элективный курс_ логические основы компьютера

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ХАБАРОВСКОГО КРАЯ
Элективный курс
Логические основы компьютера
1
тематический план по данному разделу
№
Количество
Тема
часов
1
Понятие, суждение, умозаключение.
1
2, 3
Операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
2
Таблицы истинности логических операций.
4
Операции импликации и эквиваленции.
5
Логические формулы. Связь между алгеброй логикой 1
1
и двоичной системой счисления.
6, 7
Основные законы алгебры
логики. Упрощение 2
логических формул.
8
Логические элементы компьютера.
1
9
Схемы И, ИЛИ. НЕ. И-НЕ, ИЛИ-НЕ.
1
10
Триггеры, сумматор.
1
11
Переключательная схема.
1
12
Решение логических задач средствами алгебры 1
логики.
13,
Решение логических задач табличным способом.
2
Решение логических задач с помощью рассуждений.
2
Контрольная работа.
1
14
15,
16
17
Введение
Элективный курс рассчитан на изучение в 10 классе (17 ч). На решение задач
отводится 5 ч. Затем выполняется контрольная работа.
2
Требования к знаниям и умениям
Требования к знаниям:
 Знать логические основы компьютера;
 Знать триггер и сумматор;
 Знать основные логические операции,
их свойства и
обозначения;
 Знать основные законы алгебры логики.
Требования к умениям:
 Уметь
строить
логические
схемы
из
основных
логических
элементов по формулам логических выражений;
 Уметь представлять логические выражения в виде формул и
таблиц истинности;
 Уметь решать логические задачи;
 Уметь упрощать переключательные схемы;
 Уметь объяснять назначение основных логических устройств
ЭВМ (регистр, сумматор).
Понятие, суждение, умозаключение; операции конъюнкции, дизъюнкции
и отрицания; операции импликации и эквиваленции.
Логические формулы; связь между алгеброй логикой и двоичной
системой счисления; логические элементы компьютера; таблицы истинности
логических операций; составление таблиц истинности.
Основные законы алгебры логики; упрощение логических формул;
переключательная схема; решение логических задач; решение логических задач
табличным способом. Триггер. Сумматор.
3
Урок №1
Тема: Понятие, суждение, умозаключение.
Цели: дать основные понятия логики, рассмотреть основные этапы
развития логики, как науки, разобрать ее составные части.
Теоретическая часть.
Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах
Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат
учения, созданные в 4 веке до нашей эры древне-греческими мыслителями.
Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил
логические формы речи от ее
содержания.
Он исследовал терминологию
логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд
логических операций, сформулировал основные законы мышления.
Логика изучает внутреннюю структуру процесса мышления, который
реализуется в таких естественно сложившихся формах как понятие, суждение,
умозаключение и доказательство.
Понятие. Понятие - это форма мышления, отражающая наиболее
существенные свойства предмета, отличающие его от других предметов. В
структуре каждого понятия нужно различать две стороны: содержание и объем.
Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков
предмета. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует выделить признаки,
необходимые и достаточные для выделения данного предмета по отношению к
другим предметам.
Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно
распространяется, и может быть представлено в форме множества объектов,
состоящего из элементов множества.
4
Алгебра
множеств,
одна
из
основополагающих
современных
математических теорий, позволяет исследовать отношения между множествами
и, соответственно, объемами понятий.
Между множествами (объемами понятий) могут быть различные виды
отношений:
 равнозначность, когда объемы понятий полностью совпадают;
 пересечение, когда объемы понятий частично совпадают;
 подчинения, когда объем одного понятия полностью входит в объем
другого и т.д.
Для наглядной геометрической иллюстрации объемов понятий и
соотношений между ними используются диаграммы Эйлера-Венна. Если
имеются какие-либо понятия A, B, C и т.д., то объем каждого понятия
(множество) можно представить в виде круга, а отношения между этими
объемами (множествами) в виде пересекающихся кругов.
Высказывание. Высказывание (суждение) - это форма мышления,
выраженная с помощью понятий, посредством которой что-либо утверждают
или отрицают о предметах, их свойствах и отношениях между ними.
О предметах можно судить верно или неверно, т.е. высказывание может
быть истинным или ложным. Истинным будет суждение, в котором связь
понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложным
суждение будет в том случае, когда связь понятий искажает объективные
отношения, не соответствует реальной действительности.
Обоснование истинности или ложности простых высказываний
решается вне алгебры
высказывания:
"Сумма
логики.
углов
Например,
истинность
треугольника
равна
или
ложность
180
градусов"
устанавливается геометрией, причем — в геометрии Евклида это высказывание
является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.
5
В естественном языке высказывания выражаются повествовательными
предложениями. Высказывание не может быть выражено повелительным или
вопросительным предложением, оценка истинности или ложности которых
невозможна. Высказывания могут выражаться с помощью математических,
физических, химических и прочих знаков. Из двух числовых выражений можно
составить высказывания, соединив их знаками равенства или неравенства.
Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не
является высказыванием. Высказывание, состоящее из простых высказываний,
называются составным (сложным).
Высказывания имеют определенную логическую форму. Понятие о
предмете мысли называется субъектом и обозначается буквой S, а понятие о
свойствах
и
отношениях
предмета
мысли
называется
предикатом
и
обозначается буквой P. Оба эти понятия - субъект и предикат называются
терминами суждения. Отношения
между
субъектом
и
предикатом
выражается связкой «есть», «не есть», «является», «состоит» и т.д.
Таким образом, каждое высказывание состоит из трех элементов
-
субъекта, предиката и связки (двух терминов и связки). Состав суждения
можно выразить общей формулой «S есть "» или «S не есть P».
Умозаключение. Умозаключение - это форма мышления, посредством
которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по
определенным правилам логического вывода получается новое знание о
предметах реального мира (вывод).
Умозаключения бывают дедуктивные, индуктивные и по аналогии.
В
дедуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от общего к частному.
Например, из двух суждений: «Все металлы
электропроводны» и «Ртуть
является металлом» путем умозаключения можно сделать вывод, что: «Ртуть
электропроводна».
6
В индуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от частного к
общему. Например, установив, что отдельные металлы - железо, медь, цинк,
алюминий и т.д. - обладают свойством электропроводности, можно сделать
вывод, что все металлы электропроводны.
Умозаключение по аналогии представляет собой движение мысли от
общности одних свойств и отношений у сравниваемых
предметов или
процессов к общности других свойств и отношений. Например, химический
состав Солнца и Земли сходен по многим показателям, поэтому, когда на
Солнце обнаружили неизвестный еще на Земле химический элемент гелий, то
по аналогии заключили: такой элемент есть и на Земле.
Практическая часть.
Пример 1. Установите, какие из следующих предложений являются
логическими высказываниями, а какие — нет (объясните почему):
o
а) “Солнце есть спутник Земли”;
o
б) “2+3=4”;
o
в) “сегодня отличная погода”;
o
г) “в романе Л.Н. Толстого “Война и мир” 3 432 536 слов”;
o
д) “Санкт-Петербург расположен на Неве”;
o
е) “музыка Баха слишком сложна”;
o
ж) “первая космическая скорость равна 7.8 км/сек”;
o
з) “железо — металл”;
o
и) “если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет
тупоугольным”;
o
к) “если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату
третьей, то он прямоугольный”.
Ответ:
Являются
высказываниями:
а),
г),
д),
ж),
з),
и),
к);
не являются высказываниями: б); в); е).
7
Пример 2. Укажите, какие из высказываний предыдущего упражнения
истинны, какие — ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых
трудно
Ответ:
или
невозможно
Истинные:
ложные:
истинность
д),
установить.
з),
а),
трудно
к);
и);
установить:
г);
можно рассматривать и как истинное, и как ложное в зависимости от требуемой
точности представления: ж).
Пример 3. Приведите примеры истинных и ложных высказываний:
o
а) из арифметики; б) из физики;
o
в) из биологии; г) из информатики;
o
д) из геометрии; е) из жизни.
Ответ:
Образцы.
Истинные высказывания: а) “2+2=4”; б) “сила притяжения тел обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ними” в) “зайцы питаются
растениями”; г) “бит - фундаментальная единица информации, используемая в
теории информации”; д) “два треугольника равны, если две стороны и угол
между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними
другого треугольника”; е) “понедельник - первый день недели”.
Ложные высказывания: а) “4+3=5”; б) “тело падает на Землю с ускорением,
пропорциональным своей массе”; в) “животные это неживая природа" г)
“информатика - наука о термической обработке металлов”; д) “квадрат это
фигура у которой пять сторон”; е) “лев - домашнее животное”.
Пример 4. Сформулируйте отрицания следующих высказываний или
высказывательных форм:
o
а) “Эльбрус — высочайшая горная вершина Европы”;
o
б) “2>=5”;
8
o
в) “10<7”;
o
г) “все натуральные числа целые”;
o
д) “через любые три точки на плоскости можно провести окружность”;
o
е) “теннисист Кафельников не проиграл финальную игру”;
o
ж) “мишень поражена первым выстрелом”;
o
з) “это утро ясное и теплое”;
o
и) “число n делится на 2 или на 3”;
o
к) “этот треугольник равнобедренный и прямоугольный”;
o
л) "на контрольной работе каждый ученик писал своей ручкой".
Ответ: а) “Эльбрус – не высочайшая горная вершина Европы”; б) “2<5”; в)
“10>=7”; г) “не все натуральные числа целые”; д) “не через любые три точки
на плоскости можно провести окружность”; е) “теннисист Кафельников
проиграл финальную игру”; ж) “мишень не поражена первым выстрелом”; з)
“это утро не ясное или оно не теплое” (Пояснение. Пусть А = “это утро
ясное”, а B = “это утро теплое”. Тогда “это утро ясное и теплое” можно
записать как А•В, отрицанием чего является
, что соответствует
высказывательной форме “это утро не ясное или оно не не теплое”; и)“число n
не делится на 2 и оно делится на 3”; к) “этот треугольник не равнобедренный
или он не прямоугольный”; л) “не каждый ученик писал контрольную своей
ручкой” (вариант: "кто-то писал контрольную не своей ручкой").
Пример 5. Определите, какие из высказываний (высказывательных форм) в
следующих парах являются отрицаниями друг друга, а какие нет:
o
а) “5<10”, “5>10”;
o
б) “10>9”, “10<=9”;
o
в) “мишень поражена первым выстрелом”, “мишень поражена вторым
выстрелом”;
o
г) “машина останавливалась у каждого из двух светофоров”, “машина не
останавливалась у каждого из двух светофоров”,
9
o
д) “человечеству известны все планеты Солнечной системы”, “в
Солнечной системе есть планеты, неизвестные человечеству”;
o
е) “существуют белые слоны”, “все слоны серые”;
o
ж) “кит — млекопитающее”, “кит — рыба”;
o
з) “неверно, что точка А не лежит на прямой а”, “точка А лежит на
прямой а”;
o
и) “прямая а параллельна прямой b”, “прямая a перпендикулярна прямой
b”;
o
к) “этот треугольник равнобедренный и прямоугольный”, “этот
треугольник не равнобедренный или он не прямоугольный”.
Ответ:
Являются
отрицаниями
друг
друга:
б),
г),
д),
к);
не являются отрицаниями друг друга: а), в), е), ж), з), и).
Пример 6. Определите значения истинности высказываний:
o
а) “наличия аттестата о среднем образовании достаточно для
поступления в институт”;
o
б) “наличие аттестата о среднем образовании необходимо для
поступления в институт”;
o
в) “если целое число делится на 6, то оно делится на 3”;
o
г)
“подобие
треугольников
является
необходимым
условием
их
равенства”;
o
д) “подобие треугольников является необходимым и достаточным
условием их равенства”;
o
е) “треугольники подобны только в случае их равенства”;
o
ж) “треугольники равны только в случае их подобия”;
o
з) “равенство треугольников является достаточным условием их
подобия”;
o
и) “для того, чтобы треугольники были неравны, достаточно, чтобы
они были неподобны”;
10
o
к) “для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, достаточно,
чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны”.
Ответ: Истинны: б), в), г), з), к), и);
ложны: а), д), е), ж).
Урок № 2, 3
Тема: Операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Таблицы
истинности логических операций.
Цели:
1. Обучающие:
1. Закрепить знания, полученные на предыдущем уроке, дать понятие
коньюнкции, дизъюнкции, инверсии
2. Научить доказывать равносильность логических выражений,
используя таблицы истинности
3. научиться находить значений логических выражений посредством
построения таблиц истинности
2. Развивающие:
1. Развивать логическое мышление
2. Развивать речь учащихся
3. Развивать память
3. Воспитательные:
1. Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников.
2. Воспитывать самостоятельность.
Теоретический материал.
Алгебра в широком смысле этого слова наука об общих операциях,
аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над
различными математическими объектами (алгебра переменных и функций,
алгебра векторов, алгебра множеств и т.д.). Объектами алгебры логики
являются высказывания.
Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний.
Ее интересует только один факт — истинно или ложно данное высказывание,
11
что дает возможность определять истинность или ложность составных
высказываний алгебраическими методами.
Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными
латинскими буквами:
А = {Аристотель - основоположник логики}
В = {На яблонях растут бананы}.
Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким
образом, А = 1, В = 0.
Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью
союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции.
Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть
графически проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение):
в естественном языке соответствует союзу и;
в алгебре высказываний обозначение &;
в языках программирования обозначение And.
Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум
простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда
и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения
множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А
и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих
одновременно двум множествам.
Таблица истинности
Диаграмма Эйлера-Венна
А В А&В
0
0 0
0
1 0
12
1
0 0
1
1 1
Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение):
в естественном языке соответствует союзу или;
обозначение v ;
в языках программирования обозначение Or.
Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым
высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся
ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и
истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.
В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения
множеств, т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и
В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо
множеству А, либо множеству В.
Таблица истинности
А
В
А
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Диаграмма Эйлера-Венна
В
Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание):
в естественном языке соответствует словам неверно, что... и частице
не;
обозначение
;
в языках программирования обозначение Not;
13
Отрицание - это логическая операция, которая каждому простому
высказыванию ставит в соответствие составное высказывание,
заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.
В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция
дополнения до универсального множества, т.е. множеству получившемуся в
результате отрицания множества А соответствует множество
, дополняющее
его до универсального множества.
Таблица истинности
Диаграмма Эйлера-Венна
A
0
1
1
0
Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание
при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых
высказываний, называют таблицей истинности составного высказывания.
Составные высказывания в алгебре логики записываются с помощью
логических выражений. Для любого логического выражения достаточно просто
построить таблицу истинности.
Алгоритм построения таблицы истинности:
1) подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
2) определить число строк в таблице, которое равно m = 2n;
3) подсчитать количество логических операций в логическом выражении и
определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству
переменных плюс количество операций;
4) ввести названия столбцов таблицы в соответствии с
последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и
приоритетов;
5) заполнить столбцы входных переменных наборами значений;
14
6) провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя
логические операции.
Наборы входных переменных, во избежание ошибок, рекомендуют перечислять
следующим образом:
а) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить
верхнюю часть колонки нулями, а нижнюю единицами;
б) разделить колонку значений второй переменной на четыре части и
заполнить каждую четверть чередующимися группами нулей и единиц ,
начиная с группы нулей;
в) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8,
16 и т.д. частей и заполнение их группами нулей или единиц до тех пор,
пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.
Согласно определению, таблица истинности логической формулы
выражает соответствие между всевозможными наборами значений
переменных и значениями формулы.
Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений
переменных всего четыре:
(0, 0),
(0, 1),
(1, 0),
(1, 1).
Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений
переменных восемь:
(0, 0, 0),
(0, 0, 1),
(0, 1, 0),
(0, 1, 1),
(1, 0, 0),
(1, 0, 1),
(1, 1, 0),
(1, 1, 1).
Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно
шестнадцати и т.д.
15
Удобной формой записи при нахождении значений формулы является
таблица, содержащая кроме значений переменных и значений формулы также и
значения промежуточных формул.
1. Составим таблицу истинности для формулы
, которая
содержит две переменные x и y. В первых двух столбцах таблицы запишем
четыре возможных пары значений этих переменных, в последующих столбцах
— значения промежуточных формул и в последнем столбце — значение
формулы. В результате получим таблицу:
Переменные Промежуточные логические формулы
Формула
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных x и y
формула
принимает значение 1, то есть является
тождественно истинной.
Практическая часть.
Пример 1. Определите с помощью таблиц истинности, какие из следующих
формул являются тождественно истинными или тождественно ложными:
а)
д)
б)
е)
в)
ж)
г)
Ответ: Тождественно истинные: а), в), е);
тождественно ложные: г), д), ж).
16
Пример 2. Постройте таблицы истинности для логических формул и
упростите формулы, используя законы алгебры логики:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)
Ответ: а) a v c; б)
; з)
; в)
; г) a v c; д) a•(c v b•d); е)
; и) a•(b v c•d); к)
; ж)
.
Урок №4
Тема: Операции импликации и эквиваленции.
Цели:
Теоретическая часть.
Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование):
в естественном языке соответствует обороту если ..., то ...;
обозначение →.
Импликация - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым
двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным
тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а
следствие (второе высказывание) ложно.
17
А
В
А→В
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность):
в естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только
тогда; в том и только в том случае;
обозначения ~.
Эквиваленция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым
двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным
тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны
или одновременно ложны. Таблица истинности эквиваленции:
А
В
А~ В
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Практическая часть.
Пример 1. Формализуйте предостережение, которое одна жительница
древних Афин сделала своему сыну, собиравшемуся заняться политической
деятельностью: “Если ты будешь говорить правду, то тебя возненавидят
люди. Если ты будешь лгать, то тебя возненавидят боги. Но ты должен
говорить правду или лгать. Значит, тебя возненавидят люди или возненавидят
боги”.
18
Формализуйте также ответ сына: “Если я буду говорить правду, то боги будут
любить меня. Если я буду лгать, то люди будут любить меня. Но я должен
говорить правду или лгать. Значит, меня будут любить боги или меня будут
любить люди”.
Ответ: Решение. Введем обозначения для логических высказываний: а – “ты
будешь говорить правду”; b – “тебя возненавидят люди”; c – “тебя
возненавидят боги”. Договоримся считать, что некоторое заданное
высказывание x истинно, если нет оговорки. Тогда предостережение матери
можно записать так:
. А ответ сына – так:
.
Пример 2. Пусть a = “это утро ясное”, а b = “это утро теплое”. Выразите
следующие формулы на обычном языке:
Ответ:
а) “это утро ясное и тёплое”;
ж) “это утро не ясное или не тёплое”;
б) “это утро ясное и оно не тёплое”;
з) “это утро не ясное и не тёплое”;
в) “это утро не ясное и оно не тёплое”; и) “это утро ясное или не тёплое”;
г) “это утро не ясное или оно тёплое”; к) “если это тро ясное, то оно не
тёплое”;
д) “это утро ясное или оно не тёплое”; л) “если это утро не ясное, то оно
тёплое”;
е) “это утро не ясное или оно не тёплое”;
м) “это утро ясное и не
тёплое”.
19
Пример 3. Из двух данных высказываний a и b постройте составное
высказывание, которое было бы:
o
а) истинно тогда и только тогда, когда оба данных выказывания ложны;
o
б) ложно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания истинны.
Ответ : а)
; б)
.
Пример 4. Из трех данных высказываний a, b, c постройте составное
высказывание, которое истинно, когда истинно какое-либо одно из данных
высказываний, и только в этом случае.
Ответ:
.
Урок №5
Тема: Логические формулы. Связь между алгеброй логикой и двоичной
системой счисления.
Цели:
1.показать применение темы на практике, научиться составлять функции,
описывающие состояние электрических схем.
Теоретическая часть.
Запишем в форме логического выражения составное высказывание
(2*2=5 или 2*2=4) и (2*2 ≠ 5 или 2*2 ≠ 4)
Проанализируем составное высказывание. Что оно содержит?
Оно содержит два простых высказывания:
А= ”2*2=5” – ложно (0)
В= “2*2=4” – истинно (1)
Тогда давайте перепишем составное высказывание. Что получится?
20
(А или В) и (А или В)
Теперь необходимо записать высказывание в форме логического
выражения.
Что нужно сделать для этого?
Нужно подставить знаки логических операций
(AvB)&(AvB)
Теперь выполняем логические операции, причем в строго определенном
порядке:
1. отрицание,
2. конъюнкция,
3. дизъюнкция,
4. импликация,
5. эквиваленция
Подставим в логическое выражение значения логических переменных и
получим значение логической функции:
F = (AvB)&(AvB) = (0v1) & (1v0) = 1&1 = 1
С помощью логических переменных и символов логических операций
любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической
формулой.
Определение логической формулы:
Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1") и "ложь"
("0") — формулы.
Если А и В — формулы, то ┐А, А . В , А v В , А B , А В —
формулы.
21
Никаких других формул в алгебре логики нет.
В качестве примера рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или
абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог". Это высказывание формализуется
в виде (A v B) → C.
Такая же формула соответствует высказыванию
"если Игорь знает
английский или японский язык, то он получит место переводчика".
Как показывает анализ формулы (A v B) →C, при определённых сочетаниях
значений переменных A, B и C она принимает значение "истина", а при
некоторых других сочетаниях — значение "ложь". Такие формулы называются
выполнимыми.
Некоторые формулы принимают значение "истина" при любых значениях
истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А
v ┐А , соответствующая высказыванию "Этот треугольник прямоугольный или
косоугольный".
Эта
формула
истинна
и
тогда,
когда
треугольник
прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы
называются тождественно истинными формулами или тавтологиями.
Высказывания,
которые
формализуются
тавтологиями,
называются
логически истинными высказываниями.
Если две формулы А и В одновременно принимают одинаковые значения,
то они называются равносильными.
Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом "="
или символом "" Замена формулы другой, ей равносильной, называется
равносильным преобразованием данной формулы.
Практическая часть.
Пример 1. Найдите значения логических выражений:
22

а) (lvl) v (lvO);

б) ((lvO) vl) vl;

b)(0v1) v (1v0);

г)(0&1)&1;

е) ((lvO) & (l&l)) & (Ov l);

ж) ((l&O) v (l&O)) v l;

з) ((l&l) v O) & (Ov l);

и) ((0&0) v0) & (lv l).
Пример 2. Даны два простых высказывания:
А = {2 • 2 = 4}, В = {2 • 2 = 5}.
Какие из составных высказываний истинны:
а) А;
б) В;
в) А&В;
г)AvB;
д) А=>В;
е) А↔В?
Пример 3. Даны простые высказывания:

А = {Принтер — устройство ввода информации},

В = {Процессор — устройство обработки информации},

С = {Монитор — устройство хранения информации},

D = {Клавиатура — устройство ввода информации}.
Определите истинность составных высказываний:
a) (A&B)&(CvD);
б) (А&В)=>(В&С);
в) (AvB) ↔ (C&2>); г) А↔ В.
Пример 4. Дано составное высказывание не (не А и В), где А и В —
простые высказывания. В каком случае данное высказывание будет ложным?
23
Пример 5. Даны простые высказывания:
А = {5>3}, В = {2=3} и С = {4<2}.
Определите истинность составных высказываний
a)(AvB)&C => (A&C)v(B&C);
б) (A&B)vC ↔ (AvC)&(A&B)).
Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания
того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку
основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой
используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: “1” и
“0”.
Из этого следует два вывода:
1.
одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и
хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе
счисления, так и логических переменных;
2.
на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет
значительно упростить логические функции, описывающие функционирование
схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных
логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы
компьютера.
Данные и команды представляются в виде двоичных последовательностей
различной структуры и длины. Существуют различные физические способы
кодирования двоичной информации.
В электронных устройствах компьютера двоичные единицы чаще всего
кодируются более высоким уровнем напряжения, чем двоичные нули (или
24
наоборот), например:
Урок №6, 7
Тема: Основные законы алгебры логики. Упрощение логических формул.
Цели:
1. Обучающие:
1. познакомить с законами алгебры логики и научить их применять на
практике
2. Закрепить навыки нахождения значений логических выражений
посредством построения таблиц истинности и навыки упрощения
логических выражений, используя законы алгебры логики.
2. Развивающие:
1. Развивать логическое мышление
3. Воспитательные:
1. Воспитывать аккуратность ведения тетради
2. Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников
Теоретическая часть.
Логические выражения называются равносильными, если их истинностные
значения совпадают при любых значениях, входящих в них логических
переменных.
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить
равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения,
отражающие эти законы.
1. Закон двойного отрицания:
А=
. Двойное отрицание исключает отрицание.
25
2. Переместительный (коммутативный) закон:
А v B = B v A; — для логического сложения:
A&B = B&A. — для логического умножения:
Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком
порядке берутся эти высказывания.
В обычной алгебре a + b = b + a,
a v b = b v a.
3. Сочетательный (ассоциативный) закон:
(A v B) v C = A v (B v C) — для логического сложения:
(A&B)&C = A&(B&C)— для логического умножения:
При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще
опускать.
В обычной алгебре:
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c,
4. Распределительный (дистрибутивный) закон:
(A v B)&C = (A&C) v (B&C); — для логического сложения
(A&B) v C = (A v C)&(B v C). — для логического умножения:
Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.
В обычной алгебре:
(a + b) * c = a * c + b * c.
5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):
=
&
; — для логического сложения
26
=
v
— для логического умножения:
6. Закон идемпотентности ( от латинских слов idem — тот же самый и
potens —сильный; дословно — равносильный):
A v A = A; — для логического сложения:
A&A = A. — для логического умножения
Закон означает отсутствие показателей степени.
7. Законы исключения констант:
A v 1 = 1,
A v 0 = A; — для логического сложения:
A&1 = A,
A&0 = 0. — для логического умножения:
8. Закон противоречия:
A&
= 0.
Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно
истинными.
9. Закон исключения третьего:
Av
= 1.
Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно
всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.
10. Закон поглощения:
A v (A&B) = A; — для логического сложения:
A&(A v B) = A. — для логического умножения
11. Закон исключения (склеивания):
27
(A&B) v (
&B) = B; — для логического сложения:
(A v B)&(
v B) = B. — для логического умножения:
12. Закон контрапозиции (правило перевертывания):
(A  B) = (B A).
Справедливость приведенных законов можно доказать табличным
способом: выписать все наборы значений А и В, вычислить на них значения
левой и правой частей доказываемого выражения и убедиться, что
результирующие столбцы совпадут.
В алгебре логики выполняются следующие основные законы,
позволяющие производить тождественные преобразования логических
выражений:
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
Закон
Для ИЛИ
Для И
Переместительный
Сочетательный
Распределительный
Правила де Моргана
Идемпотенции
Поглощения
Склеивания
Операция переменной с ее инверсией
Операция с константами
Двойного отрицания
28
Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение,
что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения
формул или приведения их к определённому виду путем использования
основных законов алгебры логики.
Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и
эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к
формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число
операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний
неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений
переменных.
Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования
формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки,
использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как
другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают
операции обычной алгебры (использование распределительного закона для
конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).
Покажем на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при
упрощении логических формул:
1)
(законы алгебры логики применяются в следующей последовательности:
правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её
инверсией и правило операций с константами);
2)
(применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель,
используется правило операций переменной с её инверсией);
29
3)
(повторяется второй сомножитель, что разрешено законом идемпотенции; затем
комбинируются два первых и два последних сомножителя и используется закон
склеивани
я);
4) (вводится вспомогательный логический сомножитель (
); затем
комбинируются два крайних и два средних логических слагаемых и
используется закон поглощения);
5)
(сначала добиваемся, чтобы знак отрицания стоял только перед отдельными
переменными, а не перед их комбинациями, для этого дважды применяем
правило де Моргана; затем используем закон двойного отрицания);
6)
(выносятся за скобки общие множители; применяется правило операций с
константами);
Из этих примеров видно, что при упрощении логических формул не всегда
очевидно, какой из законов алгебры логики следует применить на том или ином
шаге. Навыки приходят с опытом.
Практическая часть.
Пример 1. Упростите следующие формулы, используя законы склеивания:

а)

б)
30

в)

г)

д)
Ответ: а) b•c; б) a; в) c•(a v b) v a•b (Указание: повторить четвертое логическое
слагаемое 3 раза); г) a v c.
Пример 2. Упростите следующие формулы, используя законы поглощения:

а)

б)

в)

г)
Ответ: а) a; б) a•b; в) a; г) a•b;
Урок №8
Тема: Логические элементы компьютера.
Цели:
Теоретическая часть.
Дискретный преобразователь, который после обработки входных двоичных
сигналов выдаёт на выходе сигнал, являющийся значением одной из
логических операций, называется логическим элементом.
Ниже приведены условные обозначения (схемы) базовых логических
элементов, реализующих логическое умножение (конъюнктор), логическое
сложение (дизъюнктор) и отрицание (инвертор).
Рис. Конъюнктор, дизъюнктор и инвертор
31
Устройства компьютера (сумматоры в процессоре, ячейки памяти в
оперативной памяти и др.) строятся на основе базовых логических элементов.
Сегодня мы изучим еще один способ представления логических
выражений – логические схемы.
Существует три базовых логических элемента, которые реализуют
рассмотренные нами три основные логические операции:
логический элемент «И» — логическое умножение –

конъюнктор;
логический элемент «ИЛИ» — логическое сложение –

дизъюнктор;
логический элемент «НЕ» — инверсию – инвертор.

Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде
комбинации трех основных, любые устройства компьютера, производящие
обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых
логических элементов, как из “кирпичиков”.
Логические
элементы
компьютера
оперируют
с
сигналами,
представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс — логический
смысл сигнала — 1, нет импульса — 0. На входы логического элемента
поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигналзначение функции.
Преобразование сигнала логическим элементом задается таблицей
состояний,
которая
соответствующей
фактически
логической
является
функции,
только
таблицей
представлена
истинности,
в
форме
логических схем. В такой форме удобно изображать цепочки логических
операций и производить их вычисления.
32
Пример 1. По заданной логической функции F(A, B) = B&
Ú
&A
построить логическую схему.
Построение необходимо начинать с логической операции, которая
должна выполняться последней. В данном случае такой операцией является
логическое сложение, следовательно, на выходе логической схемы должен
быть дизъюнктор. На него сигналы подаются с двух конъюнкторов, на которые,
в свою очередь подаются один входной сигнал нормальный и один
инвертированный (с инверторов).
Пример 2. Логическая схема имеет два входа X и Y. Определить
логические функции F1(X,Y) и F2(X,Y), которые реализуются на ее двух
выходах.
Функция F1(X,Y) реализуется на выходе первого конъюнктора, т.е.
F1(X,Y) = X&Y.
33
Одновременно сигнал с конъюнктора подается на вход инвертора, на
выходе которого реализуется сигнал
, который, в свою очередь, подается
на один из входов второго конъюнктора.
На другой вход второго конъюнктора подается сигнал XY с
дизъюнктора, следовательно, функция F2(X,Y) =
& (XY).
Рассмотрим схему сложения двух n-разрядных двоичных чисел. При
сложении цифр i-го разряда складываются аi и bi, а также pi-1 — перенос из i1разряда. Результатом будет si – сумма и pi — перенос в старший разряд. Таким
образом, одноразрядный двоичный сумматор — это устройство с тремя
входами и двумя выходами.
Пример 3. Построить таблицу истинности одноразрядного двоичного
сумматора, воспользовавшись таблицей сложения двоичных чисел.
Входы
Выходы
Ai
Bi
Pi-1
Si
Pi
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
34
Урок № 9
Тема: Схемы И, ИЛИ. НЕ. И-НЕ, ИЛИ-НЕ.
Цели:
Теоретическая часть.
Схема И
Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений.
Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами
Таблица истинности схемы И
x
y
x.y
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех
входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе
также будет ноль.
Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается
соотношением: z = x . y
(читается как "x и y"). Операция конъюнкции на структурных схемах
обозначается знаком "&" (читается как "амперсэнд"), являющимся
сокращенной записью английского слова and.
35
С х е м а ИЛИ
Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений.
Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выходе также
будет единица.
Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ с двумя
входами. Знак "1" на схеме — от устаревшего обозначения дизъюнкции как
">=1" (т.е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений
операндов больше или равна 1).
Связь между выходом z этой схемы и
входами x и y описывается соотношением: z = x v y (читается как "x или
y").
Таблица истинности схемы ИЛИ
x
y
xvy
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
С х е м а НЕ
Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь между
входом x этой схемы и выходом z можно записать соотношением z =
, где
читается как "не x" или "инверсия х".
36
Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0.
Условное обозначение на структурных схемах инвертора
Таблица истинности схемы НЕ
x
0
1
1
0
С х е м а И—НЕ
Схема И—НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет
отрицание результата схемы И. Связь между выходом z и входами x и y схемы
записывают следующим образом:
, где
читается как "инверсия x
и y". Условное обозначение на структурных схемах схемы И—НЕ с двумя
входами
Таблица истинности схемы И—НЕ
x
y
0
0
1
0
1
1
37
1
0
1
1
1
0
С х е м а ИЛИ—НЕ
Схема ИЛИ—НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет
отрицание результата схемы ИЛИ.
Связь между выходом z и входами x и
y схемы записывают следующим образом:
, где
, читается как
"инверсия x или y ". Условное обозначение на структурных схемах схемы
ИЛИ—НЕ с двумя входами представлено на рис. 5.5.
Таблица истинности схемы ИЛИ—НЕ
x
y
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Практическая часть.
Урок № 10
Тема: Триггеры, сумматор.
Цели:
Теоретическая часть.
38
Триггер — это электронная схема, широко применяемая в регистрах
компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного кода.
Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует
двоичной единице, а другое — двоичному нулю.
Термин триггер происходит от английского слова trigger — защёлка,
спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще
употребляется термин flip-flop, что в переводе означает "хлопанье". Это
звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность
почти мгновенно переходить ("перебрасываться") из одного электрического
состояния в другое и наоборот.
Самый распространённый тип триггера — так называемый RS-триггер (S и
R, соответственно, от английских set — установка, и reset — сброс). Условное
обозначение триггера — на рис.
Он имеет два симметричных входа S и R и два симметричных выхода Q и
, причем выходной сигнал Q является логическим отрицанием сигнала
.
На каждый из двух входов S и R могут подаваться входные сигналы в виде
кратковременных импульсов (
).
Наличие импульса на входе будем считать единицей, а его отсутствие —
нулем.
На рис. показана реализация триггера с помощью вентилей ИЛИ—НЕ и
соответствующая таблица истинности.
39
S
R
Q
0
0
запрещено
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
хранение бита
Проанализируем возможные комбинации значений входов R и S триггера,
используя его схему и таблицу истинности схемы ИЛИ—НЕ
1. Если на входы триггера подать S="1", R="0", то (независимо от
состояния) на выходе Q верхнего вентиля появится "0". После этого на
входах нижнего вентиля окажется R="0", Q="0" и выход
станет
равным "1".
2. Точно так же при подаче "0" на вход S и "1" на вход R на выходе
появится "0", а на Q — "1".
3. Если на входы R и S подана логическая "1", то состояние Q и
не
меняется.
4. Подача на оба входа R и S логического "0" может привести к
неоднозначному результату, поэтому эта комбинация входных сигналов
запрещена.
Поскольку один триггер может запомнить только один разряд двоичного
кода, то для запоминания байта нужно 8 триггеров, для запоминания килобайта,
соответственно, 8 х 210 = 8192 триггеров. Современные микросхемы памяти
содержат миллионы триггеров.
40
Сумматор — это электронная логическая схема, выполняющая суммирование
двоичных чисел.
Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметикологического устройства компьютера, однако он находит применение также и в
других устройствах машины.
Многоразрядный двоичный сумматор, предназначенный для сложения
многоразрядных
двоичных
чисел,
представляет
собой
комбинацию
одноразрядных сумматоров, с рассмотрения которых мы и начнём. Условное
обозначение одноразрядного сумматора на рис.
При сложении чисел A и B в одном i-ом разряде приходится иметь дело с
тремя цифрами:
1. цифра ai первого слагаемого;
2. цифра bi второго слагаемого;
3. перенос pi–1 из младшего разряда.
В результате сложения получаются две цифры:
1. цифра ci для суммы;
2. перенос pi из данного разряда в старший.
41
Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор есть устройство с
тремя входами и двумя выходами, работа которого может быть описана
следующей таблицей истинности:
Входы
Выходы
Первое слагаемое
Второе слагаемое
Перенос
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Сумма
Перенос
Если требуется складывать двоичные слова длиной два и более бит, то
можно использовать последовательное соединение таких сумматоров, причём
для двух соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является
входом для другого.
Например, схема вычисления суммы C = (с3 c2 c1 c0) двух двоичных
трехразрядных чисел A = (a2 a1 a0) и B = (b2 b1 b0) может иметь вид:
Практическая часть.
42
Пример 1.
Существует 16 логических функций от двух переменных
Построить их логические схемы с помощью логических элементов И,
ИЛИ, НЕ.
Ответ:
F1 (константа 0)
F2 (конъюнкция)
F3 (отрицание импликации Х в Y)
F4 (переменная Х)
F5 (отрицание импликации Y в Х)
F6 (переменная Y)
F7 (отрицание эквивалентности)
F8 (дизъюнкция)
F9 (ИЛИ-НЕ)
43
F10 (эквивалентность)
F11 (отрицание
Y)
F12 (импликация Y в Х)
F13 (отрицание Х)
F14 (импликация Х в Y)
F15 (И-НЕ)
F16 (константа 1)
44
Пример 2
Доказать, что рассмотренная в примере 3.11 логическая схема
является одноразрядным двоичным полусумматором (не учитывается
перенос из младшего разряда).
Ответ: Таблица сложения одноразрядных двоичных чисел X и Y с учетом
переноса в старший разряд выглядит следующим образом:
Слагаемые
Перенос Сумма
X
Y
P
S
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
Из этой таблицы сразу видно, что перенос можно реализовать с помощью
операции логического умножения:
P = F1(X,Y) =X&Y
Получим теперь формулу для вычисления суммы. Значения суммы более
всего совпадают с результатом операции логического сложения (кроме случая,
когда на входы подаются две единицы, а на выходе должен получиться нуль)
Нужный результат достигается, если результат логического сложения
умножить на инвертированный перенос. Таким образом, для определения
суммы можно применить следующее логическое выражение:
S = F2(X,Y) = (XY)&(
)
45
Пример 3.
Построить логическую схему одноразрядного двоичного
сумматора.
Ответ:
Пример 4.
Какое количество базовых логических элементов необходимо для
реализации 64-разрядного сумматора двоичных чисел.
Ответ: Для построения одноразрядного сумматора двоичных чисел необходимо
9 базовых логических элементов. Следовательно: 9  64 = 576.
Пример 5. Какое количество базовых логических элементов составляют
оперативную память современного компьютера объемом 64 Мбайта.
Ответ: Количество базовых логических элементов в триггере необходимо
умножить на количество бит в ячейке оперативной памяти и умножить на
количество ячеек:
4  8  64  1024  1024 = 2 147 483 648
46
Урок № 11
Тема: Переключательная схема.
Цели:
1. Познакомиться со схематическими обозначениями
логических элементов, научиться по формулам строить и
читать электрические схемы
Теоретическая часть.
В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются
электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных
элементов: реле, выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое
дело. Оказалось, что здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры
логики.
Переключательная схема — это схематическое изображение некоторого
устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а
также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается
электрический сигнал.
Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и
разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую
переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае,
когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель
разомкнут, то х равен нулю.
Будем считать, что два переключателя Х и
когда Х замкнут, то
связаны таким образом, что
разомкнут, и наоборот. Следовательно, если
переключателю Х поставлена в соответствие логическая переменная х, то
переключателю
должна соответствовать переменная
.
Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие
логическую переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную
47
нулю — если не проводит. Эта переменная является функцией от переменных,
соответствующих всем переключателям схемы, и называется функцией
проводимости.
Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:
a)
Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно
F=1;
б)
Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно
F=0;
в)
Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит,
когда х разомкнут, следовательно, F(x) = x;
г)
Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит,
когда х замкнут, следовательно, F(x) =
;
д)
Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно,
F(x) = x . y;
е)
48
Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут,
следовательно, F(x)=x v y;
ж)
Схема состоит из двух параллельных ветвей и описывается функцией
.
Две схемы называются равносильными, если через одну из них проходит
ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же
входном сигнале).
Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция
проводимости которой содержит меньшее число логических операций или
переключателей.
Задача нахождения среди равносильных схем наиболее простых является
очень важной. Большой вклад в ее решение внесли российские учёные Ю.И.
Журавлев, С.В. Яблонский и др.
При рассмотрении переключательных схем возникают две основные
задачи: синтез и анализ схемы.
СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к
следующим трём этапам:
1. составлению функции проводимости по таблице истинности,
отражающей эти условия;
2. упрощению этой функции;
3. построению соответствующей схемы.
49
АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к
1. определению значений её функции проводимости при всех возможных
наборах входящих в эту функцию переменных.
2. получению упрощённой формулы.
Практическая часть.
Пример 1. Найдите функции проводимости следующих переключательных
схем:
а)
б)
в)
г)
Ответ.
Пример 2. Проверьте равносильность следующих переключательных схем:

а)

б)

в)
50

г)

д)
Ответ: Равносильны: б), в), д);
неравносильны: а), г).
Пояснения. Обозначим функции проводимости рассматриваемых
переключательных схем как F1 и F2, соответственно. Тогда: а)
;
б)
;
;
в)
;
;
д)
;
;
.
Пример 3. Постройте переключательные схемы с заданными функциями
проводимости:
Пример
4.
Упростите
функции
проводимости
и
постройте
переключательные схемы, соответствующие упрощенным функциям:
а)
б)
51
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
Ответ : Упрощенные функции:
Пример 5. Упростите следующие переключательные схемы:

а)

б)
52

в)

г)
Ответ: Функции проводимости упрощенных схем:
Урок № 12
Тема: Решение логических задач средствами алгебры логики.
Цели:
1. Обучающие:
1. Научить решать логические задачи
2. Развивающие:
1. Развивать логическое мышление
2. Развивать внимание
3. Воспитывающие:
1. Воспитывать дисциплинированность
Теоретическая часть
Обычно используется следующая схема решения:
1. изучается условие задачи;
2. вводится система обозначений для логических высказываний;
3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи
между всеми высказываниями условия задачи;
4. определяются значения истинности этой логической формулы;
5. из полученных значений истинности формулы определяются значения
истинности введённых логических высказываний, на основании которых
делается заключение о решении.
53
Пример. Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о
результатах предстоящего этапа гонок.
— Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым
будет Хилл.
— Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник.
— А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.
Питер, к которому обратился Ник, возмутился:
— Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную
машину.
По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений
двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей
оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?
Решение. Введем обозначения для логических высказываний:
Ш — победит Шумахер; Х — победит Хилл; А — победит Алези.
Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит
никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в
дальнейших рассуждениях не учитывается.
Зафиксируем высказывания каждого из друзей:
Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а
предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание
54
Высказывание
истинно только при Ш=1, А=0, Х=0.
Ответ. Победителем этапа гонок стал Шумахер.
Практическая часть.
Урок № 13, 14
Тема: Решение логических задач табличным способом.
Цели:
1. Обучающие:
1.Научить решать логические задачи
2. Закрепить навыки решения логических задач
2.Развивающие:
1.Развивать внимание
3.Воспитывающие:
2. Воспитывать аккуратность ведения тетради
Теоретическая часть.
При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и
результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных
таблиц.
Пример 1. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов:
Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете,
гобое и трубе.
Известно, что:
1. Смит самый высокий;
55
2. играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;
3. играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;
4. когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;
5. Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.
На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет
двумя инструментами?
Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив
соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или
истинно соответствующее высказывание.
Так как музыкантов трoе, инструментов шесть и каждый владеет только
двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на
инструментах, которыми остальные не владеют.
Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте, ни на трубе, а из
условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое.
Следовательно, инструменты Брауна — альт и кларнет. Занесем это в таблицу,
а оставшиеся клетки столбцов "альт" и "кларнет" заполним нулями:
скрипка
флейта
альт
кларнет
гобой
труба
0
0
1
1
0
0
Смит
0
0
Вессон
0
0
Браун
0
Из таблицы видно, что на трубе может играть только Вессон.
Из условий 1 и 2 следует, что Смит не скрипач. Так как на скрипке не
играет ни Браун, ни Смит, то скрипачом является Вессон. Оба инструмента, на
которых играет Вессон, теперь определены, поэтому остальные клетки строки
"Вессон" можно заполнить нулями:
56
скрипка
флейта
альт
кларнет
гобой
труба
Браун
0
0
1
1
0
0
Смит
0
0
0
Вессон
1
0
0
0
0
0
1
Из таблицы видно, что играть на флейте и на гобое может только Смит.
скрипка
флейта
альт
кларнет
гобой
труба
Браун
0
0
1
1
0
0
Смит
0
1
0
0
1
0
Вессон
1
0
0
0
0
1
Ответ: Браун играет на альте и кларнете, Смит — на флейте и гобое,
Вессон — на скрипке и трубе.
Практическая часть.
Пример 2. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10
лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой
физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть
третьего — регби.
Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра —
единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет
увлечение коллеги.
Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не
встречается ни одна буква их имен.
Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая
профессия.
Решение. Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя — профессия —
увлечение).
Из слов Юры ясно, что он не увлекается туризмом и он не врач. Из слов врача
следует, что он турист.
57
Имя
Юра
Профессия
врач
Увлечение
туризм
Буква "а", присутствующая в слове "врач", указывает на то, что Влад тоже не
врач, следовательно врач — Тимур. В его имени есть буквы "т" и "р",
встречающиеся в слове "туризм", следовательно второй из друзей, в названиях
профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени —
Юра. Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буквы "ю" и
"р". Следовательно, окончательно имеем:
Имя
Юра
Тимур
Влад
Профессия
физик
врач
юрист
Увлечение
бег
туризм
регби
Ответ. Влад — юрист и регбист, Тимур — врач и турист, Юра — физик и
бегун.
Пример 3. Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда,
тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств
— пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто
звонит им в Париж, Рим и Чикаго.
Известно, что:
Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;
парижанка не снимается в кино;
та, кто живет в Риме, певица;
Линда равнодушна к балету.
Где живет Айрис, и какова ее профессия?
Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия 1 и 4, заполнив клетки
цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее
высказывание:
Париж
0
Рим
Чикаго
Пение
Балет
Кино
Джуди
Айрис
58
Линда
0
0
Далее рассуждаем следующим образом. Так как Линда живет не в Риме, то,
согласно условию 3, она не певица. В клетку, соответствующую строке "Линда"
и столбцу "Пение", ставим 0.
Из таблицы сразу видно, что Линда киноактриса, а Джуди и Айрис не
снимаются в кино.
Париж
Рим
Чикаго
0
Пение
Кино
Джуди
0
Айрис
0
Линда
0
Балет
0
0
1
Согласно условию 2, парижанка не снимается в кино, следовательно, Линда
живет не в Париже. Но она живет и не в Риме. Следовательно, Линда живет в
Чикаго. Так как Линда и Джуди живут не в Париже, там живет Айрис. Джуди
живет в Риме и, согласно условию 3, является певицей. А так как Линда
киноактриса, то Айрис балерина.
В результате постепенного заполнения получаем следующую таблицу:
Париж
Рим
Чикаго
Пение
Балет
Кино
0
0
1
Джуди
1
0
0
1
0
0
Айрис
0
1
0
0
0
1
Линда
0
0
1
Ответ. Айрис балерина. Она живет в Париже.
Пример 4.Один из четырех мальчиков испортил выключатель. На вопрос «Кто
это сделал?» были получены такие ответы:
(1) «Это сделал или Миша, или Коля»;
(2) «Это сделал или Витя, или Коля»;
(3) «Это не могли сделать ни Толя, ни Миша»;
(4) «Это сделал или Витя, или Миша».
Можно ли по этим данным установить, кто виновен в поломке выключателя,
если известно, что из четырех высказываний три истинны?
Решение.
59
Обозначим через М высказывание «Виноват Миша», В — «Виноват Витя», К —
«Виноват Коля», Т — «Виноват Толя». Тогда ответы на вопрос о виновнике
поломки описываются следующими формулами алгебры высказываний:
В первые четыре столбца таблицы поместим значения высказываний М, В, К и
Т, в столбцы с 5-го по 8-й поместим значения высказываний (1) — (4). Так как
виноват только один из четырех мальчиков, количество строк в таблице равно
4, причем первые четыре столбца таблицы содержат только по одному
значению «истина» (единицу), а остальные — «ложь» (нуль). Значения в
столбцах с 5-го по 8-й вычисляем в соответствии с записанными формулами.
М
в
к
т
(1)
(2)
(3)
(4)
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
Из таблицы видно, что возможны два варианта одновременной истинности трех
ответов: из четырех строк таблицы две (2-я и 3-я) содержат по три единицы. Но
эти строки соответствуют значениям истинности для высказываний В и К.
Следовательно, виноват или Витя, или Коля, т. е. однозначно ответить на
вопрос «Кто виноват?» при заданных условиях нельзя.
Ответ. По ответам, данным мальчиками, определить виновника нельзя.
Пример 5. Один из трех братьев — Витя, Толя или Коля — разбил окно. В
разговоре участвуют еще два брата — Андрей и Дима.
(1) — Это мог сделать только или Витя, или Толя, — сказал Андрей.
(2) — Я окно не разбивал, — возразил Витя, — и Коля тоже.
(3) — Вы оба говорите неправду, — заявил Толя.
60
(4) — Нет, Толя, один из них сказал правду, а другой сказал неправду, —
возразил Дима.
(5) — Ты, Дима, не прав, — вмешался Коля.
Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что трое из пяти братьев
сказали правду. Кто же разбил окно?
Решение.
Обозначим через В высказывание «Окно разбил Витя», Т — «Окно разбил
Толя», К — «Окно разбил Коля». Тогда высказывания участников разговора
опишутся формулами:
Составим таблицу, поместив в первые три столбца значения высказываний В, Т,
К, as столбцы с 4-го по 8-й — значения высказываний (1) — (5). Так как только
один из братьев может быть виновником неприятного события, то возможны
только три варианта значений для В, Т, К, поэтому таблица содержит три
строки, в каждой из которых в первых трех столбцах одна единица и два нуля.
Значения в остальных столбцах таблицы вычисляем в соответствии с
записанными формулами.
В
Т
к
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
Теперь воспользуемся истинностью утверждения отца о том, что правду
сказали трое из пяти братьев. В соответствии с таблицей это возможно, только
если окно разбил Толя (2-я строка).
Ответ. Окно разбил Толя.
Пример 6. Ключ от замка спрятан в одной из трех шкатулок — черной, белой
или красной, — на крышках которых сделаны надписи:
61
(1) на черной шкатулке: «Ключ не в белой шкатулке»;
(2) на белой шкатулке: «Ключ не в этой шкатулке»;
(3) на красной шкатулке: «Ключ в этой шкатулке».
В какой шкатулке спрятан ключ, если известно, что из трех надписей на
крышках по крайней мере одна истинна и по крайней мере одна ложна?
Решение.
Обозначим через Ч высказывание «Ключ в черной шкатулке», Б — «Ключ в
белой шкатулке», К — «Ключ в красной шкатулке». Тогда надписи на
шкатулках опишутся формулами:
(1) ¬Б;
(2) ¬Б;
(3) К.
Составим таблицу из шести столбцов, в первых трех из которых опишем все
возможности нахождения ключа в одной из шкатулок, а в остальных —
соответствующие значения надписей.
Ч
Б
К
(1)
(2)
(3)
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
Теперь, пользуясь дополнительной информацией о том, что по крайней мере
одна надпись истинна и по крайней мере одна ложна, проанализируем 4-й, 5-й и
6-й столбцы таблицы. Условиям задачи удовлетворяет только первая строка
таблицы. Следовательно, ключ спрятан в черной шкатулке.
Ответ. Ключ спрятан в черной шкатулке.
Рассмотрим два подхода применения табличного метода к решению задач из
серии «Кто где живет?» («Кто кем работает?», «Как составить расписание?»
и т. д.). В задачах такого рода надо найти только одно истинное сложное
конъюнктивное высказывание из всех подобных высказываний, описывающих
возможные варианты. Первый подход основан на так называемом «тупом»
62
переборе, второй — на переборе со стратегией (этот подход достаточно
подробно описан в [2]).
Пример 7. Три друга — Антонов, Вехов и Сомов — решили провести свой
отпуск в трех различных городах — Москве, Санкт-Петербурге и Киеве.
Можно ли определить, в какой город должен поехать каждый из них, если
имеются следующие ограничения:
(1) или Антонов не едет в Москву, или Сомов едет в Санкт-Петербург;
(2) или Антонов едет в Москву и Вехов не едет в Киев, или Сомов едет в
Санкт-Петербург;
(3) если Антонов едет в Киев, то Сомов едет в Москву. При этом Вехов не едет
в Санкт-Петербург;
(4)
если Вехов едет в Москву, то Антонов едет в Санкт-Петербург?
Рассмотреть варианты, когда из этих ограничений:
а) верны все;
б) верны только два;
в) верны только три. Решение.
Обозначим через
AM,
An и
АК
высказывания «Антонов едет в Москву»,
«Антонов едет в Санкт-Петербург» и «Антонов едет в Киев» соответственно.
Аналогично определим высказывания Бм, Бп, Бк, См, Сп, Ск. В этих обозначениях ограничения из условия задачи опишутся формулами:
Составим таблицу, содержащую 13 столбцов: в первые девять поместим
значения
AM,
Вм, См, An, Вп, Сп,
АК,
Вк, Ск, а в столбцы с 10-го по 13-й —
значения, вычисленные по формулам (1) — (4). Единицы и нули в первых
девяти столбцах расставляем так, чтобы перебрать все возможные варианты
поездок друзей в города с учетом того, что каждый едет в какой-нибудь город и
в один город едет только один из друзей. Получим шесть вариантов.
Ам Вм См Аи Вп Сп Ак Вк Ск (1) (2) (3) (4)
63
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
Анализируя таблицу, получаем ответ на вопрос задачи.
Ответ.
а) Можно, так как в случае, когда Антонов едет в Москву, Сомов — в СанктПетербург, а Вехов — в Киев, верны все ограничения (2-я строка таблицы);
б) нельзя, так как ровно два ограничения верны в трех случаях (1-я, 4-я и 6-я
строки);
в) нельзя, так как ровно три ограничения верны в двух случаях (3-я и 5-я
строки).
Приведем решение этой задачи перебором со стратегией, используя табличный метод. Составим таблицу размера 3x3, столбцы которой обозначим
фамилиями друзей, а строки — названиями городов:
Города
Фамилии
Антонов Вехов
Сомов
Москва
Киев
Санкт-Петербург
Для решения задачи в случае а) надо так расставить единицы в этой таблице,
чтобы в каждой ее строке и каждом столбце было ровно по одной единице и
при этом формулы (1) — (4) были бы одновременно истинны. Из (1) выбираем
истинность дизъюнкта Сп, который дает однозначный ответ о Сомове, и ставим
единицу в соответствующую ячейку таблицы. Так как Сомов едет только в
один город и в Санкт-Петербург едет только один из друзей, то заполняем
нулями остальные строки 3-го столбца и столбцы 3-й строки.
64
Города
Фамилии
Антонов Вехов
Сомов
Москва
0
Киев
0
Санкт-Петербург
0
0
1
Формула (2) будет истинна в силу истинности Сп- В формуле (3) конъюнкт ¬Bn
истинен, а для истинности импликации Ак  См мы должны выбрать вариант,
при котором Ак ложно, так как См ложно. Таким образом, истинно должно
быть
AM,
т. е. Антонов должен ехать в Москву. Ставим единицу в со-
ответствующую ячейку таблицы и нули в остальные ячейки по Москве и Антонову. Получаем единственную незаполненную ячейку, соответствующую
поездке Вехова в Киев, в которую и ставим единицу.
Города
Фамилии
Антонов Вехов
Сомов
Москва
1
0
0
Киев
0
1
0
0
0
Санкт-Петербург
1
Проверяем истинность формулы (4). Она следует из ложности Вм. Таким
образом, получили такой вариант ответа: Антонов едет в Москву, Вехов едет в
Киев, Сомов едет в Санкт-Петербург.
Чтобы убедиться в однозначности этого ответа, рассмотрим другие варианты
истинности формулы (1).
Города
Фамилии
Антонов Вехов
Сомов
Москва
0
0
1
Киев
1
0
0
0
1
Санкт-Петербург
0
65
В представленном варианте получаем истинность формул (1) и (4) и ложность
формул (2) и (3). Еще один вариант:
Города
Фамилии
Антонов Вехов
Сомов
Москва
0
1
0
Киев
0
0
1
1
0
Санкт-Петербург
.
0
В этом варианте получаем истинность формул (1), (3) и (4) и ложность (2).
Перебрав таким образом все варианты, мы получим однозначность ответа в
случае а) и невозможность однозначного решения в случаях б) и в).
Мы видим, что в этой задаче первоначальный «тупой» перебор оказался более
эффективным и кратким в оформлении.
Пример 8.При составлении расписания уроков на один день учителя
математики, истории и литературы высказали следующие пожелания:
(1) учитель математики просил поставить его урок в расписании или первым,
или вторым;
(2) учитель истории — или первым, или третьим;
(3) учитель литературы — или вторым, или третьим.
Как составить расписание уроков, чтобы учесть пожелания учителей?
Решение.
Обозначим через M1, M2 и Мз высказывания «Математика поставлена в
расписании первым уроком», «Математика — второй урок», «Математика —
третий урок» соответственно. Аналогично определим И1, И2, И3,Л1, Л2, Л3.
В этих обозначениях пожелания учителей опишутся следующими формулами:
66
Так как каждый предмет должен стоять в расписании данного дня ровно один
раз и можно считать, что в этот день первые три урока должны быть
обязательно заняты этими предметами, то таблицу можно составить по аналогии с предыдущей задачей.
Mi Hi Лг М2 И2 Л2 Мз Из Лз (1) (2) (3)
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1.
1.
1.
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
!_
I
0
1
0
'о
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
В таблице во 2-й и 3-й строках в столбцах для (1) — (3) стоят все единицы.
Следовательно, для удовлетворения всех пожеланий расписание можно составить двумя способами: первый урок — математика, второй — литература,
третий — история или первый урок — история, второй — математика, третий
— литература.
Ответ. Расписание можно составить двумя способами:
1) первый урок —• математика, второй — литература, третий — история;
2) первый урок — история, второй — математика, третий — литература.
Перебор со стратегией выбора варианта истинности формулы (1), аналогичный
решению задачи 4, приводит к составлению двух таблиц размера 3x3, дающих
оба варианта составления расписания.
67
Урок № 15, 16
Тема: Решение логических задач с помощью рассуждений
Цели:
-учить решать задачи с помощью рассуждений;
- сформулировать правила преобразования логических задач;
- воспитывать внимательность, смекалку.
Этим способом обычно решают несложные логические задачи.
Пример 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные
языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый
из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский,
а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе
только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает
каждый из молодых людей?
Решение. Имеется три утверждения:
1. Вадим изучает китайский;
2. Сергей не изучает китайский;
3. Михаил не изучает арабский.
Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают
разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение
ложно.
Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны.
При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит
условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.
68
Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе —
ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает
Сергей.
Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим —
арабский.
Пример 2. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за
закрытыми
дверями
проекты
соглашения
о
полном
разоружении,
представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей
именно проект был принят?", министры дали такие ответы:
Россия — "Проект не наш, проект не США";
США — "Проект не России, проект Китая";
Китай — "Проект не наш, проект России".
Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый
скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал
правду, а другой раз — неправду.
Определите,
представителями
каких
стран
являются
откровенный,
скрытный и осторожный министры.
Решение. Для удобства записи пронумеруем высказывания дипломатов:
Россия — "Проект не наш" (1), "Проект не США" (2);
США — "Проект не России" (3), "Проект Китая" (4);
Китай — "Проект не наш" (5), "Проект России" (6).
Узнаем, кто из министров самый откровенный.
Если это российский министр, то из справедливости (1) и (2) следует, что
победил китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже
справедливы, чего не может быть по условию.
69
Если самый откровенный — министр США, то тогда вновь получаем, что
победил китайский проект, значит оба утверждения российского министра тоже
верны, чего не может быть по условию.
Получается,
что
наиболее
откровенным
был
китайский
министр.
Действительно, из того, что (5) и (6) справедливы, cледует, что победил
российский проект. А тогда получается, что из двух утверждений российского
министра первое ложно, а второе верно. Оба же утверждения министра США
неверны.
Ответ: Откровеннее был китайский министр, осторожнее — российский,
скрытнее — министр США.
Пример 3. Жили-были две фигуры: круг и квадрат. На их улице было 3 дома:
один был с окном и трубой, другой – с окном , но без трубы, а третий – с
трубой, но без окна. Каждая фигура жила в своем доме. Круг и Квадрат
жили в домах с окнами. Квадрат любил тепло и часто топил печку. Кто в
каком доме жил?
Решение.
Ответ: квадрат живет в доме с трубой и окном, круг – с окном.
Пример 4. Встретились три подруги – Белова, Краснова и Чернова. На одной
было черное платье, на другой – красное, на третьей – белое. Девочка в
белом платье сказала Черновой: «Нам троим надо поменяться платьями, а то
70
цвета наших платьев не соответствуют нашим фамилиям». Кто в каком
платье был?
Ответ: Краснова – белое, Чернова – красное, Белова – черное.
Пример 5. В кафе встретились три друга – Белов, Чернов и Рыжов.
«Замечательно, что у одного из нас белые, у другого черные, у третьего
рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», заметил черноволосый. «Ты прав», - сказал Белов. Какой цвет волос у
Рыжова?
Ответ: У Рыжова черные волосы.
Пример 6. Наташа, Валя, Маша, Галя и Лена вырезали из бумаги разные
фигуры. Кто-то из них вырезал круг из бумаги в клетку, кто-то из бумаги в
линейку, кто-то – квадрат из бумаги в клетку, кто-то – квадрат из бумаги в
линейку, а кто-то – флажок из белой бумаги. Галя и Валя вырезали круги.
Галя и Наташа вырезали фигуры из бумаги в клетку. Наташа и Маша
вырезали квадраты. Кто какие фигуры вырезал?
Ответ: Галя – круг в клетку, Валя – круг в линейку, Наташа – квадрат в
клетку, Маша – квадрат в линейку, Лена – флажок.
Пример 7. У Джека – красная, у Питера – не черная, не синяя, не голубая, у
Майкла – черная и синяя, у Алекса есть машины всех цветов, у Бери –
белого и синего. На пикник юноши выехали на своих машинах, причем все
они оказались разного цвета. Кто был на какой машине?
Ответ: Джек – красная, Питер – белая, Майкл –черная, Алекс – голубая, Бери
– синяя.
Пример 8. Катя, Соня, Галя и Тамара родились: 2 марта, 17 мая, 2 июля и 20
марта. Соня и Галя родились в одном месяце, а у Гали и Кати дни рождения
71
обозначаются одинаковыми числами. Кто какого числа и какого месяца
родился?
Ответ: Галя 2 марта, Соня – 20 марта, Катя – 2 июля, Тамара – 17 мая.
Пример 9. Коля, Боря, Вова, и Юра заняли первые четыре места в
соревновании. На вопрос, какие места заняли, трое из них ответили:
1) Коля – ни первое, ни четвертое;
2) Боря – второе;
3) Вова не был последним.
Какое место занял каждый мальчик?
Ответ: Коля -3, Боря – 2, Вова – 1, Юра – 4
Пример 10.Клоуны Ам, Бам и Там вышли на арену со своими собаками,
которых звали Ум, Бум и Гумм. Имя каждой собаки не начиналось на
первую букву имени хозяина. Ам- хозяин Гума. Кто вышел с собакой Ум?
Ответ: Бам
Пример 11. Эдика, Колю и Васю угостили печеньем 3-х сортов: с вареньем, с
орехами и глазурью. Коля не любит орехи, Эдик не ест варенье, а Коля
любит глазурь. Каждый ел печенье только одного сорта. Кто ел печенье с
вареньем?
Ответ: Коля
Пример 12. В семье четверо детей 5,8,13,15 лет. Их имена – Аня, Боря, Валя
и Галя. Одна из девочек ходит в детский сад. Аня старше Бори. Сумма
возрастов Ани и Вали делится на 3. сколько лет Боре?
72
Решение. Одна из девочек ходит в д\с – Боре не 5 лет. Аня старше Бори –
Ане не 5 и не 8. сумма возрастов Ани и Вали делится на 3 15 в сумме с
другим числом дает число не кратное 3, значит Ане – 13 лет.
Ответ: Боре – 8 лет
Урок 17
Тема: Урок контроля знаний
Цели:
- контроль уровня теоретических и практических знаний по теме
«логические основы компьютера»;
- развитие познавательного интереса;
- Воспитывать саомтоятельность
Содержание контрольной работы
1 вариант
1)Пусть А = «президент США — демократ», a В = «пингвины живут в
Антарктиде». Выразите следующие формулы на обычном языке: А  В, ĀВ,
А
2) Составьте таблицы истинности и определите истинность формулы:
((С v В)В)А ВВ
3) Упростите переключательную схему:
4) Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении
банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии
Браун показал, что преступники скрылись на синем «Бьюике», Джонс сказал,
что это был черный «Крайслер», а Смит утверждал, что это был «Форд
Мустанг» и ни в коем случае не синий. Стало известно, что, желая запутать
следствие, каждый из них указал правильно либо марку машины, либо только
ее цвет. Какого цвета был автомобиль?
5) В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна,
Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и
трубе.
Известно, что:
Смит самый высокий;
играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;
играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;
когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;
73
Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.
На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет
двумя инструментами?
2 вариант
1) Пусть А = «волк - травоядное животное», a В = «бензоколонке есть бензин».
Выразите следующие формулы на обычном языке: АВ, vА, Ā В
2) Составьте таблицы истинности и определите истинность формулы:
(Ā v В  С)  А 
3) Упростите переключательную схему:
4) Виновник ночного дорожно-транспортного происшествия скрылся с места
аварии. Первый из опрошенных свидетелей сказал работникам ГИБДЦ, что это
были «Жигули», первая цифра номера машины — единица. Второй свидетель
сказал, что машина была марки «Москвич», а номер начинался с семерки.
Третий свидетель заявил, что машина была иностранная, номер начинался не с
единицы. При дальнейшем расследовании выяснилось, что каждый из
свидетелей правильно указал
либо только марку машины, либо только
первую цифру номера. Какой марки была машина и с какой цифры начинался
номер?
5) Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после
окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а
третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби.
Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра —
единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет
увлечение коллеги.
Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не
встречается ни одна буква их имен.
Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая
профессия.
3 вариант
1) Пусть А = «спутник - это летательный аппарат», a В = «в Африке водятся
жирафы». Выразите следующие формулы на обычном языке: А  , ĀВ, А
В
2) Составьте таблицы истинности и определите истинность формулы:
(XvY)  (ZvX) (ZvY).
3) Упростите переключательную схему:
74
4) Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах
предстоящего этапа гонок.
— Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет
Хилл.
— Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. —
А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.
Питер, к которому обратился Ник, возмутился:
— Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную
машину.
По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений
двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей
оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?
5) Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень
талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении,
балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им
в Париж, Рим и Чикаго.
Известно, что:
Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;
парижанка не снимается в кино;
та, кто живет в Риме, певица;
Линда равнодушна к балету.
Где живет Айрис, и какова ее профессия?
4 вариант
(А vВ) ( vС) С
1) Пусть А = «арбуз — это ягода», a В = «на севере водятся медведи». Выразите
следующие формулы на обычном языке: Ā В, vА, А В
2) Составьте таблицы истинности и определите истинность формулы:
3) Упростите переключательную схему:
4) Внимание Андрея, Дениса и Марата привлек промчавшийся мимо них
автомобиль.
— Это английская машина марки «Феррари», — сказал Андрей.
— Нет, машина итальянская марки «Понтиак», — возразил Денис.
— Это «Сааб», и сделан он не в Англии, — сказал Марат.
Оказавшийся рядом знаток автомобилей сказал, что каждый из них
прав только в одном из двух высказанных предположений.
75
Какой же марки этот автомобиль и в какой стране изготовлен?
5) Пятеро одноклассников - Ирена, Тимур, Камилла, Эльдар и Залим стали
победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике,
литературе и географии. Известно, что: победитель олимпиады по информатике
учит Ирену и Тимура работе на компьютере; Камилла и Эльдар тоже
заинтересовались информатикой; Тимур всегда побаивался физики; Камилла,
Тимур и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием; Тимур и
Камилла поздравили победителя олимпиады по математике; Ирена сожалеет о
том, что у нее остается мало времени на литературу. Победителем какой
олимпиады стал каждый из этих ребят?
Литература
1. Кушниренко А.Г. и др. Информатика. — М.: Дрофа, 1998.
2. Кузнецов А.А. и др. Основы информатики. — М.: Дрофа, 1998.
3. Гейн А.Г., Сенокосов А.И. Информатика. — М.: Дрофа, 1998.
4. Сенокосов А.И., Гейн А.Г. Информатика, VIII—IX кл. школ с
углубленным изучением информатики. — М.: Просвещение, 1995.
5. Шафрин Ю.А. Основы компьютерной технологии. Учебное пособие для
VII—XI классов. — M.: ABF, 1996.
6. Ляхович В.Ф. Информатика для X—XI классов. — М.: Просвещение,
1997.
7. Лебедев Г.В., Кушниренко А.Г. 12 лекций по преподаванию курса
информатики. — М.: Дрофа, 1998.
8. Кирюхин В.М., Лапунов А.В. Окулов С.М. Задачи по информатике.
Международные олимпиады 1989—1996, для факультативов по информатике в
старших классах. — М.: ABF, 1996.
76
9. Каймин В. А. и др. Основы информатики и вычислительной техники. —
М.: Просвещение, 1989.
17. Бордовский Г.А. Информатика в понятиях и терминах. — М.: Просвещение,
1991.
10. Знакомьтесь: компьютер. Пер. с англ. — М.: Мир, 1989.
11. Кершан Б., Новембер А., Стоун Дж. Основы компьютерной
грамотности. — М.: Мир, 1989.
12. Хасэгава Х. Мир компьютеров в вопросах и ответах. В 2-х томах. — М.:
Мир, 1988.
13. Фролов Г.Д., Кузнецов Э.И. Элементы информатики. — М.: Высшая школа,
1989.
14. Власов В.К. и др. Элементы информатики. — М.: Наука, 1988.
15. Дудников Е.Е. Персональные компьютеры. — М.: МНИИПУ, 1988.
16. Чоговадзе Г.Г. Персональные компьютеры. — М.: Финансы и статистика,
1989.
17. Калбертсон Дж.Т. Математика и логика цифровых устройств. — М.:
Просвещение, 1965.
18. Никольская И.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1981.
19. Математическая энциклопедия. Т. 1. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
77
Словарь основных понятий и терминов
Алгебра логики.
Раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их
логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.
.
Логический тип.
Тип данных, представляемый значениями "истина" или "ложь" ("да" или "нет").
Иногда также называется булевским в честь английского математика XIX века
Джорджа Буля.
Логический элемент (вентиль).
Часть электронной логической схемы, выполняющая элементарную логическую
функцию.
Логическое высказывание.
Любoе пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo
или лoжнo.
Система счисления.
Совокупность приемов и правил, по которым записываются и читаются числа.
Электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.
Таблица истинности.
Табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все
возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со
значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих
сочетаний.
Триггер.
Электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надёжного
запоминания одного бита информации. Имеет два устойчивых состояния, которые
соответствуют двоичной "1" и двоичному "0".
78