Математическая логика и теория алгоритмов

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«Математическая логика и теория алгоритмов».
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки Математическая логика, алгебра и теория чисел
Федеральный ГОС ВО
Форма обучения Очная
Программу в соответствии с ФГОС ВО разработали:
в.н.с., д.ф.-м.н.
В.П. Оревков
Санкт-Петербург
2015
1.
ЦЕЛИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина является обязательной в курсе обучения аспирантов, проходящих
подготовку по направленности (профилю) подготовки - математическая логика,
алгебра и теория чисел.
Целью
преподавания
данной
дисциплины
является
подготовка
высококвалифицированных специалистов в области математической логики и теории
алгоритмов. В курсе особое внимание уделяется развитию у учащихся навыков
самостоятельного анализа решений различных задач математической логики.
ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Задачей дисциплины является изучение основных логических исчислений, основ
теории алгоритмов и сложности вычислений, основ теории моделей. После освоения
курса аспиранты должны оперативно владеть основными понятиями и методами
математической логики и теории алгоритмов, строить аксиоматизации разрешимых
теорий, проводить элиминацию кванторов, выяснять алгоритмическую разрешимость
вычислительных задач, уметь доказывать NP-полноту массовых проблем.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Математическая логика и теория
алгоритмов»
Код
Результат обучения (компетенция) аспиранта
ОПК-1
способностью самостоятельно осуществлять научноисследовательскую деятельность в соответствующей
профессиональной области с использованием современных методов
исследования и информационно-коммуникационных технологий
ПК-1
ПК-3
готовность применять методы математической логики и теории
алгоритмов в задачах математики, механики и математической
физики
готовность применять аппарат и методы алгебраической теории
чисел в математических и физических задачах
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение
цели изучения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов» и еѐ вклад
в формирование результатов обучения (компетенций) слушателя
– знание основных понятий, методов и подходов, применяемых в алгебре;
– умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать методы для
решения задач;
– умение представить полученные результаты, подтвердить их достоверность с
помощью изученных методов, представить полученные результаты устно;
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ УЧЕБНОГО ПЛАНА АСПИРАНТУРЫ
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» изучается в четвертом
семестре 2 курса аспирантуры. Изучение дисциплины опирается на знания в области
специальных дисциплин направления подготовки, освоенные аспирантами на
предшествующих этапах обучения.
По окончании изучения дисциплины аспиранты должны
владеть:
● знаниями о современном состоянии науки в области математической логики и
теории алгоритмов;
● иметь навыки участия в научной дискуссии, принятия независимых суждений и
самостоятельных решений, свободно ориентироваться в теоретической и
методической базе, отстаивать свою точку зрения;
Результаты изучения дисциплины используются в ходе научно-исследовательской работы
и при подготовке выпускной квалификационной работы аспиранта.
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ПО
ВИДАМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ КОНТРОЛЯ
3.1. Виды учебной работы и формы контроля.
Виды учебной работы
Трудоѐмкость по семестрам
Итого, ач
4-й сем
ач/нед
ач/сем
18
18
18
90
90
90
Лекции (Л)
Лабораторные занятия
(ЛЗ)
Практические занятия,
семинары (ПЗ)
Самостоятельная
работа (СР)
Зачет (З)
Общая трудоемкость освоения
дисциплины
1
в академических часах, ач
в зачѐтных единицах, ЗЕ
108
3
3.2. Разделы дисциплины и виды учебной работы
Л, ач
Разделы дисциплины
ЛЗ, ач
ПЗ, ач
СР, ач
1.
Аксиоматическая теория множеств.
3
12
2.
Исчисление высказываний
3
12
3.
Исчисление предикатов
2
11
4.
Языки первого порядка
2
11
5.
Вычислимые функции
2
11
6.
Арифметика
2
11
7.
Введение в теорию сложности
вычислений
Универсальная машина Тьюринга.
2
11
8.
Элементы теории моделей
2
11
18
90
Итого по видам учебной работы:
Общая трудоѐмкость освоения: ач / ЗЕ
4. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ИХ СОДЕРЖАНИЕ
Разделы дисциплины
Содержание разделов
108/3
1
Аксиоматическая
теория множеств.
Аксиомы теории множеств. Фундированные
множества, вполне упорядоченные
множества. Трансфинитная индукция.
Теорема Цермело. Лемма Цорна.
Арифметика ординалов.
2
Исчисление
высказываний
Формулы исчисления высказываний.
Булевы функции и их представление в КНФ
и ДНФ. Алгоритм приведения в КНФ/ДНФ.
Булевы схемы. Эффективная булева схема
для сложения чисел. Гильбертовское
исчисление высказываний. Корректность.
Лемма о дедукции. Основные правила
натурального вывода. Теорема о полноте
гильбертовского исчисления. Исчисление
секвенций. Резолюционная система
доказательств.
3
Исчисление
предикатов
Формулы исчисления предикатов. Аксиомы
исчисления предикатов. Лемма о дедукции
в исчислении предикатов. Лемма о свежих
константах Теорема о полноте. Теорема
Левенгельма-Сколема о существовании
счетной модели. Теорема Мальцева о
компактности. Предваренная нормальная
форма. Теорема Эрбрана. Скулемизация.
4
Языки первого
порядка
5
Вычислимые
функции
Невыразимые предикаты: метод
автоморфизмов. Элиминация кванторов:
арифметика Пресбургера, элементарная
теория вещественных чисел (Теорема
Тарского), алгебраически замкнутые поля,
теория плотного линейного порядка.
Понятие алгоритма и его уточнения.
Вычислимость по Тьюрингу, частично
рекурсивные функции, рекурсивно
перечислимые и рекурсивные множества.
Тезис Чёрча. Универсальные вычислимые
функции. Существование перечислимого
неразрешимого множества. Теорема
Успенского-Райса. Теорема о неподвижной
точки. Неразрешимость исчисления
предикатов. Построение полугруппы с
неразрешимой проблемой распознавания
равенства. Главные нумерации. Примитивно
рекурсивные функции.
6
Арифметика
Выразимость в арифметике. Бета-функции
Геделя, арифметичность вычислимых
функций. Арифметическая иерархия.
Универсальные множества в
арифметической иерархии. Операция
скачка. Строгость арифметической
иерархии. m-cведения. Теоремы Тарского о
невыразимости и Геделя о неполноте
арифметики. Вторая теорема Геделя о
неполноте. Арифметика Пеано
7
Введение в теорию
сложности
вычислений
Универсальная
машина Тьюринга.
8
Элементы теории
моделей
Классы P и NP. Полиномиальная
сводимость и NP-полные задачи. Теорема
об NP-полноте задачи ВЫПОЛНИМОСТЬ.
Сведение задач поиска к задачам
распознавания. Оптимальный алгоритм
Левина. Теорема Ладнера. Полиномиальная
иерархия.
Основные определения теории моделей.
Выводимость и теорема о полноте. Теорема
о компактности. Следствия: невыразимость
множества точек кручения, нестандартная
модель натуральных чисел. Аксиомы
равенства и нормальные модели.
Повышение мощности модели. Lструктуры, подструктуры и расширения.
Теории и модели. Логические следствия.
Выразимые множества. Примеры теорий и
выразимых множеств. Элементарные
теории классов алгебраических систем.
Категоричные в данной мощности теории.
Теорема о полноте теории, не имеющей
конечных моделей и категоричной в
бесконечной мощности.
5. МАТЕРИАЛЬНОТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лаборатория Математической логики ПОМИ РАН, оснащенная необходимой
техникой, оборудованием и доступом к электронным ресурсам.
6. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
В преподавании дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов»
используются преимущественно традиционные образовательные технологии:
– лекции;
- практические занятия посвящены подготовке докладов на заданные темы;
- самостоятельная работа аспирантов направлена на подготовку к практическим занятиям
и включает различные интернет-технологии.
- в преподавании курса следует применять современные технологии, такие как проблемное
обучение, междисциплинарное обучение.
По методике проблемного обучения можно предложить слушателям теоретически
осветить одну из проблем, разрабатываемых в области математической логика и теории
алгоритмов. Сообщение, сделанное аспирантом, можно рассматривать и как решение
теоретической проблемы и как самостоятельную работу.
7. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ.
Программой не предусмотрены практические занятия.
8. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
8.1. Оценочные средства
Критерием усвоения материала курса лекций «Математическая логика и теория
алгоритмов» является посещение лекций и практических занятий, самостоятельный поиск
в информационных базах данных по новым методам, использования самостоятельной
работы для приобретения дополнительных знаний, полезных для успешной сдачи зачета
и кандидатского экзамена по специальности 01.01.06. Математическая логика, алгебра и
теория чисел.
9. МАТЕРИАЛЬНОТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лаборатория математической логики ПОМИ РАН, оснащенная необходимой техникой,
оборудованием и доступом к электронным ресурсам.
10. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Рекомендованная литература
1. Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов.
В 3-х томах. М.: МЦНМО, 2-е изд, 2008.
2. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. 2-е изд. М.: Наука, 1987.
3. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. 2-е изд. М.: Наука, 1986.
4. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. 3-е изд. М.: Наука, 1984.
5. Новиков П.С. Элементы математической логики. 2-е изд. М.: Наука, 1973.
6.
Дополнительная литература
1. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М. Мир,
1982.
2. Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. М.: Наука, 1980.
3. D. Marker. Model Theory: An Introduction. Springer-Verlag New York, 2002.
4. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas. Mathematical Logic. Springer-Verlag New
York, 1984.
1.
11. ФОРМА ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
Проверка усвоения материала курса проводится посредством проведения экзамена.
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
«Математическая логика и теория алгоритмов».
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки Математическая логика, алгебра и теория чисел
Санкт-Петербург
2014
ЦЕЛИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина является обязательной в курсе обучения аспирантов, проходящих
подготовку по направленности (профилю) подготовки - математическая логика,
алгебра и теория чисел.
Целью
преподавания
данной
дисциплины
является
подготовка
высококвалифицированных специалистов в области математической логики и теории
алгоритмов. В курсе особое внимание уделяется развитию у учащихся навыков
самостоятельного анализа решений различных задач математической логики.
ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Задачей дисциплины является изучение основных логических исчислений, основ
теории алгоритмов и сложности вычислений, основ теории моделей. После освоения
курса аспиранты должны оперативно владеть основными понятиями и методами
математической логики и теории алгоритмов, строить аксиоматизации разрешимых
теорий, проводить элиминацию кванторов, выяснять алгоритмическую разрешимость
вычислительных задач, уметь доказывать NP-полноту массовых проблем.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Математическая логика и теория
алгоритмов»
Код
Результат обучения (компетенция) аспиранта
ОПК-1
способностью самостоятельно осуществлять научноисследовательскую деятельность в соответствующей
профессиональной области с использованием современных методов
исследования и информационно-коммуникационных технологий
ПК-1
ПК-3
готовность применять методы математической логики и теории
алгоритмов в задачах математики, механики и математической
физики
готовность применять аппарат и методы алгебраической теории
чисел в математических и физических задачах
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение
цели изучения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов» и еѐ вклад
в формирование результатов обучения (компетенций) слушателя
– знание основных понятий, методов и подходов, применяемых в алгебре;
– умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать методы для
решения задач;
– умение представить полученные результаты, подтвердить их достоверность с помощью
изученных методов, представить полученные результаты устно;
2.2. Оценочные средства
Вопросы к экзамену
1.Понятие высказывания. Алгебра высказываний.
2.Логические операции над высказываниями.
3.Логические вентили, схемы и структуры
4.Формулы алгебры логики. Равносильные формулы.
5.Булевы функции. Функционально полные системы булевых функций.
6.Минимизация булефых функций. Совершенные нормальные формы.
7.Понятие формулы исчисления высказываний. Доказуемые формулы.
8.Производные правила вывода.
9.Правила выводимости. Теорема дедукции.
10.Связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний.
11.Проблемы аксиоматического исчисления высказываний.
12.Понятие предиката. Операции над предикатами. Кванторные операции.
13.Формулы логики предикатов. Равносильности.
14.Предваренная нормальная форма. Сколемовские функции.
15.Общезначимость и выполнимость формул. Проблема разрешимости.
16.Алгоритмы распознавания общезначимости формул.
17.Метод резолюций в логике высказываний.
18.Метод резолюций в логике предикатов.
19.Интуиционистская, нечеткая и модальная логики.
20.Семантика Крипке.
21.Временные логики (общие понятия и 2 любые модели).
22.Алгоритмические логики.
23.Формальные языки и грамматики.
24.Понятие алгоритма, его свойства. Классификация алгоритмов. Описание алгоритмов.
25.Машина Тьюринга.
26.Машина Поста.
27.Нормальные алгорифмы Маркова.
28.Вычислимые функции, разрешимиы и перечислимые множества.
29.Рекурсивные функции. Классы рекурсивных функций.
30.Массовые проблемы. Неразрешимость проблем. Экстраалгоритм.
31.Алгоритмы и сложность. Сложностые классы задач.
32.Понятие NP-полной задачи.
33.Временная и пространственная сложность алгоритмов.
34.Построение эффективных алгоритмов.
Задачи для подготовки к экзамену
1.
Являются ли перечислимыми или разрешимыми следующие множества и их
дополнения: (а) номера машин Тьюринга, определённых на слове 1; (б) номера
машин Тьюринга, определённых на всех словах, состоящих из одних единиц; (в)
номера машин Тьюринга с чётным числом внутренних состояний. (г) номера машин
Тьюринга, определённых на всех словах длины десять; (д) номера машин
Тьюринга, определённых на всех словах чётной длины; (е) номера машин
Тьюринга, которые ни на каком входе не останавливаются ранее, чем через два
шага.
2.
Докажите, что существует машина Тьюринга, допускающая свой собственный
номер и отвергающая все другие входы.
3.
Докажите, что существует
собственного номера.
4.
Обозначим через L множество номеров программ, определённых на бесконечно
многих входах. Докажите, что существует машина Тьюринга с оракулом L, которая
машина
Тьюринга,
печатающая
квадратсвоего
разрешает проблему остановки (по заданному номеру машины n и заданному
слову x определяет, определено ли ϕn(x)).
5.
Обозначим через L множество нигде не определённых программ. Докажите, что
существует машина Тьюринга с оракулом L, которая разрешает проблему
остановки (по заданному номеру машины n и заданному слову x определяет,
определено ли ϕn(x)).
6.
Докажите, что существует пара программ A, B на языке C таких, что A печатает
текст B (обычным образом), а B печатает текст A задом наперёд.
7.
Докажите, что существует тройка попарно различных программ A, B, C на языке C
таких, что A печатает текст B, B печатает текст C, и C печатает текст A.
8.
Являются ли следующие множества или их дополнения разрешимымиили
перечислимыми: (а) множество номеров всюду определённых машин Тьюринга; (б)
множество номеров нигде не определённых машин Тьюринга; (в) множество
номеров машин Тьюринга, определенных на пустом слове; (г) множество машин
Тьюринга, останавливающихся на всяком входе 1n (n единиц) не позднее, чем
через n2 шагов?
9.
Пусть f и g – вычислимые всюду определённые функции. Докажите, что найдутся
такие номера машин Тьюринга m,n, что φf(n) ∼ φm и φg(m) ∼ φn (машины считаются
эквивалентными, если на любом входе они либо выдают одинаковые результаты,
либо обе не выдают никакого результата).
10. Классы множеств Σi и Πi замкнуты относительно объединения и пересечения.
11. Докажите, что множество натуральных чисел A разрешимо, если и только если
существует алгоритм, перечисляющий элементы A в порядке возрастания.
12. Не существует алгоритма, перечисляющего номера всех всюду определённых
вычислимых функций и только их.
13. Докажите, что если множества A и B принадлежат Σn, то A×A также принадлежит Σn,
а A \ B принадлежит Σn+1 ∩ Πn+1.
14. Являются
ли перечислимыми множество всех программ,
инъективные функции, а также дополнение этого множества?
вычисляющих
15. Являются
вычисляющих
ли перечислимыми множество всех программ,
сюръективные функции, а также дополнение этого множества?
16. Докажите, что существуют непересекающиеся перечислимые множества A и B,
которые не могут быть отделены разрешимым множеством: не существует такого
разрешимого C, что A ⊂ C и B ⊂ C¯.
17. Приведите пример неразрешимого подмножества N × N, такого что все его
горизонтальные и вертикальные сечения (т.е. пересечения с N×{y} и с {x}×N)
разрешимы.
множество истинных утверждений некоторой теории T является
перечислимым, то для данной теории существует полная (и, как всегда,
разрешимая) система аксиом.
18. Если
19. (Дополнительная) Обозначим K(x) минимальный номер машины Тьюринга, которая
на пустом входе печатает x и останавливается. Докажите, что функция K(x) не
является вычислимой.
20. Докажите, что любые два круга на плоскости равномощны.
21. Докажите равномощность множеств [0,1] и (0,1).
22. Докажите равномощность отрезка [0,1] и квадрата.
23. Докажите равномощность любого шара и любого квадрата.
24. Докажите, что множество всех подмножеств N равномощно R.
25. Докажите, что множество всех конечных последовательностей натуральных чисел
счётно.
26. Докажите, что множество алгебраических чисел счётно.
27. Докажите, что множество всех непрерывных (всюду определённых) функций f : R →
R равномощно R.
28. Докажите, что множество всех функций f : R → R равномощно P(R).
29. Пусть R = A ∪ B. Докажите, что хотя бы одно из множеств A,B равномощно R.
30. Чёрт заключил с купцом такой контракт: каждый день купец долженобменивать
одну из своих купюру на любое число более мелких купюр (при этом суммарная
стоимость получаемых купюр может быть намного больше номинала разменянной
купюры). Купец не может получать денег ни из каких других источников. Когда
купец не сможет произвести размен (у него остались только купюры самого
маленького достоинства), его душа достанется чёрту. Докажите, что рано или
поздно так и случится. (Купец живёт вечно; разных номиналов конечное число)
31. В конечной последовательности нулей и единиц разрешается заменитьстоящие
рядом цифры 01 на 1000...0 (с любым числом нулей). Докажите, что такую
операцию нельзя выполнять бесконечно много раз.
32. Рассмотрим множество многочленов с натуральными коэффициентами. Считаем,
что P > Q, если P(x) > Q(x) для всех достаточно больших x. Докажите, что данный
порядок линеен и фундирован.
Оценка тестирования происходит по 100 - бальной системе и соответствует следующей
шкале:
Оценка
Проценты от всего числа выполненных заданий
Удовлетворительно 35 - 50
Хорошо
51- 74
Отлично
75 - 100
Шкала оценивания результатов
Оценка успешности освоения аспирантом дисциплины «Математическая теория
логического вывода» включает посещение лекций и практических занятий,
самостоятельное подготовка отдельных разделов курса, успешная сдача зачетов,
экзаменов и госэкзамена. Успешная сдача кандидатского экзамена по специальности
01.01.06.