Изучение системы гемодинамики в медицинском ВУЗе на

ИЗУЧЕНИЕ СИСТЕМЫ ГЕМОДИНАМИКИ В МЕДИЦИНСКОМ ВУЗЕ
НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Маркелова Е.П., Маркова М.П., Мухаметова Е.Л., Жумакаева К.Н.
Карагандинский государственный медицинский университет, г. Караганда, Казахстан,
janesmile11@mail.ru
Проблема исследования гемодинамики сосудистого русла возникла довольно давно. В
настоящее время разработано большое число моделей, с той или иной стороны описывающих
процессы гемодинамики организма. Эти модели отличаются друг от друга не только методами,
но и характером описания моделируемых явлений.
А. П. Фаворский в 2001 году предложил алгоритм численного решения уравнений
гемодинамики на графе сосудов, включающем основные органы кровеносной системы. В
основу математического описания движения крови в сердечно-сосудистой системе положены
законы сохранения массы и импульса. Сосуды считаются достаточно протяжёнными
относительно их поперечных размеров, что позволяет использовать для описания течения крови
квазиодномерное приближение. В итоге решения модели получается граф, содержащий 33 ребра
каждое из которых описывается собственным линейным дифференциальным уравнением. На
каждом ребре введена локальная система координат. Ось Ox направлена вдоль ребра от
вершины с меньшим номером, к вершине с большим номером.
В качестве пространственной координаты x выберем длину дуги (оси сосуда), проходящей
через центры круговых сечений сосуда. Площадь сечения S(x,t) зависит от координаты x и
времени t. Скорость движения крови направлена вдоль оси сосуда и обозначается u(x,t).
Давление в крови обозначается p(x,t). Плотность крови  постоянная (несжимаемая жидкость).
Закон сохранения массы для сосуда в квазиодномерном приближении описывается
дифференциальным уравнением:
S uS

0
t
x
(1)
Закон сохранения импульса (количества движения) приводит к дифференциальному
уравнению:
uS  2
S p
 (u S ) 
 SFT  SFTP
t
x
 x
Здесь
FT
FT  g cos , где
(2)
– плотность гравитационной силы, которая в простейшем случае равна
 - угол между осью сосуда и направлением вектора ускорения свободного
падения, величина которого равна g. Сила FTP -сила вязкого трения о стенки сосуда.
Интегральная форма закона сохранения импульса, лежащая в основе вывода на
элементарном участке сосуда x  x2  x1 имеет вид:

t
x2
x2
x2
x2
x1
x1
x1
x1
2
2
 Sudx u 2 S 2  u1 S1  p 2 S 2  p1S1   pdS   Sg cos dx   FTP Sdx
(3)
Уравнение (2.3) после преобразований с учетом уравнения (2.1) приводится к виду:
u  u 2
1 p
 ( )
 FT  FTP
t x 2
 x
(4)
Ветвление сосудов.Одним из типичных элементов сосудистой системы является
участок, в котором сходятся несколько сосудов. По некоторым из этих сосудов кровь
прибывает, а по остальным происходит ее отток из зоны ветвления. Будем считать, что
ветвление сосудов локализовано в малой пространственной области, в которой не происходит
застоя крови. Это означает, что вся кровь, поступающая в единицу времени в зону ветвления
сосудов, полностью выходит из нее за то же время. Данное условие можно записать
следующим образом:
+
−
∑𝐼𝑖=1 𝑆𝑖 𝑢𝑖 = ∑𝐼𝑖=1 𝑆𝑖 𝑢𝑖
(5)
+
где I — число сосудов, по которым кровь притекает в зону ветвления; I — число сосудов,
по которым кровь вытекает из этой зоны.
Рассмотрим уравнение движения крови (4), записанное без учета FT и FTp.
Вводя субстанциональную производную от скорости du/dt≡du/dt + иди/дх, приведем его к
виду du/dt+(1/𝜌)др/дх=0. Если предположить, что при прохождении зоны ветвления
движущаяся частица крови не меняет величины своей скорости, т.е. du/dt = 0, то это приводит к
условию равного по всей зоне ветвления давления р.
Запишем уравнение (1) с использованием субстанциональной производной от локального
импульса: d(Su)/dt+ S{d/dx)(u2/2 + p/ρ) = 0.
Если предположить, что импульс движущейся частицы крови не меняется при
прохождении зоны ветвления сосудов (d(Su)/dt = 0), то приходим к условию равного значения в
зоне ветвления комбинации и2/2+р/ρ. Таким образом, содержательными являются условия
равенства на границах сосудов, входящих в зону ветвления, либо давления р, либо величины
u2 + р/ρ.
Сопряжение сосудов с тканью. По артериальной части сосудистой системы кровь
поступает к тканям. Можно считать, что процесс прохождения крови через ткани подобен
фильтрации жидкости через пористую среду. При этом надо учитывать, что суммарное
количество крови, поступившей в ткань за фиксированное время, может отличаться от
количества крови, попавшей из ткани в вены за то же самое время.
Отмеченные закономерности могут быть описаны следующими соотношениями: u1S1 =
u2S2+ ∆Q, u2S2 = KD(p1 — р2). Здесь индексом 1 помечены давление р, скорость и крови и
площадь сечения S сосуда на входе в ткань, а индексом 2 — на выходе из ткани, KD коэффициент фильтрации крови через ткань, ∆Q— изменение потока крови за счет выделения
или поглощения крови тканью.
Сопряжение сердца с сосудами кровеносной системы. В сердечнососудистойсистеме сердце выполняет роль насоса, обеспечивающего в нормальных
условиях периодическое дозированное поступление крови в аорту и далее во всю
кровеносную систему. Анализ имеющихся экспериментальных данных позволяет считать
известной закономерность изменения во времени потока крови на стыке сердца с аортой: Su =
qA(t), где qA(t) — заданная функция.
Другой (альтернативный) вариант граничного условия на входе в аорту состоит в
задании режима изменения давления, который также может быть взят из
экспериментальных данных.
Для изучения системы кровообращения в Карагандинском государственном медицинском
университете была реализована упрощенная математическая модель, разработанная А. П.
Фаворским. В основе точное решение краевой задачи для одного сосуда. В частности модель
представляет собой граф включающий в себя 19 модельных элементов сосудов (рис. 1).
В основу математического описания модели была выбрана общая краевая задача для
линеаризованных гемодинамических уравнений:
̅ 𝒑𝒙 + 𝝆𝒄̅𝟐 𝒖𝒙 = 𝟎
𝒑𝒕 + 𝒖
𝟏
̅ 𝒖𝒙 = 𝟎, 𝟎 < 𝒙 < 𝒍, 𝒕 > 𝟎,
𝒑 +𝒖
𝝆 𝒙
𝒑(𝒙, 𝟎) = 𝝋(𝒙), 𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝝍(𝒕), 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝒍,
𝜶𝟏 𝒑(𝒐, 𝒕) + 𝜷𝟏 𝒖(𝟎, 𝒕) = 𝝁𝟏 (𝒕),
{ 𝜶𝟐 𝒑(𝒍, 𝒕) + 𝜷𝟐 𝒖(𝒍, 𝒕) = 𝝁𝟐 (𝒕), 𝒕 ≥ 𝟎.
𝒖𝒕 +
где р(x,t) иu(x,t) – отклонения давления и скорости от стационарного решения, конкретные
числовые значения коэффициентов 𝜶𝟏 =const, 𝜷𝟏 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭, 𝜶𝟐 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭, 𝜷𝟐 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭 возникают
в результате линеаризации соответствующих краевых условий.
1.
Восходящая часть Аорты.
2.
Дуга Аорты.
3.
Аорта.
4.
Артерии верхних конечностей.
5.
Аорта.
6.
Позвоночная артерия.
7.
Грудная Аорта.
8.
Грудные и плечевые артерии.
9.
Брюшная Аорта.
10.
Верхняя брыжеечная артерия.
11.
Брюшная Аорта.
12.
Почечная артерия.
13.
Брюшная Аорта.
14.
Нижняя брыжеечная артерия.
15.
Брюшная Аорта.
16.
Общая подвздошная артерия.
17.
Внешняя подвздошная артерия.
18.
Бедренная артерия
19.
Артерии малого таза.
Рис. 1. Граф сосудов
Общий вид функций p(x,t), u(x,t), которые являются решением данной системы уравнений,
для каждого модельного элемента имеет вид:
𝜌𝑐̅
2
𝑥
𝑥
(
(𝑘 𝜇 (𝑡 − 𝑛𝑡 ∗ − + ) + 𝑘2 𝑘𝑖𝑛𝑡 𝜇1 (𝑡 − (𝑛 + 1)𝑡 ∗ − + ))
2 𝛼1 𝜌𝑐̅ + 𝛽1 𝑖𝑛𝑡 1
𝜆
𝜆
2
𝑥
𝑙
𝑥
𝑙
−
(𝑘1 𝑘𝑖𝑛𝑡 𝜇2 (𝑡 − 𝑛𝑡 ∗ − + + − ) + 𝑘𝑖𝑛𝑡 𝜇2 (𝑡 − 𝑛𝑡 ∗ − + + − )) + 𝑘𝑖𝑛𝑡 𝐹 + (𝑥, 𝑡)
𝛽2 − 𝛼2 𝜌𝑐̅
𝜆
𝜆
𝜆
𝜆
− 𝑘𝑖𝑛𝑡 𝐹 − (𝑥, 𝑡),
𝟏
𝟐
𝒙
𝒙
𝒖(𝒙, 𝒕) = (
(𝒌𝒊𝒏𝒕 𝝁𝟏 (𝒕 − 𝒏𝒕∗ − + ) − 𝒌𝟐 𝒌𝒊𝒏𝒕 𝝁𝟏 (𝒕 − (𝒏 + 𝟏)𝒕∗ − + ))
𝟐 𝜶𝟏 𝝆𝒄̅ + 𝜷𝟏
𝝀
𝝀
𝟐
𝒙
𝒍
𝒙
𝒍
−
(𝒌 𝒌 𝝁 (𝒕 − 𝒏𝒕∗ − + + − ) − 𝒌𝒊𝒏𝒕 𝝁𝟐 (𝒕 − 𝒏𝒕∗ − + + − )) + 𝒌𝒊𝒏𝒕 𝑭+ (𝒙, 𝒕)
𝜷𝟐 − 𝜶𝟐 𝝆𝒄̅ 𝟏 𝒊𝒏𝒕 𝟐
𝝀
𝝀
𝝀
𝝀
− (𝒙,
+ 𝒌𝒊𝒏𝒕 𝑭
𝒕).
𝑝(𝑥, 𝑡) =
где
𝟏
𝒙
𝒙
𝝋 (−𝝀+ (𝒕 − 𝑵+ 𝒕∗ − + )) + 𝝍 (−𝝀+ (𝒕 − 𝑵+ 𝒕∗ − + )) ,
𝝆𝒄̅
𝝀
𝝀
+
𝝀
при − 𝝀+ 𝑵+ 𝒕∗ < 𝒙 − 𝝀+ 𝒕 ≤ −𝝀+ (𝑵+ − 𝟏)𝒕∗ + − 𝒍,
𝝀
𝟏
𝒙
𝒙
𝑭+ = 𝒌𝟏 ( 𝝋 (−𝝀+ (𝒕 − 𝑵+ 𝒕∗ − + )) + 𝝍 (−𝝀+ (𝒕 − 𝑵+ 𝒕∗ − + ))) +
𝝆𝒄̅
𝝀
𝝀
𝟐
𝒙
𝝁𝟏 (𝒕 − 𝑵+ 𝒕∗ − + ) ,
𝜶𝟏 𝝆𝒄̅ + 𝜷𝟏
𝝀
+
𝝀
при − 𝝀+ 𝑵+ 𝒕∗ + − 𝒍 < 𝒙 − 𝝀+ 𝒕 ≤ −𝝀+ 𝑵+ 𝒕∗ ,
𝝀
+
{
−
𝟏
𝒙
𝒙
𝝋 (−𝝀− (𝒕 − 𝑵− 𝒕∗ − − )) + 𝝍 (−𝝀− (𝒕 − 𝑵− 𝒕∗ − − )) ,
𝝆𝒄̅
𝝀
𝝀
при − 𝝀− 𝑵− 𝒕∗ ≤ 𝒙 − 𝝀− 𝒕 < −𝝀− 𝑵− 𝒕∗ + 𝒍,
𝑭− = −𝒌𝟐 (
𝟏
𝒙
𝒙
𝝋 (−𝝀+ (𝒕 − 𝑵− 𝒕∗ − − )) + 𝝍 (−𝝀+ (𝒕 − 𝑵− 𝒕∗ − − ))) +
𝝆𝒄̅
𝝀
𝝀
𝟐
𝒙
𝒍
𝝁𝟐 (𝒕 − 𝑵− 𝒕∗ − − + − ) ,
𝜶𝟏 𝝆𝒄̅ + 𝜷𝟏
𝝀
𝝀
при − 𝝀− 𝑵− 𝒕∗ + 𝒍 ≤ 𝒙 − 𝝀− 𝒕 < −𝝀− (𝑵− + 𝟏)𝒕∗ .
+
{
+
Здесь 𝑵 =
𝒍−𝒙+𝝀+ 𝒕
−𝒙+𝝀− 𝒕
𝝀+ 𝒕 ∗
𝝀− 𝒕 ∗
𝜷 −𝜶 𝝆𝒄̅
, 𝑵− =
𝜷 +𝜶 𝝆𝒄̅
𝟏
𝟏
, 𝒕 ∗ = 𝝀+ − 𝝀− ,
𝒌𝟏 = 𝜷𝟏 +𝜶𝟏 𝝆𝒄̅, 𝒌𝟐 = 𝜷𝟐 −𝜶𝟐𝝆𝒄̅, 𝒌𝒊𝒏𝒕 = 𝒌𝟏 𝒌𝟐 .
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
Задавая начальных объемных скоростей кровотока на каждом ребре, необходимо
обеспечивать выполнение закона Кирхгофа.
Данные элементы содержат константы, обозначающие длины, диаметры, объемные
скорости кровотока и другие параметры, необходимые для расчета. Эти сведения частично
содержатся в медицинской литературе, например в, и с помощью современных малоинвазивных
методов диагностики, таких как доплеровское и дуплексное сканирование, МР-ангиография,
могут быть уточнены индивидуально для каждого человека.
Реализация модели проводилась в программном пакете Matlab при использовании
библиотеки Simulink.
Рис. 2 Общая схема программы
Программа состоит из 11 блоков, которые можно разделить на 5 групп по назначению
(рис. 2).
Группа 1 рассчитывает коэффициенты необходимые для дальнейших вычислений. Группа
2 воспроизводит прямую и обратную волны, состоящие из систолической и диастолической
составляющей. Группа 3 рассчитывает функции F+ и F-. Блок 4 вычисляет значения давление в
разным моменты времени, а блок 5 – скорость крови в сосуде. Все значения подаются на
осциллограф, который в итоге выдает графики давления, потока и скорости крови (рис. 3).
Верхняя кривая – изменение давления, средняя кривая – изменение объемной скорости в сосуде,
нижняя кривая– изменение скорости крови.
Рис. 3 Изменение гемодинамики в аорте
Таким образом, программа позволяет визуализировать основные параметры системы
гемодинамики. В процессе обучения студентам предлагается проанализировать
распространенные виды сосудистых заболеваний и показать какимобразом будут изменяться
начальные условия. После подробного обсуждения полученных результатов, ребята
самостоятельно вносят изменения в программу и получают на осциллографе графики давления,
потока и скорости крови с учетом патологии. В заключение занятия перед обучающимися
ставятся следующие задачи:
1. проанализировать полученные данные из проведенных экспериментов и представить
их в виде таблицы, в которой будет отображена зависимость между видом заболевания
и изменением графиков;
2. зафиксировать изменения данных на осциллографе в зависимость от формы тяжести
заболевания.
В перспективе планируетсяусовершенствовать программу для того, чтобы начальные
условия пульсовой волны сердца позволили визуализировать систему кровообращения в целом
и просмотреть изменения основных параметров в динамике.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Список литературы:
Орлов Р.С., Ноздрачев А.Д. «Нормальная физиология». – «ГЭОТАР-Медиа», 2006.
Земляков И.Ю. «Физиологическая кибернетика». – Томск: Изд-во СибГМУ, 2007 – 120с.
Гавлюк К.В и др. «Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы»
//.Дифф. уравнения. – 1997. – 33(7). – 892-989с.
Соснин Н.В. и др. «Разностная схема решения задач гемодинамики на графе»:
Принпринт. – М.: Диалог-МГУ, 1998 – 16с.
Мухин С.И. и др. «Численное исследование свойств разностной схемы для уравнений
гемодинамики»: Принпринт. – М.: Диалог-МГУ, 1999 – 14с.
АбакумовМ.В., ТишкинВ.Ф., ФаворскийА.П. и др. «Компьютерные модели и процесс
медицины». – М.: Наука, 2001 – 302с.