Урок 1 мнимых

Урок 1
Начальные сведения о мнимых и комплексных числах
Сделать конспект лекции с примерами в тетради.
Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для
случая D < 0 ( здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили
физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень
широко применяются в различных областях физики
и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.
Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i –
мнимая единица, т.e. i 2 = –1.
Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.
Основные договорённости:
1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a+ 0 i или a
– 0 i. Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5 .
2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что
и 0+ bi.
3. Два комплексных числа a+ bi и c+ di считаются равными, если a= c и b= d. В противном
случае комплексные числа не равны.
Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число ( a+ c ) + (
b+ d ) i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и
ординаты.
Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.
Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое)
называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i.
Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и
ординаты.
Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:
( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:
1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,
2) число i обладает основным свойством: i 2 = –1.
Пример 1
П р и м е р . ( a+ bi )( a – bi )= a 2 + b 2. Следовательно, произведение
двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному
положительному числу.
Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти
третье число e+ f i (частное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате
делимое a+ bi.
Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.
Пример 2
П р и м е р . Найти ( 8 + i ) : ( 2 – 3i ) .
Р е ш е н и е . Перепишем это отношение в виде дроби:
Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3i
и выполнив все преобразования, получим:
2) Выучить определения
3) Выполнить следующие номера из параграфа 32: № 32. 6(а,б) , 32.10, 32.19(а,б), 32.20(а,б), 32.21(а,б), 32.24
Урок 2
Геометрическое представление комплексных чисел.
1) Сделать конспект лекции с примерами в тетради.
Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:
Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные
числа изображаются точками на координатной плоскости.
Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi.
Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих
осях. Тогда комплексное число a+ bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b
(см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью.
Запись числа z = х+ уi называется алгебраической. х = Re(z) называется действительной частью числа
z, а y = Im (z) – мнимой частью.
Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором
комплексное число.
ОР , изображающим это
Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе
координат По осям нужно задать масштаб, отмечаем: ноль; единицу по действительной оси; мнимую
единицу по мнимой оси.
Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
z1 = 0 , отмечаем точку с координатой (0;0)
z2 = -3 = -3+0i, отмечаем точку с координатой (-3;0)
z3 = 2 = 2+0i, отмечаем точку с координатой (2;0)
z4 = i = 0+2i, отмечаем точку с координатой (0;2)
z5 =  3i = 0  3i , отмечаем точку с координатой (0;  3 )
z6= 4i = 0+ 4i , отмечаем точку с координатой (0;4)
z7= 2 + 3i , отмечаем точку с координатой (2;3)
z8= -4+ i = -4 +1 i , отмечаем точку с координатой (-4;1)
z9= -3-3 i , отмечаем точку с координатой (-3;-3)
z5 =
2 i =
2  1i , отмечаем точку с координатой ( 2 ; -1)
Числа
ОХ
,
,
– это комплексные числа с нулевой мнимой частью. Они лежат на оси
Числа
,
,
– это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой
действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси
.
В числах
,
,
,
и действительная и мнимая части не равны
нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято
проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиусвекторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому что они сливаются с
осями.
2) Выучить определения
3) Читаем параграф 33: выполняем № 33. 2, 33.3, 33.4, 33.9, 33.14
Урок 3
Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
1) Сделать конспект урока
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на
координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi |
или буквой |z| и равен:
z  a  bi  a 2  b 2
Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.
Записать в тетрадь пример 1 из учебника стр.256
Если точка М(х;у) принадлежит числовой окружности, то х = cos α, а у =sin α для некоторого
действительного числа α. Та же точка М(х;у) соответствует комплексному числу х+ уi.
Теорема. Если комплексное число z лежит на числовой окружности, то z = cos α + i sinα для
некоторого действительного числа α; если z= cos α + i sinα, то z лежит на числовой окружности.
Любое комплексное число (кроме нуля) z = a+ bi можно записать в тригонометрической форме:
z = |z| ∙ (cos α + i sin α), где |z| – это модуль комплексного числа, а α – аргумент комплексного
числа, α    ; . Такая форма называется стандартной тригонометрической записью.
Записать в тетрадь пример 4 из учебника стр.264
Если z = |z| ∙ (cos α + i sin α), где, то такая форма называется нестандартной. В некоторых заданиях
требуется записать число в стандартной записи. Это значит, надо заменить α на другое число из
  ;  , используя числовую окружность.
Теорема. Если z1  z1 cos  i sin   и z2  z2 cos   i sin   , то
1) z1  z2  z1  z2 cos     i sin    
2)
z
z1
 1 cos     i sin    
z2 z2
2) Выучить определения
3) Выполнить следующие номера из параграфа 34: № 34.1, 34.11, 34.14, 34.23, 34.28(а,в), 34.29(а,б), 34.30(а,б)