ЭБс.заочн. Математика КР1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ
Калининградский государственный технический университет
Балтийская государственная академия рыбопромыслового флота
Скоробогатых Е.Ю.
МАТЕМАТИКА
часть 1
Элементы математической логики
Линейная алгебра
Учебно-методическое пособие
для студентов-заочников
по направлению
«Экономическая безопасность»
Калининград
2015
Содержание
1. Общие организационно-методические указания
2. Общий перечень учебно-методической литературы
3. Содержание дисциплины
самостоятельному изучению
и
методические
указания
4. Задания контрольной работы №1
5. Рекомендации по выполнению и оформлению контрольной работы
к
1.
Общие организационно-методические указания
Учебно-методическое пособие разработано в соответствии с рабочей
программой дисциплины «Математика» на основании
Федерального
Государственного образовательного стандарта (ФГОС ВПО) третьего
поколения по направлению подготовки «Экономическая безопасность»
В соответствии с учебным планом заочной подготовки в 1семестре
изучаются следующие разделы дисциплины «Математика»: элементы
математической логики, линейная алгебра, аналитическая геометрия и их
приложения, комплексные числа. По итогам изучения дисциплины
выполняется одна контрольная работа и сдается зачет.
2. Общий перечень рекомендуемой литературы
2.1 Основная литература
1. Красс М.С., Чупырнов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.:
Питер, 2008. – 464с.
2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: ЮНИТИ,
2004. 471 с.
3. Кремер Н.Ш. Практикум по высшей математики для экономистов. М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2007. 423 с.
4. Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера
в примерах и приложениях: Учебное пособие. – М.: Университетская книга,
Логос, 2007. – 240с.
2.2. Дополнительная литература
1. Колесников А.И. Краткий курс математики для экономистов. М.:
ИНФРА – М, 1997. 208 с.
2. Ермаков В.И. Справочник по математике для экономистов. М.:
Высшая школа, 1997. 384 с.
3. Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. М.: АЙРИС,
1996. 286 с.
3. Содержание программы дисциплины «Математика» и
методические указания к самостоятельному изучению
I семестр
Тема 1. Элементы математической логики
Основные понятия логики высказываний. Основные логические
операции. Представление высказываний логическими формулами.
Эквивалентность
формул,
выполнимость.
Логически
правильные
рассуждения. Правила вывода. Предикаты и кванторы.
Литература: /4, глава 4, §4.1, 4,2; глава 5, §5.1, 5.2/
Тема 2. Матрицы и определители
Матрицы. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц.
Определители второго и третьего порядков. Основные свойства. Понятие об
определителях любого конечного порядка. Ранг матрицы. Теорема о базисном
миноре. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера.
Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Теорема КронекераКапелли. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
Литература: /3, глава 1, пункты 1-4, глава 2, пункты 1-5/.
Тема 3. Элементы матричного анализа
Векторы. Основные определения. Линейные операции над векторами:
сложение, вычитание, умножение вектора на число. Условие коллинеарности
векторов. Проекция вектора на ось. Линейная комбинация векторов. Линейно
зависимые и линейно независимые векторы. Разложение вектора по базису.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве.
Разложение вектора по координатному базису. Координаты вектора.
Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.
Координаты вектора, заданного двумя точками. Расстояние между двумя
точками. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное произведение
векторов. Линейные пространства и линейные операторы. Собственные
векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы).
Литература: /3, глава 3, пункты 1-5/.
Тема 4. Элементы аналитической геометрии на плоскости и в
пространстве
Задание множеств точек уравнениями и неравенствами. Уравнение
линии на плоскости. Прямая па плоскости. Понятие о кривых второго порядка.
Канонические уравнения эллипса, окружности, параболы, гиперболы.
Приведение кривых второго порядка к каноническому виду в простейших
случаях. Общее уравнение плоскости. Уравнения прямой в пространстве.
Понятие о задаче линейного программирования. Графический метод решения
задачи линейного программирования
Литература: /3, глава 4, пункты 1-3; 1, глава 14 §14.1/.
Тема 4. Комплексные числа
Определение и геометрическое изображение комплексного числа.
Формы записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами в
алгебраической и тригонометрической формах. Корни квадратных уравнений
с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.
Литература: /4, глава 16, пункты1-2/.
4. Задания контрольной работы №1.
Задание 1. Записать логической формулой умозаключение и уточнить
его справедливость.
1.1. Если цех II не будет участвовать в выпуске нового образца
продукции, то не будет участвовать и цех I. Если же цех II будет участвовать
в выпуске нового образца, то в этой работе непременно должны быть
задействованы цеха I и III. Следовательно, если в выпуске нового образца
будет участвовать цех I, то будет участвовать и цех III.
1.2. В бюджете возникнет дефицит, если не повысят пошлины. Если в
бюджете имеется дефицит, то государственные расходы на общественные
нужды сократятся. Значит, если повысят пошлины, то государственные
расходы на общественные нужды не сократятся.
1.3. Если подозреваемый совершил эту кражу, то либо она была
тщательно подготовлена, либо он имел соучастника. Если бы кража была
подготовлена тщательно, то, если бы был соучастник, украдено было бы
гораздо больше. Значит, подозреваемый невиновен.
1.4. Заработная плата возрастет, если только будет инфляция. Если будет
инфляция, то увеличится стоимость жизни. Заработная плата возрастет.
Следовательно, увеличится стоимость жизни.
1.5. Если исход скачек будет предрешен сговором или в игорных домах
будут орудовать шулеры, то доходы от туризма упадут. Если доходы от
туризма упадут, полиция будет довольна. Полиция никогда не бывает
довольна. Следовательно, исход скачек не предрешен сговором.
1.6. Если Пётр поедет в Екатеринбург, то Иван поедет в Киев. Пётр
поедет в Екатеринбург или в Челябинск. Если Пётр поедет в Челябинск, то
Анна останется в Москве. Но Анна не останется в Москве. Следовательно,
Иван поедет в Киев.
1.7. Если подразделение B не участвует в утверждении проекта, то в этом
утверждении не участвует и подразделение A. Если подразделение B
принимает участие в утверждении проекта, то в нем принимают участие
подразделения A и C. Следовательно, подразделение C будет принимать
участие в утверждении проекта, если в нем принимает участие подразделение
A.
1.8. Если направление ветра сохранится, начнется наводнение. Если
начнется наводнение или произойдет большой пожар, то губернатора
отстранят от должности. Следовательно, если направление ветра сохранится,
то губернатора отстранят от должности.
1.9. Если капиталовложения останутся постоянными, то возрастут
правительственные
расходы
или
возникнет
безработица.
Если
правительственные расходы не возрастут, то налоги будут снижены. Если
налоги будут снижены и капиталовложения останутся постоянными, то
безработица не возрастет. Следовательно, правительственные расходы
возрастут
1.10. Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит был
убийцей, либо Джонс лжет. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал
Смита этой ночью и убийство имело место после полуночи, то либо Смит был
убийцей, либо Джонс не лжет. Следовательно, Смит был убийцей
Задание 2. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность
и решить тремя способами:
1) по правилу Крамера;
2) методом обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
1.1
 2x  y - 3z  7

 2x  3y  z  1
3x  2y  z  6

1.2
4x  y  4z  3

 x  y  2z  4
 2x - y  2z  3

1.3
 3x - y  z  12

x  2y  4z  6
5x  y  2z  3

1.4
2x - y  3z  4

 x  3y - z  11
x - 2y  2z  7

1.5
 2x - y - z  9

 3x  4y - 2z  6
3x - 2y  4z  12

1.6
3x  2y  z  7

x  3y  2z  6
 x  2y  3z  1

1.7
 2x  y  z  4

 2x  2y - z  3
4x  4y  z  3

1.8
4x  y  2z  6

 x  3y - z  12
 2x  5y  z  3

1.9
 x - y - 3z  11

3x  2y - z  4
2x  y - 2z  7

1.10
4x  3y - 2z  12

 x - 2y  z  9
 2x - 3y - 4z  6

Задание 3. Найти собственные числа и собственные векторы
линейного оператора, заданного матрицей А.
1.1
1 2
𝐴=(
)
2 −2
1.2
2 2
𝐴=(
)
2 −1
1.3
7 2
𝐴=(
)
2 4
1.4
5 2
𝐴=(
)
2 2
1.5
−2
𝐴=(
2
1.6
6 3
𝐴=(
)
3 −2
1.7
5 3
𝐴=(
)
3 −3
1.8
8
𝐴=(
−2
1.9
−5
𝐴=(
−2
1.10
2 3
𝐴=(
)
3 −6
2
)
−5
−2
)
−8
−2
)
5
Задание 4. В таблице приведены данные по балансу между двумя
отраслями за некоторый период. Найти:
1) матрицу коэффициентов прямых затрат и проверить ее
продуктивность
2) необходимый объём валового выпуска каждой отрасли, если
конечное потребление 1-й отрасли увеличится вдвое, а второй – на 50%.
n – номер варианта.
(результаты вычислений округлять до сотых)
Отрасль
Производство 1
2
Потребление
1
x11=11
x21=21
2
x12=12
x22=22
Конечный
продукт
Валовой
продукт
y1=77+ n
y2=157+ n
x1=100+ n
x2=200+ n
Задание 5. Даны вершины треугольника АВС. Найти:
1) длину стороны ВС;
2) уравнение стороны ВС;
3) уравнение высоты, проведенной из вершины А;
4) уравнение медианы, проведенной из вершины А;
5) точку пересечения стороны ВС и высоты АD.
Сделать чертеж.
5.1
А (5; 1); В (1; -2); С (-4; 10)
5.2
А (14; 10); В (-2; -2); С (5; 22)
5.3
А (-13; 3); В (-1; -2); С (2; 2)
5.4
А (22; -6); В (-2; 1); С (-6; -2)
5.5
А (22; 4); В (-2; -3); С (-6; 0)
5.6
А (6; 0); В (2; -3); С (-3; 9)
5.7
А (15; 9); В (-1; -3); С (6; 21)
5.8
А (-8; 3); В (4; -2); С (7; 2)
5.9
А (20; -2); В (-4; 5); С (-8; 2)
5.10 А (23; 5); В (-1; -2); С (-5; 1)
Задание 6. Решить графическим методом задачу линейного
программирования.
6.1
max f ( x1 , x2 )  2 x1  x2 при ограничениях:
2 x1  4 x2  16,
 4 x  2 x  8,

1
2

 x1  3 x2  9,
 x1  0, x2  0.
6.2
max f ( x1 , x2 )  6 x1  2 x2 при ограничениях:
 x1  x2  1,

3x1  x2  6,
 x  0, x  0.
2
 1
6.3
min f ( x1 , x2 )  12 x1  4 x2 при ограничениях:

 x1  x2  2,

 x1  x2  0,

1
 x1  , x2  4.

2
6.4
min f ( x1 , x2 )  12 x1  4 x2 при ограничениях:
 x1  x2  2,

 x1  x2  0,
 x  0, x  3.
2
 1
6.5
max f ( x1 , x2 )  2 x1  3x2 при ограничениях:
3x1  2 x2  6,

3x1  x2  3,
 x  3.
 1
6.6
max f ( x1 , x2 )  3x1  8 x2 при ограничениях:
 x1  2 x2  4,

2 x1  x2  2,
 x  3.
 2
6.7
min f ( x1 , x2 )  x1  x2 при ограничениях:
3  x1  x2  7,

1  x2  4,
 x  4.
 1
6.8
max f ( x1 , x2 )  x1  3x2 при ограничениях:
 x1  x2  4,

 x1  x2  6,
 x  2.
 2
max f ( x1 , x2 )  3x1  4 x2 при ограничениях:
 x1  2 x2  6,

 x1  2 x2  0,
 x  6.
 1
6.9
6.10
min f ( x1 , x2 )  2 x1  6 x2 при ограничениях:
 x1  x2  2,

 x1  x2  1,
 x  0, x  0.
2
 1
Задание 7. Дано комплексное число
алгебраической и тригонометрической формах.
z.
Записать число
zв
7.1. z 
7.2. z 
7.3. z 
7.4. z 
7.5. z 
4
1 i 3
4
1 i 3
4
3 i
4
3i
4
3i
7.6. z 
2 2
1 i
7.7. z 
2 2
1 i
7.8. z 
2 2
i 1
2 2
1 i
1
7.10. z 
i 3
7.9. z 
5. Рекомендации по выполнению и оформлению контрольных
работ
При выполнении контрольных работ студент должен следовать
следующим рекомендациям.
1. Каждую работу необходимо выполнять в отельной тетради, на
обложке которой должны быть указаны номер контрольной работы,
фамилия и инициалы студента, полный шифр, дата отсылки работы
на проверку.
2. При решении задач необходимо указать номер задачи и ее
содержание. Решение задачи должно сопровождаться достаточно
подробными пояснениями.
3. Все вычисления должны быть приведены полностью, чертежи и
графики выполнены аккуратно.
4. Для удобства рецензирования преподавателем контрольной работы
следует на каждой странице оставлять поля.
5. После получения отрецензированной работы студент должен
исправить в ней все ошибки. Если работа не допущена к защите, то
в кратчайший срок студенту необходимо после устранения
замечаний преподавателя предоставить работу на повторное
рецензирование. Ошибки следует исправлять в той же тетради.
Перед экзаменом (зачетом) студент должен защитить контрольную
работу. Защита предполагает проверку того, что работа выполнена
студентом самостоятельно. Поэтому при защите студент должен быть
готов дать пояснения к решенным задачам или решить подобные задачи.
На экзамен (зачет) необходимо представить преподавателю все
запланированные контрольные работы.
Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который
совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.