Б3_Б_6_Теория упругости (новое окно)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ИНЖЕНЕРНАЯ ШКОЛА
«СОГЛАСОВАНО»
«УТВЕРЖДАЮ»
Руководитель ОП
«Прикладная механика»
Заведующая кафедрой
Механики и математического моделирования
(название кафедры)
Озерова Г.П
(подпись)
«28»
Бочарова А.А.
(Ф.И.О. рук.ОП)
июня
(подпись)
2013г.
«28»
(Ф.И.О. зав. каф.)
июня
2013г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (РПУД)
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Направление подготовки: 151600.62 Прикладная механика
Профиль подготовки:
«Математическое и компьютерное моделирование механических систем и процессов»
Форма подготовки (очная)
Инженерная школа ДВФУ
Кафедра механики и математического моделирования
курс 4семестр 7,8
лекции 30(час.)
практические занятия 30час.
лабораторные работы - час.
самостоятельная работа 156час.
всего часов аудиторной нагрузки 60час.
контрольные работы (0)
курсовая работа / курсовой проект -8
зачет –7 семестр
экзамен 8семестр
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями федерального государственного
образовательного стандарта высшего образования, утвержденного приказом Министерства
образования и науки РФ от 9 ноября 2009 № 541
Рабочая программа обсуждена на заседании
моделирования, протокол № 9 от «27» июня 2013 г.
Заведующая кафедрой:к.ф.-м.н., проф. Бочарова А.А.
Составитель: к.ф.-м.н., доцент Иванова Ю.Е.
кафедры
Механики
и
математического
Оборотная сторона титульного листа РПУД
I. Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры:
Протокол от «_____» _________________ 20___ г. № ______
Заведующий кафедрой _______________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
II. Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры:
Протокол от «_____» _________________ 20___ г. № ______
Заведующий кафедрой _______________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
2
АННОТАЦИЯ
Учебная дисциплина «Теория упругости» предназначена для студентов
4 курса, обучающихся по направлению 151600.62 «Прикладная механика»,
профиль «Математическое и компьютерное моделирование механических
систем и процессов». Относится к базовой части профессионального цикла.
Дисциплина «Теория упругости» логически и содержательно связана с
такими курсами как «Механика деформируемого твердого тела», «Детали
машин
и
основы
конструирования»,
«Сопротивление
материалов»,
«Материаловедение», «Строительная механика машин».
Общая трудоёмкость освоения дисциплины составляет 216 часов.
Учебным
планом
предусмотрены
лекционные
занятия
(30
часов),
практические занятия (30часов), самостоятельная работа студента (156
часов). Дисциплина реализуется на 4 курсе в 7,8семестрах.
Цель:научить математической постановке задач теории упругости,
анализу дифференциальных уравнений равновесия и движения и их решению,
общим
частным
методам
их
интегрирования,
основам
тензорного
исчисления.
Задачи:
1. Сформировать необходимые представления о работе конструкций, об
их расчетных схемах, об аналитических способах решения задач расчёта
строительных конструкций на прочность, жёсткость и устойчивость.
2. Формирование знаний о механических системах, происходящих в них
процессах о современных методиках расчётов конструкций в механике
твердого деформированного тела.
3. Формирование у студента правильного представления о роли расчёта
для инженера в поиске новых эффективных и надёжных конструктивных
решений, отвечающих современному уровню развития науки.
В результате изучения дисциплины бакалавр должен знать:
 основные
понятия,
терминологию,
обозначений,
3
систему
общепринятых
 правила оформления конструкторской документации в соответствии с
ЕСКД, методы и средства компьютерной графики,
 размерность используемых в расчетах величин в Международной
системе единиц (СИ),
 основы проектирования и основные методы расчетов на прочность,
жесткость, динамику и устойчивость, долговечность машин и конструкций,
трение и износ узлов машин,
 физико-механические характеристики материалов и методы их
определения,
уметь:
 выполнять
и
читать
чертежи
и
другую
конструкторскую
документацию;
 проводить
расчеты
деталей
машин
и
элементов
конструкций
аналитическими и вычислительными методами прикладной механики, а также
с помощью программных систем компьютерного инжиниринга;
 самостоятельно строить и исследовать математические и механические
модели
технических
систем,
квалифицированно
применяя
при
этом
аналитические и численные методы исследования и используя возможности
современных компьютеров и информационных технологий;
 анализировать полученные результаты расчетов;
 переводить исходные данные и результаты расчетов из системы СИ в
системы, допущенные к применению, и обратно;
владеть:
 навыками
работы
с
современными
системами
компьютерного
инжиниринга (CAE-системами);
 навыками
расчетов
аналитическими
и
численными
методами
прикладной механики деталей машин и элементов конструкций;
 пользоваться компьютерной техникой и другими средствами связи и
информации, включая телекоммуникационные сети;
4
 навыками выбора материалов по критериям прочности, долговечности,
износостойкости.
В
ходе
изучения
дисциплины
студент
должен
овладеть
следующимипрофессиональными компетенциями:
- быть способным выявлять сущность научно-технических проблем,
возникающих в ходе профессиональной деятельности, и привлекать для их
решения соответствующий физико-математический аппарат (ПК-1);
- быть готовым выполнять расчетно-экспериментальные работы и
решать научно-технические задачи в области прикладной механики на
основе достижений техники и технологий, классических и технических
теорий и методов, физико-механических, математических и компьютерных
моделей, обладающих высокой степенью адекватности реальным процессам,
машинам и конструкциям (ПК-3);
- участвовать в проектировании машин и конструкций с целью
обеспечения их прочности, устойчивости, долговечности и безопасности,
обеспечения надежности и износостойкости узлов и деталей машин (ПК-8);
- участвовать во внедрении технологических процессов наукоемкого
производства,
контроля
качества
материалов,
процессов
повышения
надежности и износостойкости элементов и узлов машин и установок,
механических систем различного назначения (ПК-11).
I. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ КУРСА
МОДУЛЬ 1. Понятия, определения, методы и средства решения
задач теории упругости (18 часов)
Раздел I. Основные понятия теории упругости (8 часов)
Тема 1. Сведения из тензорного анализа(2 часа)
Тензоры в декартовом базисе. Лагранжева и эйлерова системы
координат. Криволинейные координаты. Основной и взаимный базисы.
Метрический тензор и его свойства. Определение тензора, действия над
тензорами, операция жонглирования индексами. Инварианты тензора. Тензор
5
Риччи, символы Кристоффеля. Дифференцирование тензорных полей и
интегральные теоремы тензорного анализа.
Тема 2. Тензоры напряжений и деформации (2 часа)
Определение
нелинейного
тензора
деформаций
в
произвольной
криволинейной системе координат, вычисление тензора деформаций через
компоненты вектора перемещений, линейный тензор деформации.
Главные направления и главные значения тензора деформаций.
Инварианты тензора деформаций. Тензор скоростей деформаций. Условия
совместности деформаций (принцип Сен-Венана).
Тема 10. Основы нелинейной теории упругости (4 часа)
Понятие деформации по Коши. Аффинор деформации, полярное
разложение. Меры деформаций Коши, Альманзи и Фингера. Тензоры
деформаций Грина и Альманзи. Логарифмические тензоры деформаций
Генки. Наложение деформаций.
Тензор истинных напряжений Коши. Лагранжево и смешанное описание
напряженного состояния. Тензоры условных напряжений Пиолы—Кирхгофа
первого и второго рода, “энергетический” тензор напряжений Ильюшина.
Уравнения баланса в механике сплошной среды (локальная форма):
уравнения неразрывности, первое и второе уравнения движения Коши.
Представление уравнений движения через тензоры условных напряжений в
лагранжевом описании.
Раздел II. Фундаментальные уравнения теории упругости (10 часов)
Тема 1. Закон Гука(2 часа)
Связь между тензором напряжений и тензором деформаций, закон Гука.
Тождество Бетти. Упругий потенциал для линейного материала. Потенциал
напряжения и деформаций.
Тема 2. Уравнения равновесия упругой среды(2 часа)
Уравнения равновесия в перемещениях (в форме Ляме). Уравнения
равновесия и движения в компонентах напряжений. Зависимости БельтрамиМичелла. Условия совместности деформаций. Связь между напряженным и
6
деформированным состояниями. Упругий потенциал. Формулы Грина.
Дополнительная работа деформации. Формула Кастильяно. Свободная и
внутренняя энергии.
Тема 3. Уравнения движения упругой среды (2 часа)
Закон сохранения количества движения, закон сохранения момента
количества движения, закон сохранения массы. Баланс механической
энергии - теорема "живых сил". Закон сохранения энергии при отсутствии
тепловых явлений. Теорема Клапейрона.
Тема 4. Комплексное представление бигармонической функции(2
часа)
Формулы Колосова Г.В. и Мусхелишвили Н.И. Основные задачи
плоской теории упругости для функции комплексного переменного. Метод
конформных отображений. Теорема Мориса Леви.
Тема 5. Уравнения термоупругости(2 часа)
Классическое и обобщенное уравнения теплопроводности. Соотношения
между деформациями, напряжениями и температурой. Общая постановка
задачи линейной теории термоупругости. Связанная и несвязанная задачи.
Модуль 2. Задачи теории упругости (12 часов)
Раздел I. Решение задач теории упругости (6 часов)
Тема1. Постановка задач теории упругости(2 часа)
Полная система уравнений теории упругости. Прямая и обратная задачи.
Полуобратный метод. Начальные и граничные условия. Формулировки трех
типов краевых задач теории упругости. Принцип Сен - Венана. Теоремы
единственности для стационарных и не стационарных задач теории
упругости.
Тема 2. Вариационные принципы теории упругости (2 часа)
Вариационные принципы в теории упругости. Принцип минимума
потенциальной энергии. Принцип минимума дополнительной энергии
(принцип Кастельяно). Вариационные методы решения задач теории
упругости (Релея Ритца, Галеркина, Треффца, Канторовича).Основные
7
понятия метода конечных элементов.
Тема 3. Плоская и осесимметричная задача теории упругости (2
часа)
Плоская деформация. Уравнения Ляме, условия совместности Сен Венана. Плоское напряженное состояние. Обобщенное плоское напряженное
состояние. Функция напряжений Эри. Краевые условия для функции
напряжения Эри. Функция Эри в полярных координатах. Деформация полого
круглого цилиндра под действием внешнего и внутреннего равномерных
давлений. Задача о тонком вращающемся круглом диске. Изгиб кругового
бруса.
Раздел II. Специальные задачи (6 часов)
Тема 1. Контактные задачи теории упругости (2 часа)
Общая
постановка контактной
задачи.
Граничные
условия
для
контактных задач. Метод сопряжения кусочно голоморфных функций (метод
задачи Римана - Гильберта). Давление на поверхность полубесконечного
тела. Задача Герца о давлении двух соприкасающихся упругих тел.
Тема 2. Преобразование Фурье в решении задач плоской теории
упругости(2 часа)
Бесконечная плоскость деформируемая под действием массовых сил,
действие сосредоточенной массовой силы. Решение бигармонического
уравнения для невесомой полуплоскости. Задача о штампе.
Тема 3. Кручение и изгиб призматических тел (2 часа)
Кручение
призматического
тела
произвольного
односвязного
поперечного сечения. Мембранная аналогия. Кручение эллиптического,
треугольного
и
круглого
профилей.
Изгиб
призматического
тела,
закрепленного одним концом. Центр изгиба. Изгиб призматического тела с
эллиптическим поперечным сечением.
8
II.СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ КУРСА
Практические занятия (30 часов)
Занятие 1. Плоская задача теории упругости (4 часа)
1. Примеры плоской деформации.
2. Использование основных уравнений теории упругости.
3. Рассмотрение обобщенного плоского напряженного состояния.
Занятие
2.Решение
плоской
задачи
в
напряжениях
для
напряжениях
для
прямоугольных областей (4 часа)
1. Постановка задачи. Функция напряжений.
2. Решение в полиномах.
3. Решение задачи в общем случае нагружения.
Занятие
3.
Решение
плоской
задачи
в
прямоугольных областей в тригонометрических рядах (2 часа)
1. Решение уравнения через гиперболические функции.
2. Нахождение значений констант из граничных условий.
Занятие
4.
Решение
плоской
задачи
в
напряжениях
для
прямоугольных областей методом конечных разностей (4 часа)
1. Применение метода конечных разностей.
2. Рассмотрение указанной функции для плоской задачи.
3. Нахождение значений функции на контуре и за контуром.
Занятие 5. Уравнения плоской задачи теории упругости в
прямоугольных координатах (4 часа)
1. Уравнения равновесия.
2. Уравнение неразрывности деформаций.
3. Пример. Расчет балки-стенки.
Занятие 6. Расчет балки-стенки методом сопротивления материалов
(4 часа)
1. Определение изгибающего момента и поперечной силы в сечениях
балки.
2. Применение гипотезы сопротивления материалов.
9
3. Проведение расчета и построение эпюр напряжений на торце балки.
4. Сравнение результатов расчетов теории упругости с решением
сопротивления материалов.
Занятие 7. Плоская задача теории упругости в полярной системе
координат (2 часа)
1. Уравнения
плоской
задачи
теории
упругости
в
полярных
координатах.
2. Полярный радиус точки.
Занятие 8. Расчёт криволинейного бруса (4 часа)
1. Определение напряженного состояния бруса.
2. Построение эпюр напряжений.
3. Сравнение с решением сопротивления материалов аналогичной
задачи.
Занятие 9. Расчет клиновидного бруса (2 часа)
1. Определение напряжений в полярной системе координат.
2. Выполнение проверки, отвечает ли данное решение уравнениям
плоской задачи теории упругости в полярной системе координат и
граничным условиям конструкции.
III. КОНТРОЛЬ ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛЕЙ КУРСА
В качестве текущего контроля успеваемости используется тестирование
по модулю «Понятия, определения, методы и средства решения задач теории
упругости» и контрольная работа «Расчёт пластин».
Вопросы к зачету.
1. Основной и взаимный базисы.
2. Метрический тензор и его свойства.
3. Определение скаляра, вектора и тензора.
4. Действия над тензорами.
5. Операции жонглирования индексами.
6. Скалярное и векторное умножение тензоров.
10
7. Тензор Риччи.
8. Дифференцирование тензоров по координатам.
9. Символы Кристоффеля.
10. Оператор Гамильтона, градиент, дивергенция ротор тензора.
11. Интегральные теоремы тензорного анализа.
12. Описание движения с позиций Лагранжа и Эйлера.
13. Тензор деформаций в различных системах координат.
14. Уравнения совместности деформаций (условия Сен- Венана).
15. Тензор напряжений в различных системах координат.
16. Инварианты тензора деформаций и напряжений.
17. Тензор скоростей деформаций.
18. Уравнения движения и уравнения равновесия упругой среды.
19. Связь между напряжениями и деформациями. Закон Гука.
20. Теорема взаимности Бетти.
21. Теоремы существования и единственности для задач теории
упругости.
22. Уравнения упругого равновесия и движения в различных системах
координат.
23. Уравнения равновесия в перемещениях (уравнения Ляме).
24. Уравнения в компонентах напряжений. Уравнения Бельтрами Митчелла.
25. Принцип Сен - Венана.
26. Интеграл энергии для уравнения движения упругого тела.
27. Теорема Клайперона.
Вопросы к экзамену
1. Задача о растяжении (сжатии) бруса.
2. Задача о растяжении цилиндра под действием собственного веса.
3. Задача о кручении круглого призматического бруса.
4. Задача об изгибе балки цилиндрического сечения.
5. Плоская деформация.
11
6. Плоское напряженное состояние.
7. Обобщенное плоское напряженное состояние.
8. Примеры решения плоских задач теории упругости.
9. Функция напряжений Эри. Уравнения равновесия и краевые условия
для функции Эри.
10. Уравнения равновесия и краевые условия для функции Эри в
полярных координатах.
11. Задача о вращающемся диске.
12. Запись уравнения равновесия и краевых условий в комплексных
переменных.
13. Бесконечная плоскость, деформируемая под действием массовых сил.
Действие сосредоточенной массовой силы.
14. Решение бигармонического уравнения для невесомой плоскости.
15. Задача о штампе.
16. Изгиб тонких пластин. Уравнение Софи Жермен.
17. Краевые условия для пластин.
18. Решение задачи изгиба пластин в декартовых координатах с краевыми
условиями шарнирной опоры по всему контуру.
19. Решение задачи изгиба пластин в декартовых координатах с
краевыми условиями шарнирной опоры по двум противоположным сторонам.
20. Симметричный изгиб круглых пластин. Краевые условия.
21. Вывод интегральных уравнений теории упругости.
22. Фундаментальные решения уравнений теории упругости.
23. Решение Кельвина пространственной задачи теории упругости.
24. Решение Буссинеска первого и второго родов.
25. Давление на поверхность полубесконечного тела.
26. Продольные и поперечные волны.
27. Поверхностные волны Рэлея, Лява.
28. Принцип минимума потенциальной энергии.
29. Принцип минимума дополнительной энергии (принцип Кастильяно).
12
IV. ТЕМАТИКА И ПЕРЕЧЕНЬ КУРСОВЫХ РАБОТ И РЕФЕРАТОВ
Курсовые работы
Тема
1.Определение
параметров
напряженно-деформированного
состояния твердого тела по заданному полю перемещений по вариантам:
Варианты заданий: (w1=(1-x12-x22-x32)e-2-t, w2=(1-x32) -2-tw3=(1-x22-x32)e-7-t)
1 u1=w1,u2=w2,u3=w3
2 u1= w2, u2=w1, u3=w1-w3
3 u1=w1+ w3,u2=w2, u3=w1
106
0,5 ∙ 106 0,15 ∙ 106
σy = ( 15 ∙ 106
2 ∙ 106
0,1 ∙ 106 )
0,15 ∙ 106 0,1 ∙ 106
0
30 ∙ 106 15 ∙ 106 15 ∙ 106
σy = (0,5 ∙ 106 2 ∙ 106
106 )
3 ∙ 106 15 ∙ 106
0
5 ∙ 106 0,1 ∙ 106 0,5 ∙ 106
σy = (0,1 ∙ 106 2 ∙ 106
3 ∙ 106 )
0,5 ∙ 106
106
2 ∙ 106
4 u1=w1, u2=0,5∙ w3, u3= w2
106
0,35 ∙ 106 0,7 ∙ 106
σy = (0,35 ∙ 106
106
0,4 ∙ 106)
0,7 ∙ 106
0,4 ∙ 106 0,4 ∙ 106
5 u1= w2, u2= w2-0,5- w3,
106
0,5 ∙ 106 0,8 ∙ 106
σy = (0,5 ∙ 106 2 ∙ 106 0,6 ∙ 106)
0,8 ∙ 106 0,6 ∙ 106
0
u3=w1
6 u1=w3- w1, u2=w1, u3=w2
106
0,3 ∙ 106 0,15 ∙ 106
σy = ( 0,3 ∙ 106
2 ∙ 106
0,8 ∙ 106 )
0,15 ∙ 106 0,8 ∙ 106
4 ∙ 106
7 u1= w2, u2=w1∙0,7∙ w3,
7 ∙ 106
5 ∙ 106 0,9 ∙ 106
σy = ( 5 ∙ 106
2 ∙ 106 0,5 ∙ 106)
0,9 ∙ 106 0,5 ∙ 106
0
u3=w1
Тема 2. Определение усилий, напряжений и деформаций в элементах,
работающих на растяжение и сжатие. Для статически определимого стержня
ступенчато постоянного сечения
по схеме №1-4 при осевых нагрузках
требуется:
1.Определить опорную реакцию в месте закрепления стержня.
2.Вычислить значения продольных сил и нормальных напряжений в
характерных сечениях и построить эпюры этих величин.
13
3.Найти величины абсолютных удлинений (укорочений) участков
стержня и величину общего удлинения (укорочения) стержня в целом.
4.Определить значения осевых перемещений характерных сечений и
построить эпюру осевых перемещений.
P2
q1
2F
q1
2a
1,5a
2F
4
16
3
15
4F
3F
q1
2a
2
14
1,5a
1
13
P1P1
F
2F
1,5a
2a
3F
q1
1,5a
F
P2
2P2
a
2a
P1
q1
3F
P1
q2
q2
F
1,5a
1,5a
3F
2a
4F
q2
q2
P1
Тема 3. Внутренние усилия и напряжения в стержнях
Для стержней, балок и стержневых систем по заданию (табл.1) при
числовых значениях размеров и нагрузок (табл.2) требуется:
1.Определить опорные реакции;
2.Вычислить величины внутренних усилий в характерных сечениях и
построить эпюры внутренних усилий.
Таблица 1
№
1
53
2
46
3
39
4
32
5
25
6
20
7
9
8
8
Таблица 2
a, м b, м c, м
2,4 1,6 1,0
Р1, кН
20
Р2, кН
20
14
q1, кН/м
20
q2, кН/м
10
m, кН·м
20
V. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Основная литература
1. Л. А. Бойко, Л. С. Ксендзенко. Равновесие твердого и упругого тела.
Уч.
пособие.
Вл-к:
-
Изд-во
ДВГТУ,
2008.
-
155
с.http://lib.dvfu.ru:8080/lib/item?id=chamo:381431&theme=FEFU
2. Е.
М.
Беловицкий.
Сопротивление
материалов.
Механика
деформируемого твердого тела. Уч. пособие. - Вл-к: Изд-во ТГЭУ, 2008. - 92
с.http://lib.dvfu.ru:8080/lib/item?id=chamo:341339&theme=FEFU
3.Краснобаев
К. В. Лекции по основам механики сплошной среды. - М:
Физматлит,
2005.
-
107
с.http://lib.dvfu.ru:8080/lib/item?id=chamo:260573&theme=FEFU
4. Ландау
Л.Д. Лифшиц
упругости.
–
СПб:
Е.М. Теоретическая
Лань,
физика.
2007.
Т.7
Теория
-
264
с.http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=2233
5. Радаев Ю.Н., Лычев С.А. Нелинейная теория упругости как
физическая теория поля: Учебное пособие. - Самара: Изд-во "Самарский
университет", 2005. - 60 с. http://window.edu.ru/resource/886/46886
Дополнительная литература
1. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости; М.: Мир, 2010. - 230 c.
2. Ляв А. Математическая теория упругости; М.: ИЛ, 2009. - 187 c.
3. Новацкий В. Теория упругости; СПб. : Питер, 2010. - 893 c.
4. М. Д. Подскребко. Сопротивление материалов. Основы теории
упругости, пластичности, ползучести и механики разрушения. - Минск:
Вышэйшая школа, 2009. – 672 с.
5. Айзикович
С.М.
Контактные
задачи
теории
упругости
для
неоднородных сред. - М: Физматлит, 2006. - 240 с.
6. Снеддон И. Н., Берри Д. С. Классическая теория упругости. - М: Вуз.
Книга, 2009. - 216 с.
7. РекачВ.Г.Руководство к решению задач по теории упругости. - М:
15
Книжный дом"ЛИБРОКОМ". 2010. - 216 с.
8. Б. Е. Победря. Численные методы в теории упругости и пластичности.
- М: Издательство МГУ, 2005. - 366 с.
9. Сердобольский Л.А. Отражение и преломление плоских продольных
волн: Конспект лекций по части 6 курса "Техническая механика и теория
упругости". - М.: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2003. - 48
с.http://window.edu.ru/resource/320/46320
10.
Чекмарев Д.Т., Жидков А.В. Численное решение трехмерных
динамических задач теории упругости на основе ажурной схемы МКЭ:
Учебно-методическое пособие. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского
госуниверситета, 2010. - 53 с.http://window.edu.ru/resource/277/74277
16