4.4. Глобальная матрица жесткости

4.4. ГЛОБАЛЬНАЯ МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ
Для описания напряженно-деформированного состояния упругого тела,
расчлененного на конечные элементы, матрицы жесткости для которых
известны, необходимо все элементы соединить в единую систему, т.е.
выполнить условия равновесия сил и условия неразрывности перемещений в
узлах расчетной схемы. Условия неразрывности перемещений выполняются
автоматически, так как перемещения узлов являются общими для нескольких
конечных элементов примыкающих к узлу. Уравнения равновесия реакций в
дополнительных связях узлов и внешних узловых сил позволяют получить
общую систему уравнений.
Пусть i – любой узел расчетной схемы области S (рис. 4.1) общий для m
конечных элементов. Перемещение любого узла одного из m конечных
элементов приведет к возникновению реакций в связях, наложенных на узел i.
Таким образом, вектор узловых сил узла i однозначно определяется
перемещениями узлов звезды из m конечных элементов, с помощью
соотношений типа
(4.37)
Rix  K11U i  K12V j  K13U j  K14V j  K15U k  K16U k .
Из условий равновесия следует
m
{R }  {F },
e
i
(4.38)
i
e 1
{Rie }T
 {Rix
Riy }
где
– вектор-столбец реакций узла i, возникающих
вследствие перемещений узлов конечного элемента е. Его компоненты должны
быть заданы в общей для всей области S (глобальной) системе координат.
{Fi }T  {Fi x Fi y } – вектор-столбец внешних сил приложенных к узлу i.
В частном, но весьма распространенном, случае, когда оси х, у местных
систем координат всех конечных элементов, параллельны осям х, у общей
системы координат, матрицы жесткости КЭ оказываются одинаковыми для
обеих систем координат (см. (4.10), (4.19), (4.33)). Вектор узловых реакций узла
i, возникающих от узловых перемещений одного из конечных элементов е,
входящих в узел:
t
{Rie } 
[K ][U ] ,
e
ij
e
j
(4.39)
j 1
где t = 3 – число узлов конечного элемента е. [ K ije ] – блок матрицы жесткости
КЭ е; первый индекс блока определяется номером узла i, второй – номером
элемента вектора узловых перемещений, влияние которого учитывается;
{U ej }  вектор перемещений конечного элемента е в глобальной системе
координат.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
67
С учетом (4.39) уравнение равновесия узла i записывается так
m
t
[K ]{U }  {F }.
e
ij
j
i
(4.40)
e 1 j 1
В случае если оси местных систем координат конечных элементов повернуты
относительно осей общей системы координат на угол , формула (4.40)
усложняется
m
t

[ Le ]1[ K ije ][ Le ]{U j }  {Fi } ,
(4.41)
e 1 j 1
где [L ] – известная матрица преобразования координат содержащая
тригонометрические функции угла .
Линейные алгебраические уравнения типа (4.40) или (4.41) составляются
по изложенному алгоритму для всех узлов расчетной схемы области S. Они
позволяют образовать систему линейных алгебраических уравнений
относительно перемещений узлов {U}
[ K ]{U }  {F } ,
(4.42)
где [K] – матрица коэффициентов – глобальная матрица жесткости; {Р} –
вектор узловых сил, эквивалентных внешней нагрузке. Матричное уравнение
(4.42) могло быть получено и из рассмотрения потенциальной энергии системы.
В этом случае глобальная матрица жесткости [K] и глобальный вектор {F}
задаются соотношениями
e
S
K   [ K
e 1
S
e
],
F   [e ] .
(4.43)
e 1
e
При таком подходе матрицы жесткости элементов [K ] должны быть построены
в общей (глобальной) системе координат.
Учет условий закрепления. Система уравнений (4.42) пока не содержит
информации о связях, исключающих перемещение конструкции как жесткого
целого. Математически это выражается тем, что матрица [K] является
вырожденной, т.е. не имеет обратной. Задание соответствующих перемещений
по окончании формирования системы уравнений обеспечивает возможность
получения единственного решения. В общем случае, для упрощения
индексации, размерность матрицы не должна изменятся, т.е. никакие строки
или столбцы не должны исключаться. Существует способ, с помощью
которого, не нарушая указанных требований, можно удовлетворить граничным
условиям. Положим, что имеется некоторая система N уравнений
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
K11
K 21
K 31

K n1

K N1
K13
K 23
K 33

K 3n

KN3
K12
K 22
K 32

K n2

KN2
 K1N
 K2N
 K3N


 K nN


 K NN
 K1n
 K 2n
 K 3n


 K nn


 K Nn
68
 U1   F1 
U   F 
 2  2
 U 3   F3 
   
      .
U   F 
 n  n
     
U   F 
 N  N
(4.44)
В частном, но часто встречающемся случае, когда Ui = 0 (т.е. опора
неподвижна), необходимо проделать следующую процедуру. Пусть U2 = 0;
K11
0
K 31

K n1

K N1
0 K13
1
0
0 K 33


0 K 3n


0 KN3
 K1n

0
 K 3n


 K nn


 K Nn
 K1N

0
 K3N


 K nN


 K NN
 U1   F1 
 0  0 
   
 U 3   F3 
   
      .
U   F 
 n  n
     
U   F 
 N  N
(4.45)
Тогда в (4.4) соответствующие строку и столбец необходимо сделать
нулевыми, а диагональный член – единичным. Соответственно, приравнивается
нулю и F2 . В полученном решении системы уравнений (4.45) перемещение
опоры U2 будет всегда равно нулю, т. е. граничные условия будут выполнены.
Реакция R2 в наложенной связи, исключившей перемещение U2, может
быть найдена по формуле
N
R2  F2 
K
2 jU j
.
(4.46)
j 2
Пример 6. Составить разрешающую систему уравнений для изотропного
однородного диска, изображенного на рис. 4.7 .
Очевидно, что при разбиении диска на три конечных элемента и наличии
пяти узлов (рис. 4.8) порядок глобальной матрицы жесткости 1010. Матрицы
жесткости элементов в местной системе координат (рис. 4.8) построены (см.
пример 5) и представлены в блочной форме.
y
k
y
1
P
a
a
2
IІ
a
IIІ
5
4
І и ІІІ
3
i
II
P
І
y
k
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
69
i
x
Рис. 4.7
j
x
j
x
Рис. 4.8
I
I
I
5 [ K ii ] [ K ii ] [ K ik ] 


K I  4 [ K Iji ] [ K Ijj ] [ K Ijk ]
 
I 
1 [ K kiI ] [ K kI ] [ K kk
]

K 
II
5
4
1
1
4
2
II
II
II
1 [ K ii ] [ K ii ] [ K ik ] 

,
 4 [ K IIji ] [ K IIjj ] [ K IIjk ]
II 
2 [ K kiII ] [ K IIj ] [ K kk
]

4
K 
III
,
3
2
III
III
III
4 [ K ii ] [ K ii ] [ K ik ]

III
III  .
 3 [ K III
]
[
K
]
[
K
ji
jj
jk ]
III 
2 [ K kiIII ] [ K kjIII ] [ K kk
]

Поскольку расположение осей, геометрия и физические свойства
элементов I и III одинаковы, то одинаковы и их МЖ, т. е. [ KiiI ]  [ KiiIII ] .
Построение глобальной матрицы выполним методом, так называемой,
“прямой жесткости”, который основан на применении формулы (4.40).
Приписывание столбцам и сторонам блоков матриц жесткости конечных
элементов номеров глобальных степеней свободы, позволяет определить, какое
место займут эти блоки в глобальной матрице жесткости. Например, в узле 1
соединены два элемента – I и II. Следовательно, в первую строку глобальной
матрицы жесткости (которая приведена ниже, также в блочной форме) должны
попасть блоки матриц жесткости I-го и II-го конечных элементов;
I
[ K II ]  [ K kk
]  [ KiiII ] , и т. д. Поскольку узел 3 связан только с элементом III, то
третья строка глобальной матрицы жесткости заполняется только блоками МЖ
КЭ III.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
70
I
II
[ K ikII ]
0
[ K kjI ]  [ K ijII ] [ K kjI ] U1 F1
1 [ K kk ]  [ K ii ]


II
III
[ K kiII ]
[ K kk
]  [ K kk
] [ K kjIII ] [ K kjII ]  [ K kiIII ]
0  U 2  F2 
2

 

III
III
III


3
0
[ K jk ]
[ K jj ]
[ K ji ]
0 U 3   F3 
 I

4 [ K jk ]  [ K IIji ] [ K Ijk ]  [ K ikIII ] [ K ijIII ] [ K IIjj ]  [ K iiIII ] [ K Iji ] U 4  F4 

 

I
I
I 
5
[K ]
0
0
[K ]
[ K ] U 5  F5 

ik
ij
1
2
3
ii
4

5
Напомним, что каждый элемент векторов {U} и {F} состоит из двух чисел.
Например, {U1}T = {U1 V1}, {F1}T = {P1x P1y } . При принятом нагружении
диска, все элементы вектора {F}, кроме {F3}T = {0
Р}, равны нулю.
Преобразовав, согласно приведенным выше рекомендациям, первую и две
последние строки глобальной матрицы жесткости и тем самым, учтя
закрепление диска, получим разрешающую систему уравнений. Она позволяет
определить вертикальные и горизонтальные перемещения пяти узлов диска.
Для
того
чтобы
этим
методом
получить
сколько-нибудь
удовлетворительные результаты, нужно значительно сгустить сетку по
сравнению с примером 6. Сгущение сетки оборачивается стремительным
повышением порядка разрешающей системы уравнений.
1
2
1
2
4
6
4
5
7
6
8
7
8
9
11
11
13
15
9
14
0,96 q
0,27 q
12
0,56 q
+
15
l = 16 м
РИС. 4.9
14
13
0,46 q
y
0,18 q
10
11
–
–
7
8
1,50 q
16
14
0,21 q
–
12
10
10
13
1
4
5
5
2
3
3
x
1,57 q
Рис. 4.10
При разбивке квадратной балки-стенки на конечные элементы так, как
показано на рис. 4.9, общее число узлов с учетом симметрии задачи – 15.
Вектор неизвестных узловых перемещений содержит 30 компонентов.
Номерами в кружках здесь обозначены конечные элементы. На рис. 4.10
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
71
приведены нормальные напряжения  x и  y определенные для двух
характерных сечений (смотри рис. 3.14).
Если сравнить трудоемкость расчета методом конечных элементов и
методом конечных разностей (в п. 3.7 выполнен расчет близкой к
рассмотренной здесь балки-стенки), то сравнение это не в пользу метода
конечных элементов. Практическая реализация метода возможна только с
применением современных ЭВМ. Отметим и то обстоятельство, что
перемещения определяются для узлов, а напряжения – для конечных
элементов. Достоинство метода состоит в возможности описания как элементов
конструкций сложной геометрии, так и различной мерности, например,
составленных из стержней и пластинок.
4.5. О МЕТОДЕ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Эффективность и сравнительная легкость учета реальных граничных
условий делают метод конечных элементов весьма привлекательным. Самая
слабая его сторона состоит в необходимости дискретизации всего тела, что
неизбежно ведет к большому количеству конечных элементов, а значит и
неизвестных задачи, особенно для тел с удаленными границами. Кроме того
метод иногда приводит к разрывам значений исследуемых величин, поскольку
процедура метода налагает условия неразрывности обычно лишь в узлах.
Метод граничных элементов (МГЭ) в определенных случаях оказывается
более эффективным, чем метод конечных элементов (МКЭ). В МГЭ
рассматривают систему уравнений, включающую только значения переменных
на границах области. Схема дискретизации требует разбиения лишь
поверхности, а не всей области (отсюда название метода), так что область
становится одним сложным большим “элементом” (в смысле МКЭ). МГЭ имеет
преимущества при рассмотрении областей больших размеров. Этим методом
могут быть решены задачи теории упругости, пластичности и т. д. Он особенно
эффективен при рассмотрении систем, часть границы которых находится в
бесконечности. Благоприятны также системы, содержащие полубесконечные
области с ненагруженными участками контура. В этом случае вообще нет
необходимости дискретизировать ненагруженные участки. Очевидно, что
дискретизация границы порождает меньшую систему общих уравнений задачи,
чем дискретизация всего тела. МГЭ уменьшает размерность исходной задачи на
единицу, т. е. для двумерных задач получаются одномерные граничные
элементы, а для трехмерных задач – двумерные граничные элементы на
поверхности. Каждая отдельная подобласть в МГЭ должна быть однородной,
т.е. обладать одинаковыми физическими свойствами. Для многих задач теории
упругости сегодня имеются аналитические решения, отвечающие единичным
возмущениям (например, сосредоточенная сила или момент), приложенным во
внутренних точках однородной неограниченной области. Это, так называемые,
функции влияния, или функции Грина. Примером функции влияния может
служить решение Фламана (3.72) в задаче о действии сосредоточенной силы на
край упругой полуплоскости. Пользуясь принципом суперпозиции и
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
72
функциями влияния, в методе граничных элементов находят такие нагрузки,
прикладываемые на воображаемой границе бесконечного тела, которые
обеспечивают выполнение граничных условий заданного тела.
В качестве примера иллюстрации идеи МГЭ рассмотрим задачу об
одномерном переносе тепла. Оговоримся, что МГЭ вовсе не предназначен для
решения подобных простых задач. На рис. 4.11, (а) показан стержень длиной L
с единичным поперечным сечением. Границами системы являются две крайние
точки Р и Q, в каждую из которых можно поместить лишь по одному
“граничному элементу”. В этих точках поддерживается
p( P)  p (Q)  0.
В некоторой точке В, имеющей координату  и называемой в дальнейшем
точкой приложения нагрузки, находится точечный источник тепла
интенсивности . Положение наблюдаемой точки Р внутри тела задается
координатой x. Изменение тепла p в этой задаче описывается уравнением
Лапласа
d2p
 0.
dx 2

B
Q
P
P
Q
P

x

P

x
B
x
x
L
L
(a)
(б)
Рис. 4.11
Интенсивность потока тепла 
  k
dp
,
dx
где k – коэффициент теплопроводности. Этими уравнениями описывается
также отклонение p(x) и угловой коэффициент  (x ) невесомой нити, на
которую действует сосредоточенная сила .; k – продольное натяжение нити
(рис. 4.11, (б)).
Решение уравнений при заданных условиях на концах, следующее
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
73
L  x
L 
,  x   
при 0  x  ξ,
L k
L
(4.49)
Lx

p x   
,  x   
при ξ  x  L.
L k
L
При x   p(x) одинаково определяется любым из соотношений (4.40), а
 (x) при переходе через точку В меняется скачком. Физический смысл скачка
px   
состоит в разделении потока от источника  на две части – к каждому из
концов Р и Q. Для систем, показанных на рис. 4.11 уравнения (4.49), при   1 ,
определяют “функции влияния” p(х) и  (x ) . Поскольку последние линейны
относительно интенсивности источника  , то мы можем использовать их,
вместе с принципом суперпозиции, при наличии множества источников 1 , 2 ,
3 действующих в точках 1 ,  2 , 3 (рис. 4.12).
Суммирование соответствующих величин, определенных уравнениями (4.49)
для каждой из пар ( i ,  i ) , будет давать искомое значение p(х) и  (x ) всюду
на отрезке PQ.
В этом и состоит принцип применения функций влияния и функций
Грина всех типов.
1
Q
P
B1
1
2
3
B2
B3
P
x
2
3
L
Рис. 4.12


r
Q
P
R

x
L
Рис. 4.13
P
+
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
74
Если линейный элемент неограниченно протяжен, как показано на рис.
4.13, то решение уравнений (4.47) и (4.48), соответствующее данному случаю,
такое:
pr  
где функция

2k
L  r ,
 r   k
dP 
 sqn r ,
dx 2
(4.50)
 1, при r  0, x  
sgn r  
 1, при r  0, x  
Она не определена при r = 0, но r·sqnr = 0.
(4.51)
Решение (4.50) удобно представить в форме:
pP    R G P, R  или P x    ξ G  x,ξ 
 P    R F P, R  или  x     F  x,  
(4.52)
традиционной для МГЭ. Ключевой прием метода состоит в помещении
реальной системы (рис. 4.14, (а)) в неограниченную область для построения
фиктивной системы (рис. 4.14, (б)). Здесь достаточно ввести два “граничных
элемента”: один в точке Р, другой в точке Q. В этих точках размещают
фиктивные источники. Интенсивности источников (P) и (Q) заранее
неизвестны; их влияние на каждую точку Р выражено формулами (4.50), (4.52).
Для любой точки фиктивной системы
*
(а)
Q*
P*

B*
L

 (Q)
(б)
 (P)
P


B
+
x
L
Рис. 4.14
p x   G  x,0 Q   G  x, L  P   G  x,   B ,
(4.53)
  x   F  x,0 Q   F  x, L  P   F  x,   B .
Из требования, чтобы граничные условия в точках Р и Q фиктивной системы
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
75
совпали с условиями реальной задачи, могут быть найдены величины (P) и
(Q). Тем самым задача будет решена.