 Измерение на расстоянии ........................................................................ 38 2.4.2 При помощи зеркала ................................................................................ 38 2.4.3 С помощью тени ....................................................................................... 39 2.4.4 Высотометром ........................................................................................... 39 2.5.5 При помощи записной книжки................................................................. 39 2.4.5 при помощи прямоугольного равнобедренного треугольника............ 40 2.6 Путь от дома до школы ............................................................................... 43 2.6.1 Первый этап ................................................................................................ 43 2.7 Способ с монетой ......................................................................................... 45 Выводы: .................................................................................................................. 48 Список литературы: .............................................................................................. 49 3 Введение: Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых, и даже для биологов. Геометрические знания широко применяются в жизни – в быту, на производстве, в науке. При покупке обоев надо знать площадь стен комнаты; при определении расстояния до предмета, наблюдаемого с двух точек зрения, нужно пользоваться известными нам теориями; при изготовлении технических чертежей – выполнять геометрически построения. На уроках геометрии мы прошли подобие треугольников. Мне эта тема очень понравилась. Недавно я узнала, что с помощью подобия треугольников можно измерять очень большие высоты и недосягаемые расстояния. Мне стало очень интересно, и я решила побольше узнать об этом, попытаться измерить самой некоторые высоты и проанализировать получившиеся результаты. Цель работы: узнать больше о подобии треугольников, и каким образом оно применяется на местности. Применить на практике полученные знания. Задачи: 1. Собрать литературу по данному вопросу. 2. Изготовить необходимое оборудования для измерения на местности.. 3. Показать умение проводить измерительные работы на местности: измерить при помощи подобия, объекты, находящиеся по пути в школу несколькими способами и сравнить получившиеся результаты. 4. Вычислить погрешность измерения. Объекты и предметы исследования: высота: дом, школы, дерева, магазина, частного дома, а так же путь от дома до школы. 4 1. Обзор литературы Треугольники знакомы нам с детства. Более подробно мы узнали о них в курсе геометрии с 7 класса. Эта геометрическая фигура таит в себе много интересного и загадочного. С помощью треугольника можно решать много практических задач. 1.1 Что такое подобные треугольники? Два треугольника соответственно называются равны и подобными, стороны если одного их углы треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.(1) 1.2 Признаки подобных треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.(1) 5 1.3 Подобие треугольников в жизни. Очень часто для применения подобия на местности, возникает необходимость построения. Такие построения нужны и при строительстве зданий, и при прокладке дорог. 1.4 Что такое геодезия? При решении хозяйственных и научных вопросов, связанных с поверхностью земли, часто возникают такие задачи: Каково расстояние между двумя пунктами; Насколько одна точка выше или ниже другой заданной точки; Чему равна площадь некоторого участка местности; Как направлена (ориентирована) данная линия относительно сторон света и т. д. Все эти вопросы связаны с изучением поверхности земли в геометрическом отношении, и их решение сводится к определению относительного (взаимного) положения точек этой поверхности. При организации территории и осуществлении всякого рода строительных работ приходится решать и другие задачи: Как на местности построить прямую заданной длинны или круговую кривую данного радиуса. Как отбить на местности площадь определенной величины и формы и т. д. В этом случае наоборот, приходится на поверхности земли (или вблизи нее) Намечать точки, которые отвечают определенным условиям. Наука, которая занимается всеми этими вопросами, называется, геодезией. Задачи геодезии теперь можем кратко формулировать так. 6 Геодезия положения занимается точек определением земной относительного поверхности, а также (взаимного) обозначением (маркировкой) на местности точек, отвечающих заданным (проектным) геометрическим условиям. Результаты геодезических измерений представляют аналитически – каталогами координат и ведомостями высот точек, а также графически – различными чертежами, отображающими по определенному закону местности на плоскости. Чтобы рационально организовать измерения на поверхности земли и правильно изображать ее на бумаге, нужно иметь достаточно четкое понятие о форме и раздорах Земли. В большинстве случаев для измерения треугольников.(4) 7 применяется подобие 1.4 Способы применения подобия Подобие треугольников можно применять для разных целей. Например, для измерения высоты дерева. 1.5 Измерение дерева 1.6.1 Способ Фалеса. Самый легкий и самый древний способ – который греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Жрецы и Фараон, собравшиеся у подножья высочайшей пирамиды, озадаченно смотрели на северного пришельца, отгадывающего по тени высоту огромного сооружения. Фалес выбрал день, и час когда его тень ровнялась его росту, тогда и высота пирамиды должна соответствовать ее высоте. Таким образом, можно измерить и высоту дерева. Но этот способ не всегда можно применить. Чтоб не дожидаться когда ваша тень станет равна вашему росту можно поступить проще. Измерить тень дерева и вашу собственную. Во сколько раз тень дерева больше вашей, значит во столько же раз дерево выше вашего роста. Из этого можем составить А пропорцию(рис. 1): AB:ED=BC:EF Это вытекает из геометрического подобия треугольников АВС и DEF. Но этим способом мы получаем не совсем точные результаты.(2) 8 1.6.2 С помощью равнобедренного треугольника. Вполне возможно обойтись при измерении высоты и без тени. Мы можем воспользоваться свойством равнобедренного прямоугольного треугольника. Для этого надо изготовить один простой прибор, его можно изготовить из дощечки и двух булавок (рис. 2). 1. На дощечке любой формы намечают три точки – вершины равнобедренного прямоугольного треугольника. Рис. 2 2. В них втыкается по булавке. 3. К верхней булавке привязывается ниточка с грузиком. Приближаясь к дереву или отдаляясь от него вы всегда найдете такое место А (рис. 3), из которого, глядя на булавки E и F, увидите, что они покрывают верхушку С дерева: это значит что продолжение гипотенузы E F проходит через точку С. Тогда, очевидно, расстояние ЕВ равно СВ, так как угол Е=450 . Следовательно, измерив, Рис. 3 расстояние ЕВ и прибавив OB, т. е. возвышение АЕ глаза над землей, получите искомую высоту дерева.(4) O 9 1.6.3 Карманная записная книжка. Можно измерить высоту дерева с помощью записной книжки, если она снабжена карандашом, всунутым в чехлик или петельку при книжке. Она поможет построить вам в пространстве те два подобных треугольника, из которых получается искомая высота. Книжку надо держать возле глаза так, как показано на (рис. 4). Она должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигаться над верхним обрезом книжки на столько, чтобы глядя из точки Е, видеть вершину В дерева покрытой кончиком О карандаша. Тогда вследствие подобия треугольников ECB и EFO. Высота ВС определится из пропорции: BC:OF=EC:FE. К полученному расстоянию ВС нужно прибавить еще длину СD, т. е. – на ровном месте высоту глаза над почвой.(3) 1.6.4 Не приближаясь к дереву. Бывает так, что нельзя подойти к дереву вплотную. Но в таком случае его высоту измерить вполне возможно. Для этого надо изготовить один простой прибор: Две планки МО и ЕF соединяются под прямым углом так, чтобы МF Рис.6 10 ровнялось FO, а FМ составляла половину ЕF. Вот и весь прибор (рис.5). Чтобы измерить им высоту держат его в руках, направив планку ОF вертикально (для этого на ней имеется отвес – шнурок с грузиком), и становятся последовательно в двух местах (рис. 6): сначала в точке А, где располагают прибор концом О вверх, а затем в точке А1, подальше, где прибор держат концом М вверх. Точка А избирается так, чтобы, глядя из Е на конец О, видеть его на одной прямой с верхушкой дерева. Точку же А1отискивают так, чтобы глядя из Е1 на точку М1, видеть ее совпадающей с В. В отыскании этих двух точек А и А1 заключается все измерение, потому что искомая часть высоты дерева ВС равна расстоянию АА1. Равенство вытекает из того, что EС=ВС, а Е1С=ВС; значит: Е1С-ЕС=ВС. В этом способе мы не подходим к самому дереву, но можем узнать его высоту.(2) 1.6.5 Высотометр. Можно измерить высоту дерева с помощью специального прибора – высотометра. Его можно легко изготовить (рис. 7): 1. Картонный или деревянный прямоугольник OMNQ. 2. На вершину M привязан грузик с ниточкой. 3. На краю ОF нанести сантиметровые деления. 11 Подойдя к дереву держат высотомер так чтобы глядя вдоль края MN видеть на одной линии с ним вершину В дерева (рис. 8). В точке М привешен на нити грузик F. Находим точку Е в которой нить пересекает линию OQ . треугольники МВС и МОЕ подобны, так как оба прямоугольные и имеют равные острые углы МВС и Рис. 8 МЕО(с соответственно параллельными сторонами), значит мы в праве написать пропорцию: ВС:ЕО=МС:МО, отсюда: ВС=МС* ЕО МО . Так как МС, ЕО и МО можно измерить непосредственно, то легко получить искомую высоту дерева, прибавив длину нижней части СD ствола (высоту прибора над почвой.(2) 1.6.6 Высотометром, не приближаясь к дереву. Высотометром можно измерять высоту деревьев, к которым нельзя Рис. 9 подойти вплотную. Надо направит прибор на вершину В дерева с двух точек А и А1(рис. 9). Пусть в точке А мы определили, что ВС=0.9АС а в точке А1 – что ВС=0.4А1С. Тогда мы знаем, что АС = ВС 0.9 , А1С ВС 0.4 , откуда 12 АА1 = А1С − АС = 18 25 ВС 0.4 − ВС 0.9 = 25 18 ВС итак, АА1 = 25 18 ВС, или ВС = АА1 = 0.72А1А .(2) 1.6.7 Зеркало. Высоту дерева можно определить при Рис. 10 помощи зеркала. На некотором расстоянии от измеряемого дерева на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева. Тогда дерево АВ во столько раз выше роста наблюдателя ЕD, во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расстояния СD от зеркала до наблюдателя. Способ основан на законе отражения света. Вершина А отражается в точке А1 так, что АВ=А1В. (рис. 10). Из подобия же треугольников ВСА1 и СЕD следует, что А1В: УВ=ВС:СD. В этой пропорции остается лишь заметитьА1В равным ему АВ, чтобы обосновать указанное в задаче соотношение.(2) 13 Рис. 11 1.6.8 По способу Жюля Верна. Этот способ описан в книге у Жюля Верна в известном романе «Таинственный остром». Там инженер и Герберт измеряют высоту площадки дальнего вида. Я же расскажу этот способ на примере измерения дерева. Здесь нужен шест, который придется воткнуть в землю отвесно так, чтобы выступающая часть как раз ровнялась росту человека. Место для шеста надо выбирать так, чтобы лежа, (как показано на рис.12). (2) Рис. 12 было видно верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. прямоугольных Получим два треугольника. Катетами первого будет являться шест и расстояние от шеста до головы человека лежащего на земле. Катетами второго треугольника будут являться: расстояние от головы человека до дерева и та высота дерева, которую нам нужно определить. Мы можем определить расстояние от головы до шеста и от головы до дерева, так же нам 14 известна высота шеста, следовательно, мы можем составить пропорцию и найти искомую высоту.(2) 1.7 Измерение недоступного расстояния Так же при помощи подобия можно измерить расстояния от точки до недоступной точки, например находящейся на другом берегу реки. 1.7.1 1способ С помощью подобия можно измерять и расстояния, которые невозможно измерить. Например, ширину реки. АВ это ширина реки. Находим точку С на продолжении АВ с помощью прибора (рис. 2). Держим этот прибор так чтобы смотря вдоль двух булавок, вы видели, как обе они покрывают точки В и А. затем намечается прямая СD под прямым углом к СА, с Рис. 13 помощью этого же прибора. На прямой СD отмечают точки Е и F, так чтобы СЕ было в несколько раз больше ЕF. Затем в точке М с булавочным прибором намечают направление FG, перпендикулярное к FС. Теперь идя по прямой FG, отыскивают на этой прямой такую точку Н, из которой веха Е кажется покрывающей точку А. Получилось, что FН во столько раз меньше АС во сколько FЕ меньше ЕС.(2) 15 1.7.2 2 способ. Рис. 14 Пусть в реке есть остров и на нем дерево это точка С. Нужно узнать на каком расстоянии оно находится Для выполнения данной работы потребуется астролябия (прибор для измерения углов на местности рис.15), рулетка и вехи. Вехи устанавливают в точки А и В и с помощью астролябии измеряют угол 1 и угол 2. Рулеткой измеряют расстояние от точки А до В. На плоскости строят треугольник А1В1С1 с углами равными углу 1 и углу 2, этот треугольник будет подобный треугольнику АВС по первому признаку подобия (по двум углам), следовательно можно найти сходственные стороны треугольников на плоскости – измерением, а на местности вычислением. 1.7.3 3способ. Необходимо измерить на местности расстояние между двумя объектами, разделенными зданием или другим препятствием, не 16 Рис.15 позволяющим непосредственно проложить прямую между этими объектами. Пуст А и В это объекты между которыми надо найти расстояние (рис. 16) Выберем точку С из которой видны обе точки А и В. На продолжении отрезка АС за точку С отметим точку D на расстоянии предположим в два раза меньше чем АС. Аналогично на продолжении отрезка ВС за точку С отметим точку Е расстояния от точки С до которой в два раза меньше расстояния ВС. Тогда треугольники подобны по второму признаку( по двум сходственным сторонам и углу между ними). Если коэффициент подобия равен 2, то АВ больше ЕD в два раза. С помощью подобия треугольников можно измерять не только высоту и расстояния, но и даже глубину водоема.(3) 1.8 Измерения глубины 1.8.1 Задача древних индусов Над озером тихим, С полфута размером, высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет Воле цветка над водой, Нашел же рыбак его ранней весной Рис. 17 В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока? 17 Обозначим искомую глубину СD через х. Тогда по теореме Пифагора легко найти искомую глубину.(4) 1.9 На какой высоте находится шпиль Так же, с помощью подобия, можно узнать на какой высоте находится шпиль, расположенный на здании, внутри и вблизи которого измерения затруднительны. Необходимо установить вертикальный шест на некотором расстоянии от здания, и станем в точу из которой верхушка шпиля зрительно совмещается с верхним концом шеста. Затем пройдя некоторое расстояние в направлении от здания по прямой, на которой лежит первая точка и проекция А шпиля на горизонтальную плоскость, еще раз проделайте такую же операцию. Пусть высота шеста над уровнем глаза ровна а, расстояние от глаза до шеста в первом положении оказалось равно b, а во втором с. Тогда, измерив расстояние у между точками В и С, в которых мы стояли в первом и во втором случаях, можно сосчитать высоту х шпиля над уровнем глаза. В самом деле обозначим через z расстояние между точками А и В. Из подобия соответствующих треугольников имеем х 𝒂 𝒙 𝒂 = = 𝒛 𝒃 𝒛+𝒚 𝒄 Откуда bx = az, c = az + ay и cx – bx = ay, т. е. 18 𝒙=𝒚 𝒂 𝒄−𝒃 Коэффициент при у в последнем равенстве можно сделать равным 1, если в первом положении шеста добиться равенства a-b, а во втором – равенства c=2a.(4) 19 2 Практическая часть 2.1 Измерение десяти этажного дома различными способами 2.1.1 с помощью прямоугольного равнобедренного треугольника Я взяла прибор, который сама изготовила (рис. 2). Нашла то место, в котором верхушка С дома являлась продолжением гипотенузы ЕF треугольника EFD. Так как угол Е=45о то треугольник EFD равнобедренный, а значит треугольник ЕСВ тоже равнобедренный. Я измерила расстояние ЕВ, оно получилось равно 145 шагов, это 3770см и прибавила к нему ОВ=100см. Высота дома получилась равна 3870см=38.7 м 2.1.2 Потом высотометром я измеряла высотометром (рис.7). Я встала от него на расстоянии 193 шагов, что равно 5174см. 20 Веревочка с грузиком показывала на 12см, а сторона дощечки равна 16 см Дл измерения высоты дома измерили: Расстояние от меня до дома – 5018см Ширину дощечки – 16см Показания прибора – 12см Уровень глаз над землей – 100см Чтобы найти высоту показания прибора высоту дома без высоты уровня глаз дома расстояние от меня до дома ширину дощечки = + уровень глаз над землей 5018 высота дома без уровня глаз = 16 12 Высота дома без уровня глаз = 5174 * 12 : 16 = 3764см=37.64м Высота дома = 3764см = 100см = 3864см = 38.64м 2.1.3 Способ с помощью зеркала Расстояние от зеркала до меня СD=26*5=130см, а расстояние от меня до дома – СВ=26*120=3120м мой рост равен 158см. можно. 21 Для измерения высоты дома измеряла: Расстояние от меня до зеркала – 130см Расстояние от зеркала до дома – 3120см Мой рост – 158см Чтобы найти высоту дома расстояние от меня до зеркала расстояние от зеркала до дома = Высота дома = = мой рост 130 высота дома 3250 = 158 высота дома расстояние от зеркала до дома∗ мой рост расстояние от меня до зеркала Высота дома = 3250 * 158 : 130 = 3950см = 39.50м 2.1.4 Измерение на расстоянии Я решила измерить дом способом номер 4. Поэтому подошла к стороны где нему с нельзя другой было подойти в плотную к нему, из за сугробов и измерила с помощью прибора (рис. 5). Расстояние от точки А до точки А1 получилось равным 3856см., 3856см=38.56м. 2.1.5 Способ с тенью 22 значит высота дома равна Мой рост 158см а моя тень была равна 12 шагам – 312см. Примерно в два раза больше меня. Значит тень дома тоже в два раза больше него. Его тень получилась равна 297 шагов значит 7722см. разделила на два и получилось 3861см. значит высота дома равна 3861см=38.61м. 2.1.6 При помощи записной книжки Ширина записной книжки равна 10см, длинна карандаша, выступающего вверх равна 12см, а расстояние от меня до дома равно 120 шага значит 3120см. Для измерения высоты дома я измерила: Ширину записной книжки – 10см Карандаш – 12см Расстояние от меня до дома – 3120см Уровень глаза над землей – 100м Высота дома без уровня глаза над землей = = расстояние от меня до дома ширина записной книжки 3120 10 = = высота дома без уровня глаза над землей высоту карандаша высота дома без уровня глаз над землей 12 Высота без уровня глаза над землей = 3120 * 12 :10=3744см Высота дома = 3744см + 100см =3844см=38.44м 23 Высота дома: способ результат Погрешность Относительно среднего арифметического При помощи 3881см=38.81м - 4см= - 0.04м При помощи зеркала: 3950см=39.50м - 73см= - 0.7м Равнобедренный 3870см=38.7 м + 7см= +0.07м 3844см=38.44м + 33см= +0.3м С тенью: 3861см=38.61м + 16см = +0.2м На расстоянии: 3856см=38.56м +21см=+0.2м Средние 3877 арифметическое см=38.77м высотометра: прямоугольный треугольник: При помощи записной книжки. 40.00 При помощи высотометра: 39.50 При помощи зеркала: 39.00 Равнобедренный треугольник: 38.50 При помощи записной книжки. 38.00 С тенью: 37.50 На расстоянии: способ измерения 24 2.2 измерение дерева различными способами Дальше по дороге в школу мне встретилось высокое дерево я провела его измерения. 2.2.1 с помощью записной книжки Я достала записную книжку выдвинула карандаш с вершиной Е и встала на то места чтобы глядя из точки О на вершину Е я видела вершину В дерева на одной линии с Е и О Получились подобные треугольники ВОС и ЕОF. Высоту дерева можем узнать из пропорции: BC:ЕF=ОC:FО. ЕF=12см. FО=10см., ОС равно 24 шагов значит 624см. Для измерения высоты дерева я измерила: Ширину записной книжки – 10см Карандаш – 12см Расстояние от меня до дерева – 624см Уровень глаза над землей – 100м ширина книжки расстояние от меня до дерева 10 624 = = высота карандаша высота дерева без уровня глаза над землей 12 высота дерева без уровня глаза над землей Высота дерева без уровня глаза над землей = 624 * 12 : 10 = 748.8см Высота дерева = 748.8см +100см = 848.8см = 8.49м 25 2.2.2 При помощи высотометра Расстояния на котором я находилась от дерева было равно 32 шагам значит 832см. направив высотометр на вершину дерева веревочка остановилась на 15см, а край дощечки равен 16. Для измерения высоты дерева я измерила: Расстояние от меня до дерева – 832см Ширину дощечки – 16см Показания прибора – 15см Уровень глаз над землей – 100см расстояние от меня до дерева ширина дошечки 832 16 = = высота дерева без уровня глаз над землей длинну карандаша высота дерева без уровня глаза над землей 15 высота дерева без уровня глаз над землей=832*15:16 = 780см Высота дерева равна 780см + 100см = 880см = 8.8м 2.2.3 При помощи зеркала Я наша точку в которую, положив зеркало я видела вершину дерева. Расстояние от меня до зеркала было равно 7 шагам, значит 182см, а расстояние от зеркала до дерева было равно 37 шагам, значит 962см, мой рост равен 158см. Для измерения высоты дерева я измерила: Расстояние от меня до зеркала – 182см Расстояние от зеркала до дерева – 962см Мой рост – 158см расстояние от меня до зеркала расстояние от зеркала до дерева = мой рост высота дерева 26 182 962 = 158 высота дерева Высота дерева = 962 *158 : 182 = 835см = 8.35м Высота дерева = 835см = 8.35м 27 2.2.4 С помощью тени Мой рост 158см, моя тень получилась 312см. примерно в два раза больше, значит и тень дерева в два раза больше его натуральной величины. Тень дерева получилась 65 шагов, значит 1690см. разделим на два и получим 845см. Высота дерева равна 845см = 8.45м. 2.2.5 С помощью прямоугольного равнобедренного треугольника. Я отошла треугольника на расстояние, проходило через чтобы продолжение верхушку дерева. гипотенузы Расстояние получилось равно 29 шагов, значит 754см. Высота дерева равна 754см плюс 100см (уровень глаза над землей), равно 854см = 8.54м. 2.2.6 измерение на расстоянии Так же я использовала и способ номер 4, представив, что не могу подойти к дереву. Я нашла две точки А и А1. Расстояние между ними было равно 33 шага, значит 858см. Высота ровна 858см = 8.58м. 28 Высота дерева: способ результат Погрешность Относительно среднего арифметического При помощи 880см.=8.8м - 26см= -0.3м При помощи зеркала: 835см=8.35м +19= +0.2 Равнобедренный 854см=8.54м 0 849 +5см= +0.05м высотометра: прямоугольный треугольник: При помощи записной книжки. см=8.49м С тенью: 845см=8.45м +9см = +0.09м На расстоянии: 858см=8.58м -4см= -0.04м Среднее арифметическое 854см=8.54м 8.9 8.8 При помощи высотометра: 8.7 При помощи зеркала: 8.6 Равнобедренный треугольник: 8.5 8.4 При помощи записной книжки. 8.3 С тенью: 8.2 На расстоянии: 8.1 способы измерения 29 Среднее арифметическое 2.2 измерение магазина различными способами 2.2.1 измерение на расстоянии На пути магазин «Айкай». Его я измерила 4 способом. Взяла прибор который сделала сама (рис. 5). Встала сначала в точку А так чтоб глядя в точку Е Видеть точку О прибора и точку В вершину магазина на одной линии. Затем моя подруга с таким же прибором встала в точку А1 так чтобы глядя в точку Е1 видеть точку М1 прибора и точку В вершину магазина на одной линии. (рис. 15). Расстояние АА1 у меня получилось равным 32 шагам, значит 832см. следовательно высота магазина равна 832см = 8.32м 2.3.2 с помощью прямоугольного равнобедренного треугольника Так же как и в предыдущих случаях с деревом и домом, я встала в ту точку чтобы гипотенуза проходила через вершину магазина, а затем измерила расстояние от себя до здания, которое получилось равным 28 шагам, значит 728см плюс 100см (уровень глаз над землей). Высота магазина получилась равна 828см = 8.28м. 30 2.3.3 С помощью зеркала Нашла точку в которую положив зеркало я видела вершину магазина. Расстояние от меня до зеркала получилось равным 7 шагам, значит 182см, расстояния от зеркала до магазина равно 38 шагов, значит 988см, а мой рост равен 158см. Для измерения высоты магазина я измерила: Расстояние от меня до зеркала – 182см Расстояние от зеркала до магазина – 988см Мой рост – 158см расстояние от меня до зеркала расстояние от зеркала до магазина 182 988 = = мой рост высота дерева 158 высота дерева Высота магазина = 988 * 158 : 182 = 858см = 8.58м. равна 858см=8.58м. 2.3.4 высотометром Расстояние, на котором я находилась от магазина, было равно 19 шагам, значит 494см. я совместила верхние углы с вершиной магазина так, чтобы все они лежали на одной прямой. Ниточка с грузиком показывала на 24см, а сторона дощечки равна 16см. Для измерения высоты магазина я измерила: Расстояние от меня до магазина – 494см Ширину дощечки – 16см Показания прибора – 24см Уровень глаз над землей – 100см ширена дощечки расстояние от меня до магазина = показания прибора высота магазина без высоты уровня глаза над землей 31 16 494 = 24 высота магазина без высоты уровня глаза над землей высота магазина без высоты уровня глаза над землей= 494 * 24 : 16 = 741см. высота магазина = 741см + 100см = 841см = 8.41м. 2.3.5 При помощи тени В этот раз моя тень оказалась в два раза меньше меня. Значит и тень магазина в два раза меньше него. Тень ровна 16 шагам, значит 416см. высота магазина ровна 832см = 8.32м. 2.3.6 при помощи записной книжки Ширина книжки ровна 10см, а выступающая часть карандаша ровна 12см. расстояния на которое я отошла чтобы совместить угол книжки, верхушку карандаша и верхушку магазина ровно 23шагов, значит 598см. Для измерения высоты магазина я измерила: Ширину записной книжки – 10см Карандаш – 12см Расстояние от меня до магазина – 598см Уровень глаза над землей – 100м ширина записной книжки расстояние от меня до магазина 10 598 = = длинна карандаша высота магазина без высоты уровня глаз над землей 12 высота магазина без высоты уровня глаз над землей высота магазина без высоты уровня глаз над землей =598*12:10=717см. Высота магазина = 717см + 100см = 817см=8.17м. 32 Высота магазина способы результаты Погрешность Относительно среднего арифметического При помощи 841см=8.41м -6см= -0.06м При помощи зеркала: 858см=8.58м -23см= -0.2м Равнобедренный 828см=8.28м +7см= +0.07м 817см=8.17м +18см= +0.2м С тенью: 832см=8.32м +3см= +0.03м На расстоянии: 832см=8.32м +3см= +0.03м Среднее арифметическое 835см=8.35м высотометра: прямоугольный треугольник: При помощи записной книжки. 8.7 8.6 8.5 При помощи высотометра: 8.4 При помощи зеркала: Равнобедренный треугольник: 8.3 При помощи записной книжки. 8.2 С тенью: На расстоянии: 8.1 Среднее арифметическое 8 7.9 способы 33 2.3 измерение школы различными способами Больше всех мне хотелось узнать какой же высоты наша школа. 2.3.1 С помощью зеркала Я взяла зеркала и положила его в точку D так чтоб встав в точку С видеть в зеркале вершину А школы.( Рис.16). С СD =144см, ВD=1300см, а мой рост равен 158см. Для измерения высоты школы я измерила: Расстояние от меня до зеркала – 144см Расстояние от зеркала до школы – 1300см Мой рост – 158см расстояние от меня до зеркала расстояние от зеркала до школы 144 1300 = = мой рост высота школы 158 высота школы Высота школы = расстояние от зеркала до школы∗мой рост расстояние от меня до зеркала Высота школы = 1300 * 158 : 144 = 1426см. Значит высота школы равна 1426см = 14.26м. 34 2.4.2 С помощью тени Моя тень была в 2.5 раза выше меня, значит и тень школы во столько же раз выше ее. Тень школы ровна 141 шагу, значит 3666см. школа ровна 1466.4см=14.66м. 2.3.2 Измерение на расстоянии Используя прибор (рис. 5). Я нашла две точки А и А1. Расстояние между которыми равно 56 шагов, значит 1456см. следовательно, высота школы ровна 1456см = 14.56см. 2.3.3 С помощью высотометра Расстояние, на которое я отошла от школы равно 38 шагов, значит 988см. ниточка с грузиком оказалась на делении 22см. сторона дощечки равна 16см. Для измерения высоты школы я измерила: Расстояние от меня до школы – 988см Ширину дощечки – 16см Показания прибора – 22см Уровень глаз над землей – 100см ширина дощечки расстояние от меня до школы = показание прибора высоту школы без высоты глаза над землей высоту школы без высоты глаза над землей = = расстояние от меня до школы∗показания прибора ширину дощечки 16 22 = 988 высоту школы без высоты глаза над землей высоту школы без высоты глаза над землей =988 * 22 : 16 = 1358.5см Высота школы = 1358.5см + 100см = 1458.5см = 14.58м. 35 2.3.4 С помощью прямоугольный равнобедренного треугольника Я нашла точку стоя в которой продолжение гипотенузы проходит через вершину школы. Измерила расстояние от меня до школы, оно получилось равно 51шагу, значит 1326см. Высота школы равна 1326см плюс 100см(уровень глаз над землей) равно 1426см = 14.26см. 2.3.5 При помощи записной книжки Я отошла на расстояние 44 шагов, значит 1144см. ширина книжки ровна 10см, а длинна карандаша 12см. Для измерения высоты школы я измерила: Ширину записной книжки – 10см Карандаш – 12см Расстояние от меня до школы – 598см Уровень глаза над землей – 100м ширина записной книжки расстояние от меня до школы = длинна карандаша высоту школы без высоты глаза над землей 10 12 = 1144 высоту школы без высоты глаза над землей высоту школы без высоты глаза над землей =1144 * 12 :10 = 1372.8см. .Высота школы = 1372.8см + 100см = 1472.8см = 14.73м. 36 Высота школы: способы результаты Погрешность Относительно среднего арифметического При помощи 1459см=14.59м -8см= -0.08м помощи 1426см=14.26м +25см= +0.3м 1426см=14.26м +25см= +0.3м 1473см=14.73м -22см= -0.2м С тенью: 1466см=14.66м -15см= -0.2м На расстоянии: 1456см=14.56см -5см= -0.05м Среднее 1451см=14.5м высотометра: При зеркала: Равнобедренный прямоугольный треугольник: При помощи записной книжки. Арифметическое 14.8 14.7 14.6 При помощи высотометра: 14.5 При помощи зеркала: 14.4 Равнобедренный треугольник: 14.3 При помощи записной книжки. 14.2 С тенью: 14.1 На расстоянии: 14 способы Вывод: по техническому паспорту школы, высота школы равна 14.2 м. По моим расчетам более точные измерения получились при помощи 37 зеркала и равнобедренного треугольника. А среднее арифметическое всех вычислений близко к данным технического паспорта. 2.4 Частный дом 2.4.1 Измерение на расстоянии Используя прибор(рис. 5). Я нашла две точки А и А1. Расстояние между которыми равно 26 шагов, значит 676см. следовательно высота школы ровна 676см = 6.76см. 2.4.2 При помощи зеркала Я взяла зеркало положила его на землю так чтобы видеть вершину дома. Расстояние от меня до зеркала получилось равно 5 шагов, значит 130см, а расстояние от зеркала до дома равно 22шага, значит 572см, мой рост равен 158см. Для измерения высоты частного дома я измерила: Расстояние от меня до зеркала – 130см Расстояние от зеркала до частного дома – 572см Мой рост – 158см расстояние от меня до зеркала мой рост = расстояние от зеркала до частного дома высота частного дома 130 572 = 158 высота частного дома Высота частного дома = 572 * 158 : 130 = 695см = 6.95м. 38 2.4.3 С помощью тени Моя тень в 1.8 раза больше меня, значит и тень дома тоже в 1.8 раза больше него. Его тень равна 47 шагам, значит 1222см. Разделим на 1.8 и получим 678.8см = 6.79м. это и есть высота дома. 2.4.4 Высотометром Я отошла на расстояние 21 шага значит на 546см. совместила верхние углы высотомера с вершиной дома и получила показание на шкале 17 см, а край высотомера равен 16см. Для измерения высоты частного дома я измерила: Для измерения высоты магазина я измерила: Расстояние от меня до частного дома – 546см Ширину дощечки – 16см Показания прибора – 17см Уровень глаз над землей – 100см ширина дощечки расстояние от мени до частного дома 16 546 = = показания прибора высота частного дома без высоты уровня глаз 17 высота частного дома без высоты уровня глаз высота частного дома без высоты уровня глаз =546*17:16=682.5см=580см Высота дома ровна 580см плюс 100см(уровень глаза над землей) равно 680см= 6.8м. 2.5.5 При помощи записной книжки Ширина записной книжки равна 10см, а карандаш торчащий сверху 12см, я отошла на расстояние 19 шагов , значит 494см. 39 Для измерения высоты частного дома я измерила: Ширину записной книжки – 10см Карандаш – 12см Расстояние от меня до частного дома – 494см Уровень глаза над землей – 100м ширина записной книжки расстояние от меня до частного дома = длинна карандаша высота частного дома без высоты уровня глаз над землей 10 494 = 12 высота частного дома без высоты уровня глаз над землей высота частного дома без высоты уровня глаз над землей= =494*12:10=592см Высота дома = 592см + 100см = 692см = 6.92м 2.4.5 при помощи прямоугольного равнобедренного треугольника Расстояние на которое мне пришлось отойти от дома чтобы продолжение гипотенузы проходило через вершину дома равнялось 22 шагам, значит 572см. Высота дома равна 572см плюс 100см (высота глаза над землей) равно 672см= 6.72м 40 Высота частного дома: способы результаты Погрешность Относительно среднего арифметического При помощи 680см=6.8м +2см= +0.02м При помощи зеркала: 695см=6.95м -13см= -0.2м Равнобедренный 672см=6.72м +10см= +0.1м 692см=6.92м -10см= -0.1м С тенью: 679см=6.79м +3см= +0.03м На расстоянии: 676см=6.76см +6см= +0.06м Среднее 682см=6.82м высотометра: прямоугольный треугольник: При помощи записной книжки. арифметическое 7 При помощи высотометра: 6.95 6.9 При помощи зеркала: 6.85 Равнобедренный треугольник: 6.8 6.75 При помощи записной книжки. 6.7 С тенью: 6.65 6.6 На расстоянии: способы 41 Итоговая таблица Дом 10 этажей школа Магазин «айкай» дерево Частный дом высотометр 3881см= =38.81м 1459см= =14.59м 841см= =8.41м 880см.=8.8м 680см=6.8м Равнобедренн ый треугольник 3950см= =39.50м 1426см= =14.26м 858см= =8.58м 835см=8.35м 695см=6.95м При помощи зеркала 3870см= =38.7 м 1426см= =14.26м 828см= =8.28м 854см=8.54м 672см=6.72м Две палочки перпендикуля рные друг к другу 3844см= =38.44м 1473см= =14.73м 817см= =8.17м 849см=8.49м 692см=6.92м тень 3861см= =38.61м 832см= =8.32м 845см=8.45м 679см=6.79м Записная книжка 3856см= =38.56м 832см= =8.32м 858см=8.58м 676см=6.76м Среднее арифметическ ое 3877см= =38.77м 1466см= =14.66м . 1456см= =14.56с м 1451см= =14.5м 835см= =8.35м 854см=8.54м 682см=6.82м 2.6 Путь от дома до школы Последним моим измерением был путь от дома до школы. Его я измерила в три этапа (рис. 18): 1) От дома до центра детского творчества 2) От центра детского творчества до айкая 3) От айкая до школы 2.6.1 Первый этап Поставили два колышка: один около моего подъезда, а другой около ЦДТ. Прошла вдоль дома, который мешает провести прямую между этими точками. Встала в то место, где были видны оба этих колышка, и поставила там веху. Затем после точки пересечения – вехи я отложила расстояния в четыре раза меньше чем от вехи до дт, и от вехи до моего подъезда. Зрительно соединила эти две точки и получила прямую равную 197 шагов, значит 5122см,в четыре раза меньше моего расстояния. Значит расстояние равно 5122*4=20488см=204.88м. 2.6.2 Второй этап На этом этапе прямую между магазином и ЦДТ мешает провести куча деревьев. Я так же поставила два колышка: один у ЦДТ, а другой у магазина. Прошла в ту точку, чтобы было видно оба голышка. Поставила там веху. Затем отложила на обеих прямых, как и в первом этапе расстояния в четыре раза меньше. Соединила получившиеся точки и измерила расстояния между ними. Оно получилось равным 130 шагам, значит 2678см. Значит искомое расстояние равно 2678*4= 10712см=107.12м. 2.6.3 Третий этап На этом этапе я проделала те же действия что и на двух предыдущих и получила длину пути равную 13505см=135.05м Весь пут = 20488см + 10712см + 13505см = 44705см=447.05м 44 2.7 Способ с монетой Читая литературу, я познакомилась вот с такой задачей: Дерево высотой 15 м закрывается монетой диаметром 2 см, если ее держать на расстоянии 70 см от глаз. Найдите расстояние от дерева до наблюдателя. Решить ее довольно просто. 𝐾𝐾//𝐾𝐾 } => ﮮНРК = ﮮНАВ 𝐾𝐾 − секущая КР//АВ } => ﮮНМК = ﮮНОВ КВ − секущая ∆НАВ и ∆НРК ﮮНРК = ﮮНАВ => ﮮНМК = ﮮНОВ ∆НАВ подобен ∆НРК 45 КР : АВ = НМ : НО 2см : 1500см = 70см : НО 1500∗70 НО= 2 = 52500см = 525м Ответ: 525м. Меня эта задача очень заинтересовала. Я решила попробовать измерить с помощью монеты высоту своего дома. Т Если встать в то место когда монетка будет закрывать высоту дома, и смотреть через середину ее диаметра. Треугольник МНЕ подобен треугольнику МВА по двум углам. Высота моего роста ровна 158см А длина от меня до дома 7280см Получим прямоугольный треугольник ТМА. И с помощью теоремы Пифагора найдем гипотенузу. Гипотенуза, получилась, равна 72.82м. Тогда можно узнать отношение треугольников МСЕ и МОА. МС=5см , СЕ=1.4см по теореме Пифагора МЕ=5.2см МЕ : МА = СЕ : ОА ОА = МА * СЕ : МЕ 46 ОА = 1960.5см = 19.61м Так как ОА = ОВ то АВ = 2ОА АВ = 39.22см Этот способ еще нужно проверить и доработать, но с помощью него так же можно выяснить высоту дома. 47 Выводы: Подобие треугольников в жизни незаменимо. Подобие применяется от школьной тетради вплоть до вселенной. Я узнала много нового об этом свойстве треугольников и применила его на местности. Знания, полученные в ходе исследовательской работы, останутся в моей памяти надолго. Я исследовала различные способы измерения на местности и применила их на практике. Также изготовила приборы для этих измерений. Определив погрешность моих измерений, я поняла, что измерения неточные, но возможно это зависит от погодных условий, так как измерения проводятся на ровной поверхности, но на улице много сугробов и поэтому ровной поверхности достичь не удалось. 48 Список литературы: 1) Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняков, И. И. Юдина. Геометрия. М. Просвещение. 2005г. 138с. 2) Я. И. Перельман. Занимательная геометрия. Домодедово. 1994г. 11-27с. 3) . И Баврин. Большой справочник школьника. Математика. М. дрофа. 2006г. 435с. 4) http://festival.1september.ru/articles/418615/ 49
