4 класс 1. Несколько пингвинчиков построились в колонну по росту и двинулись к морю. Каждый следующий пингвин на 2 см ниже предыдущего, а самый маленький пингвинчик на 3 дм ниже самого высокого. Сколько всего пингвинов в колонне? 2. Две внучки и два внука собрали деньги на подарок бабушке: один 30, другой 50, а третий 80 рублей. Четвертый тоже вложился, но его взнос не был наибольшим. Сколько он внес, если девочки и мальчики внесли поровну? Ответ необходимо обосновать 3. Квадратная таблица размером 10×10 заполнена числами так, что сумма любых трех идущих подряд чисел (расположенных сверху вниз или слева направо) равна 10. В левой нижней клетке записано число 1. Какое число записано в правой верхней клетке? 4. Имеется двухместная лодка и 4 пассажира, которые хотят переправиться на другой берег. Один из них робкий, другой бойкий, а двое оставшихся нормальные. Робкий пассажир не плавает в одиночку и не остаётся на берегу в одиночку, а бойкий плавает только в одиночку. Как им переправиться с левого берега на правый? 5. Сорок детей водили хоровод. Из них 20 держали за руку хотя бы одного мальчика и 28 держали за руку хотя бы одну девочку. Сколько девочек было в хороводе? 6. Запишите число 2016 в виде суммы трёх палиндромов: четырехзначного, трёхзначного и двузначного (палиндром – это натуральное число, чья запись одинаково читается слева направо и справа налево, например, 55, 191 или 2002). Решения. 1. Между первым и последним пингвинчиками 30:2=15 промежутков, значит, всего пингвинчиков 15+1=16. 2. Четвертое число в сумме с одним из известных равно сумме двух других известных чисел. Всего возможны 3 различных варианта: 0+80=50+30; 60+50=80+30; 100+30=50+80. Первый и третий из приведенных вариантов противоречат условию задачи. Значит, справедлив второй вариант, и четвертый внук внес 60 рублей. 3. Из условия задачи следует, что, если 4 числа расположены одно за другим, то четвертое равно первому. Отсюда следует, что, двигаясь сначала вправо, а потом вверх и перешагивая через 2 клетки, мы доберемся из левой нижней клетки в правую верхнюю. Таким образом, в правой верхней клетке записано число 1. 4. Сначала переправляются два нормальных пассажира, потом один из них возвращается и перевозит робкого. Затем нормальный пассажир возвращается, и на другой берег переправляется бойкий. После чего возвращается другой нормальный пассажир, и оба нормальных пассажира переправляются на другой берег. 5. Из условия задачи следует, что 20+28-40=8 детей держали за руку и мальчика, и девочку. Тогда 20-8=12 держали двумя руками мальчиков. Сосчитаем руки всех мальчиков. Их количество равно 12·2+8=32; значит мальчиков всего 32:2=16, а девочек 40-16=24. 6. Например, 1111+828+77. 5 класс 1. Жюри решило снять задачу №1, т.к. в разных школах города ученики 5-х классов обучаются по разным программам. Поэтому работа будет оцениваться по 5 оставшимся задачам. 2. Семья состоит из мамы, папы и четверых детей. Средний рост детей –120 см, а родителей – 174 см. Каков средний рост всех членов этой семьи? 3. Имеется пять монет, из которых три настоящие и две фальшивые и прибор, который проверяет одновременно две монеты, причем положительный ответ выдается только в том случае, если обе монеты настоящие. Как за четыре попытки определить настоящие монеты? 4. Пятиклассник Вася Пупкин весь январь готовился к математической олимпиаде. При этом он решал от одной до шести задач в день. Вася утверждает, что за все понедельники он решил на 25 задач больше, чем за все среды, а за все четверги на 25 задач больше, чем за все субботы. Не перепутал ли Вася? 5. Король вписал в каждую клетку квадрата 3×3 числа так, что суммы трех чисел в каждой строке, каждом столбце и обеих диагоналях оказались равны, а потом закрыл все клетки картонками. Барон Мюнхгаузен похвастался, что если откроет всего 4 картонки, он сможет узнать числа во всех клетках квадрата. Стоит ли ему верить? 6. Петя и Вася делят два яблока веса 100 и 150 г и одну грушу. Фрукты они не режут. Сначала делил Петя, взяв себе вдвое больше (по весу). Недовольный Вася переделил по-другому, взяв себе в полтора раза больше Пети. Сколько весит груша? Решения. 1. 2. (120∙3+174∙2):5=141,6. 3. Проверим сначала две монеты. Если они настоящие, то будем проверять по одной оставшейся вместе с одной из настоящих. В этом случае для того, чтобы найти третью настоящую монету, достаточно будет двух проверок. Если первая проверка не даст положительного результата, то проверим еще две монеты. Если и в этом случае ответ будет отрицательный, то пятая монета – настоящая, а в первых двух парах по одной фальшивой. Проверим настоящую монету сначала с какой-нибудь монетой из первой пары, а потом с какой-нибудь монетой из второй пары, и таким образом выявим две фальшивые монеты. Если же во второй паре две настоящие монеты, то проверим вместе с настоящей монетой пятую монету, и, если она окажется фальшивой, проверим настоящую монету вместе с монетой из первой пары и найдем в первой паре еще одну фальшивую монету. 4. Так как Вася каждый день решал от 1 до 6 задач, то за все понедельники он мог решить на 25 задач больше, чем за все среды, лишь в том случае, если в январе было 5 понедельников. Точно также, если Вася не ошибается, то в январе должно быть 5 четвергов. Но ни в одном месяце не может быть одновременно 5 понедельников и 5 четвергов. Значит, Вася ошибается. 5. Мюнхгаузен говорит правду. Он может посмотреть, например, три карточки, лежащие в первой строке и карточку, лежащую в центре. С помощью первых трех карточек мы найдем интересующую нас сумму, затем воспользуемся тем, что во втором столбце и в обеих диагоналях нам известно по два числа (и, кроме того, сумма). Благодаря этому мы определим все числа в третьей строке. Два оставшихся числа мы найдем с помощью первого и третьего столбцов. 6. Так как Петя взял себе фруктов вдвое больше, то груша может весить 50 г (50+150=2·100); 125 г (100+150=2·125); 200 г (100+200=2·150); 500 г (500=2·(100+150)). Из этих 4 чисел нам подходит только 125, так как только в этом случае Вася может распределить фрукты так, как сказано в условии: 125+100 в полтора раза больше, чем 150. 6 класс 1. Вася Пупкин перевозил левые и правые палочки «Твикс». Он арендовал один и тот же поезд на два рейса. В первом рейсе вагонов с левыми палочками было в пять раз больше, чем вагонов с правыми. А во втором рейсе вагонов с левыми и правыми палочками было поровну. Во сколько раз больше левых палочек перевез Вася? 2. Шестиклассник Петя из цифр 0, 1, …, 9 составил пять двузначных чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Чему равна сумма всех пяти чисел, если известно, что количество простых среди них максимально возможное? 3. Путешественник встретил 4 жителей острова лжецов и рыцарей, и спросил каждого из них: «Есть ли среди оставшихся троих лжецы?» Первый ответил «нет», второй и третий – «да», а ответ четвертого путешественник не расслышал. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Кем является четвертый житель – лжецом или рыцарем? 4. «А это вам видеть пока рано», – сказала Баба-Яга своим 33 ученикам и скомандовала: «Закройте глаза!». Правый глаз закрыли все мальчики и треть девочек. Левый глаз закрыли все девочки и треть мальчиков. Сколько учеников всё-таки увидели то, что видеть пока рано? 5. Запишите число 2016 в виде суммы трёх палиндромов: четырехзначного, трёхзначного и двузначного, так, чтобы в записи всех трёх палиндромов было использовано менее пяти цифр. (Палиндром – это натуральное число, чья запись одинаково читается слева направо и справа налево, например, 55, 191 или 2002) 6. Варя захотела раскрасить каждую клетку таблицы 5×8 разными цветами таким образом, чтобы каждый цвет встречался ровно в четырёх рядах (ряды могут быть как вертикальными, так и горизонтальными, а в одном ряду клетки данного цвета могут встречаться несколько раз). Какое наименьшее число цветов ей для этого понадобится? Решения. 1. Левых палочек Вася перевез он перевез 1 1 2 6 2 3 5 1 4 6 2 3 от числа всех вагонов в составе. Правых палочек от числа всех вагонов, то есть в два раза меньше. 2. Двузначные простые числа могут заканчиваться только на 1, 3, 7 и 9 (иначе число делится на 2 или на 5), то есть их не более четырёх. Четыре простых числа можно составить. Например, Петя мог придумать числа 23, 41, 59, 67, 80. Пятое число всегда оканчивается на 0 (т.к. начинаться с нуля число не может). Таким образом, в разрядах единиц стоят цифры 0,1,3,7,9 с общей суммой 20, а в разрядах десятков – оставшиеся числа 2,4,5,6,8 с общей суммой 25 (десятков), и сумма всех пяти чисел всегда равна 270. 3. Если первый – рыцарь, то он сказал правду, значит, второй и третий – тоже рыцари, но их ответ противоречит ответу первого. Значит, первый - лжец. Но тогда второй и третий сказали правду, значит, они рыцари. Если бы четвертый был также рыцарем, то слова первого были бы правдой, чего не может быть. Значит, четвертый житель – лжец. 4. Оба глаза закрыли треть мальчиков и треть девочек, то есть треть всех детей. Значит, две трети детей увидели то, что им видеть не положено. 5. Например, 1111+828+77. 6. Чтобы выполнялось условие задачи, нужно, чтобы в каждый цвет было окрашено либо три клетки в одном ряду, либо четыре клетки, расположенные в пересечении двух вертикальных и двух горизонтальных рядов. При этом ряды длиной 5 нельзя покрыть раскрасками второго типа, поэтому, чтобы покрасить таблицу из 40 клеток, не хватит десяти цветов. А одиннадцатью цветами это можно сделать, например, так. 1 1 1 2 2 2 3 4 5 5 6 6 7 7 3 4 5 5 6 6 7 7 3 4 9 9 10 10 11 11 8 8 9 9 10 10 11 11 8 8