Номер элемента λi, час-1 1 2 3 0,00031 4 0,00005 0,00006 5 0,00005 0,003135 Решение: 1. Интенсивность отказа i 0, 00031 0, 00005 0, 00006 0, 00005 0, 003135 0, 003605 2. Среднее время безотказной работы T0 1 ср 1 277,4час 0,003605 3. Вероятность безотказной работы T P(t ) exp( (t )dt ) 0 100 200 300 400 P(t ) exp( 0,003605dt ) exp( 0,003605dt ) exp( 0,003605dt ) exp( 0,003605dt ) 0 500 100 200 300 600 700 800 600 700 exp( 0,003605dt ) exp( 0,003605dt ) exp( 0,003605dt ) exp( 0,003605dt ) 400 500 900 1000 800 900 exp( 0,003605dt ) exp( 0,003605dt ) 10 0,6973 6,973 4. Плотность распределения времени безотказной работы f (t ) P(t ) 6,973 0,025 T0 277,4 1. Интенсивность отказа n n i i i 10 2 106 15 4 106 32 2,5 106 8 5 106 3, 077 106 час 1 10 15 32 8 2. Среднее время безотказной работы T0 1 ср 1 324992час 3,077 10 6 3. Вероятность безотказной работы в системе в течение времени 1000 P(t ) exp( (t )dt ) 0,997 100 4. Плотность распределения времени безотказной работы системы при наработке t2 1000 час f (t ) P(t ) 0,997 0,00097 t2 1000 1. Вероятность отказа детали до момента Тн: Q(t ) 1 exp( Tн ) 1 exp( 10 5 10 4 ) 0,095 2. Вероятность того, что деталь безотказно проработает в течение времени P(t ) 1 Q(t ) 0,905 3. Вероятность того, что деталь безотказно проработает в интервале времени от 103 до 104 час. 10000 P(t ) exp( (t )dt ) exp( 10 1000 5 (10000 1000)) 0,914 Решение: Вычислим интенсивность отказов по всем пяти элементам P (t ) e t 1 ; et t ln P (t ) 1 0, 010050336 P (t ) 0, 010050336 1 (t ) 0, 00010050336 100 2 (t ) 0, 00001 t ln 3 (t) 1 1 0, 0001234568 T3 8100 4 (t ) 1 1 0, 0001272265 T4 7860 5 (t ) 0, 000025 Интенсивность отказов системы: 5 (t ) i 1 2 3 4 5 0, 00010050336 0, 00001 0, 0001234568 0, 0001272265 0, 000025 i 1 5 (t ) i 1 2 3 4 5 0, 00010050336 0, 00001 0, 0001234568 0, 0001272265 0, 000025 i 1 P(t ) et t t 1 1 ln 1 P(t ) ln 1 1 1 ln 215,96 P(t ) 0, 000386187 0,92 Решение. По условию задачи отказы приборов независимы, поэтому вероятность безотказной -работы системы равна произведению вероятностей безотказной работы приборов. Тогда для случая высоконадежных систем имеем Так как вероятность безотказной работы близка к единице, то в соответствии с формулой (2.4) для Р(t) интенсивность отказов можно вычислить из выражения . Подставляя значения Р с (100) и время t =100 час, получим 1 / час. Тогда частота отказов будет 1/ час. ЗАДАЧА 1.7.Пусть время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону λ1 = 2,5·10–5 ч–1. Требуется определить вероятность безотказной работы P(t), частоту отказов f(t) и среднюю наработку на отказ tср, если t(1,3,4) = 600, 1200, 2500 ч. 1. Вычислим вероятность безотказной работы: 5 P(t ) et e2,510 P1 (t ) e2,510 5 0,985 5 1200 0,97 5 2500 0,939 P2 (t ) e2,510 P3 (t ) e2,510 600 t P(t ) P1 (t ) P2 (t ) P3 (t ) 0,985 0,97 0,939 0,897 2. Вычислим частоту отказов: f(t ) (t ) P(t ) 2,5 105 0,897 2, 4675 105 3. Средняя наработка на отказ t ср 1 1 40000час 2,5 10 5 ЗАДАЧА 1.8.Система состоит из 12 600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λср = 0,32·10–6 ч–1.Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 100 ч. (Среднее значение (λср=) для остальных вариантов вычислить из таблицы в приложении). λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λср 0,00031 0,00005 0,00006 0,00005 0,003135 721·10–6 1. Интенсивность отказов системы по формуле будет: ср n 721106 12600 9,08 час1 2. Вероятность безотказной работы P(t ) exp( t ) exp( 721 10 6 100) 0,93 ЗАДАЧА 1.9.В системе Nс = 2500 элементов, вероятность безотказной работы ее в течение одного часа Рс(1) = 98 %. Предполагается, что все элементы равнонадежны и интенсивность отказов одного элемента λ3= 8,4·10–6 ч–1. Требуется определить среднюю наработку до первого отказа системы tср.с. 1. Интенсивность отказов всех элементов: Nс i 2500 8,4 10 6 0,021 i 0 Средняя наработка до первого отказа системы 2. P exp( t ) t ln P t ln P ln 0,98 0,96час 0,021 ЗАДАЧА 1.10. Допустим, что на испытание поставлено 2000 однотипных механических изделий. За T3=4000 ч отказало 80 изделий, требуется определить вероятность безотказной работы P(t)и вероятность отказаQ(t)в течение T4=6000ч. Решение: 1. Интенсивность отказов за T3=4000 ч (t ) n(t ) 80 0, 00001 t n(t ) 4000 (2000 80) где n (t ) - число отказавших элементов за время t , n(t ) - число не отказавших элементов. 2. Вероятность отказаQ(t)в течение T4=6000ч. Q(t ) t 0, 00001 6000 0, 06 3. Вероятность безотказной работы Р(t)в течение T4=6000ч. P(t) 1 Q(t ) 1 0, 06 0,94 Ответ: P(t) 0,94; Q(t ) 0, 06 Приложение 1. вариант λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 интервал(Т2) T3 T4 3 0,00031 0,00005 0,00006 0,00005 0,003135 1100 8151 7927 № 3 Р1 0,1009 Р2 0,5066 Р3 0,3249 Р4 0,8465 Р5 0,4754