Линейная алгебра.

Линейная алгебра.
1. Приведите определение матрицы. Перечислите и объясните основные виды матриц.
2. Перечислите линейные операции над матрицами. Запишите свойства линейных
операций.
3. Перечислите нелинейные операции над матрицами. Запишите их свойства.
4. Объясните, что такое минор, дополнительный минор, алгебраическое дополнение.
5. Сформулируйте теорему Лапласа и следствие из неё.
6. Приведите определение обратной матрицы. Сформулируйте теорему об обратной
матрице.
7. Объясните, что такое ранг матрицы, базисный минор, базисные строки и столбцы.
8. Перечислите элементарные преобразования матрицы. Объясните, что такое
эквивалентные матрицы.
9. Приведите определения совместной системы линейных уравнений, несовместной,
определённой, неопределённой.
10. Сформулируйте критерий существования и критерий единственности решения систем
линейных уравнений.
11. Объясните, в чём заключается матричный метод решения систем линейных уравнений.
12. Сформулируйте теорему Крамера.
13. Перечислите элементарные преобразования системы линейных уравнений. Объясните,
что такое эквивалентные системы.
14. Приведите общий вид системы линейных однородных уравнений. Сформулируйте
теорему существования фундаментальной системы решений.
Векторная алгебра
1. Приведите определения вектора, ортогональных векторов, коллинеарных,
компланарных.
2. Перечислите все линейные операции над векторами. Приведите их свойства.
3. Приведите определения линейно зависимых и линейно независимых векторов.
4. Сформулируйте и докажите критерий линейной зависимости системы векторов.
5. Сформулируйте и докажите критерии линейной зависимости двух векторов и трёх
векторов.
6. Приведите определение базиса системы векторов. Сформулируйте теорему о базисе.
7. Приведите определение декартовой системы координат и декартовой прямоугольной
системы координат. Объясните, что такое координаты точки.
8. Приведите и докажите формулу для нахождения длины вектора через его координаты.
9. Объясните, что такое направляющие косинусы, орт вектора. Приведите и докажите
свойство направляющих косинусов.
10. Покажите, как производятся линейные операции над векторами, заданными
координатами. Докажите эти формулы.
11. Сформулируйте и докажите критерий коллинеарности векторов, заданных
координатами.
12. Покажите, как находятся координаты вектора, если известны координаты его начала и
конца. Докажите эту формулу.
13. Приведите определение скалярного произведения векторов. Перечислите его свойства.
14. Сформулируйте и докажите критерий ортогональности двух ненулевых векторов.
15. Покажите, как находится скалярное произведение, если известны координаты векторов.
Докажите эту формулу.
16. Приведите определение векторного произведения векторов. Перечислите его свойства.
17. Сформулируйте и докажите критерий коллинеарности векторов через векторное
произведение.
18. Покажите, как находится векторное произведение, если известны координаты векторов.
Докажите эту формулу.
19. Сформулируйте и докажите утверждение о геометрическом смысле векторного
произведения.
20. Приведите определение смешанного произведения векторов. Перечислите его свойства.
21. Сформулируйте и докажите утверждение о геометрическом смысле смешанного
произведения.
22. Сформулируйте критерии компланарности векторов через линейную комбинацию
векторов и через смешанное произведение.
23. Покажите, как находится смешанное произведение, если известны координаты векторов.
Докажите эту формулу.
Аналитическая геометрия
1. Получите уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку
перпендикулярно заданному вектору.
2. Получите уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку
параллельно заданному вектору.
3. Получите уравнение прямой с угловым коэффициентом.
4. Приведите общее уравнение прямой на плоскости, каноническое уравнение, уравнение в
отрезках и уравнение с угловым коэффициентом. Объясните смысл входящих в эти
уравнения числовых коэффициентов.
5. Покажите, как определить взаимное расположение прямых на плоскости, если они
заданы уравнениями: 1) в общем виде; 2) в каноническом виде; 3) с угловым
коэффициентом.
6. Получите формулу для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости.
7. Получите уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно
заданному вектору.
8. Проведите исследование общего уравнения плоскости в случае, когда один из числовых
коэффициентов равен нулю.
9. Проведите исследование общего уравнения плоскости в случае, когда два из числовых
коэффициентов равны нулю.
10. Получите формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
11. Получите уравнения прямой в пространстве, проходящей через заданную точку
параллельно заданному вектору.
12. Приведите общие уравнения прямой в пространстве и канонические. Покажите, как
можно перейти от общих уравнений к каноническим.
13. Покажите, как определить взаимное расположение прямых в пространстве.
14. Покажите, как определить взаимное расположение прямой и плоскости.
15. Получите формулу для нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве.
16. Получите формулу для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми.
17. Приведите определения эллипса, гиперболы, параболы, а также их канонические
уравнения.
18. Получите каноническое уравнение эллипса.
19. Получите каноническое уравнение гиперболы.
20. Получите каноническое уравнение параболы.
21. Перечислите невырожденные поверхности второго порядка и запишите их канонические
уравнения.