Как раз с массой. Реальная, земная, грешная пружина. 1. Соображение первое. Предметом обсуждения была следующая ситуация. Прижимаем горизонтально расположенную пружину торцом (левым, для определенности) к стене, прикладывая к правому силу F=kx. Эта сила совершает работу, которая переходит в потенциальную энергию пружины. Эту работу можно вычислить даже без интегрирования (учитывая линейную связь F и x, можно F заменить на F/2). Здесь применение формулы работы не вызывает вопросов. Теперь освобождаем пружину. Единственной внешней силой, действующей на пружину, является реакция стены, действующая на левый торец (силу тяжести, понятно, игнорируем в данном контексте). Получит ли пружина горизонтальное ускорение без этой силы? Нет. Совершает ли эта сила работу? Тоже нет. А если да, то что принимать за перемещение точки приложения силы? Я, например, не знаю. Просто применяем закон сохранения энергии. Чем это отличается от автомобиля, с которого все началось, не понимаю. 2. Соображение второе. Строгое описание поведения распрямляющейся реальной пружины – реальная задача теории упругости. Здесь же стоит исключительно механическая задача: понять поведение силы реакции стены. При этом подразумевается, что масса стены бесконечна, а сама стена, как следствие, неподвижна. Для наших целей достаточно упростить ситуацию до следующей. На горизонтальный гладкий стержень, закрепленный на вертикальной стене, насажены две бусинки, соединенные пружинкой. Массы бусинок – 𝑚1, 𝑚2 ; первая касается стены, вторая через пружинку расположена справа от неё. Масса пружинки равна нулю, коэффициент жесткости пружинки – 𝜅, длина недеформированной пружинки – 𝐿, размерами бусинок пренебрегаем. При желании можно рассмотреть более реалистичную модель однородной массивной пружинки, разбив её на N маленьких бусинок, соединенных одинаковыми пружинками, но это не добавит ничего принципиально нового. Координаты пружинок 𝑥1 , 𝑥2 . Координата первой пружинки до момента её отрыва от стенки совпадает с координатой стенки: 𝑥1 = 0. Правую пружинку сжали внешней силой, переместив её из точки 𝑥2 = 𝐿 в точку с координатой 𝑥2 = 𝑙 и удерживаем в этом положении силой, модуль которой равен 𝐹 = 𝜅(𝐿 − 𝑙). В момент времени 𝑡 = 0 освобождаем правую массу и даем возможность пружинке распрямляться. Рассмотрим динамику и энергетику системы. Уравнения движения бусинок: 𝑚1 𝑥̈ 1 = 𝑇 − 𝜅(𝐿 − (𝑥2 − 𝑥1 )) 𝑚2 𝑥̈ 2 = 𝜅(𝐿 − (𝑥2 − 𝑥1 )) Первая бусинка будет неподвижна до тех пор, пока пружинка не распрямиться до первоначальной длины 𝐿. При этом сила будет изменяться в соответствии с положением правой бусинки. Поскольку 𝑥1 = 0, движение правой бусинки легко найти: 𝑥2 = 𝐿 − (𝐿 − 𝑙)𝑐𝑜𝑠𝜔0 𝑡, 2 где 𝜔0 =𝜅 ⁄ 𝑚2 . Сила реакции стены равна: 𝑇 = 𝜅(𝐿 − 𝑙)𝑐𝑜𝑠𝜔0 𝑡. 1 Через время 𝑡0 = 𝜋⁄2𝜔 сила реакции стенки станет равной нулю, как и сила упругости. В 0 дальнейшем единственной силой, продолжающей действовать на обе массы, останется сила упругости пружины. За время расширения пружины ни одна из сил, действующих на прижатую к стене бусинку, работу не совершает. Её энергия остается постоянной. Сила 𝜅(𝐿 − 𝑥2 ), действующая на правую бусинку, за это время совершит работу 𝐿 𝐴 = ∫𝑙 𝜅(𝐿 − 𝑥2 )𝑑𝑥2 = 1⁄2 𝜅(𝐿 − 𝑙)2 = 𝐸полн равную, очевидно, работе, совершенной при первоначальном сжатии пружины внешней силой, и запасенной в форме потенциальной энергии упругой деформации. Нетрудно определить, что к моменту полного распрямления 𝑡0 = 𝜋⁄2𝜔 правая бусинка уже 0 приобретет скорость 𝑣2 = 𝑥2 = 𝜔0 (𝐿 − 𝑙)sin(𝜔0 𝑡) = 𝜔0 (𝐿 − 𝑙), и соответствующую кинетическую энергию: 𝐸2 кин = 1⁄2 𝑚𝑣22 = 1⁄2 𝑚𝜔02 (𝐿 − 𝑙)2 = 1⁄2 𝜅(𝐿 − 𝑙)2 В принципе осталось определить, чем же всё это закончится. В рассматриваемый момент полного распрямления пружины вся энергия заключена в кинетической энергии правой бусинки, левая бусинка неподвижна. Правая энергия, продолжая движение, теперь уже растягивает пружину, создавая с её помощью для себя тормозящую силу, а для левой бусинки силу ускоряющую. Именно эта сила, а не исчезнувшая уже сила реакции стенки и будет совершать работу над левой пружинкой, ускоряя её, и над правой, замедляя. Все это будет 𝑚 𝑚 2 периодически повторяться с периодом 2𝜋⁄𝜔12 , здесь 𝜔12 = 𝜅⁄𝜇 , 𝜇 = 1 2⁄(𝑚 + 𝑚 − 1 2) приведенная масса. Бусинки, совершая гармонические колебания, будут двигаться вдоль стержня, сохраняя постоянной скорость центра масс 𝑚 𝑉цм = 2⁄(𝑚 + 𝑚 ) 𝜔0 (𝐿 − 𝑙). 1 2 При этом кинетическая энергия, 𝑚 𝐸цм= 2⁄(𝑚 + 𝑚 ) 𝐸полн 1 2 связанная именно с движением центра масс, изменяться уже не будет, так как сумма внутренних сил упругости равна нулю, а стенки уже нет. Кинетическая максимальная энергия, связанная с колебаниями бусинок около центра масс, 𝑚 𝐸кол кин= 1⁄(𝑚 + 𝑚 ) 𝐸полн 1 2 будет периодически превращаться в потенциальную энергию пружины и обратно. Реальная пружина именно так и будет себя вести – центр её масс будет двигаться с постоянной скоростью, а сама она будет совершать колебания. Если считать, а это совершенно естественно, вся масса пружины сосредоточена в правой бусинке, то с очевидностью 𝑚 𝐸цм= 2⁄(0 + 𝑚 ) 𝐸полн = 𝐸полн = 1⁄2 𝜅(𝐿 − 𝑙)2 2 Это тот самый закон сохранения, который получен совершенно строго. Работать той самой внешней силе T совершенно не нужно. За неё работает равная ей сила упругости, приложенная к движущейся бусинке. Никаких чудес. 2