Лекция №5 Тех Мех_2015

Тема 5
Напряженное состояние в точке.
Лекция №5
Плоское напряженное состояние.
5.1 Напряженное состояние в точке.
5.2 Напряжения в наклонных площадках.
5.3 Главные площадки и главные напряжения.
5.4 Экстремальные касательные напряжения.
5.5 Главные деформации.
5.6 Чистый сдвиг.
Основные понятия.
Напряженное состояние в точке, главные площадки и главные напряжения,
экстремальные касательные напряжения, главные деформации, чистый сдвиг.
5.1 Напряженное состояние в точке
Рассмотрим тонкую пластинку, находящуюся под действием произвольной
системы сил, приложенных к кромкам пластинки и лежащих в ее плоскости (рис. 5.1 а).
На поверхности пластинки параллельной плоскости xy напряжения отсутствуют (  z  0
). Так как толщина пластинки мала, то можно считать, что напряжений нет и внутри
пластинки на площадках параллельных этой поверхности. Поэтому в точках пластинки в
общем случае имеет место плоское напряженное состояние.
Рис. 5.1 Примеры плоского напряженного состояния:
панель сборного здания (а), стенка мостовой балки (б)
Вырежем элементарный параллелепипед из пластинок в окрестности произвольной
точки
сечениями, перпендикулярными плоскости пластинки. Со стороны среды,
окружающий параллелепипед, на него действуют в общем случае как нормальные, так и
касательные усилия.
На рис. 5.2 б показаны векторы нормальных и касательных напряжений,
соответствующие этим усилиям. Оси координат совмещены с центром элемента точкой К.
Рис. 5.2 Напряжения на гранях элемента в случае плоского напряженного состояния.
Напряженное состояние малого параллелепипеда является однородным. Это
значит, что в любых его параллельных сечениях напряжения можно считать
распределенными равномерно, а по величине одинаковыми. Поэтому компоненту
элементарной силы на любой площадке получим как произведение напряжения на
площадь площадки, например  xy dy * 1 или просто  xy dy . Будем считать, что
напряжения, действующие по граням параллелепипеда: σx,σy,τxy известны (определяются
в результате решения плоской задачи теории упругости).
Напряженным состоянием в точке называют совокупность напряжений,
действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.
Рис. 5.3 Пучок площадок, проведенных через данную точку
5.2 Напряжения в наклонных площадках.
Разрежем параллелепипед, изображенный на рис.5.2 б, наклонным сечением,
выделив из него треугольную призму (рис. 5.4 а)
Рис. 5.4 Элементарная призма и напряжения на ее гранях-площадках (а), правило знаков
для напряжений (б).
Угол между осью x и внешней нормалью N к наклонной грани считаем
положительным (α>0), если он отсчитывается по ходу часовой стрелки. На гранях
пластинки показаны нормальные и касательные усилия (толщина пластины δ=1).
Составим уравнение: сумма моментов всех сил относительно точки K (т.K -середина
гипотенузы)
(5.1)
dx
dy
( xy dy 1)  ( yx dx 1)
0
2
2
.
Из уравнения (5.1) получим численное равенство закона парности касательных
напряжений
 xy = yх
(5.2)
Вблизи прямого угла касательные напряжения равны по модулю и направлены так,
что либо сходятся к вершине прямого угла, либо расходятся от неё.
Определим напряжения на наклонной грани. При определении напряжений на
наклонной площадке будем придерживаться правила знаков, показанного на рис. 5.4 б:
нормальное растягивающее напряжение считается положительное; касательное
напряжение положительно, если его вектор вращает элемент по ходу часовой стрелки.
Согласно этому правилу знаков, показанные напряжения на рис. 5.5 τxy<0, τyx>0.
Для определения напряжений   ,   спроектируем все силы на оси KN и KT
(рис.5.5).
Рис. 5.5 Треугольная пластинка и напряжения на ее гранях
Сумма проекций всех сил на ось KN:
 ds   x dy sin( )   y dx cos( )  xy dy cos( )  yx dx sin( )  0
Разделим уравнение (5.3) на ds и с учетом:
dx
 cos( ) ,
ds
получим выражение для σα
dy
 sin( ) ,
ds
   x sin 2 ( )   y cos2 ( )   xy sin(2 )
Сумма проекций всех сил на ось KТ:
 ds   x dy cos( )   y dx sin( )   xy dy sin( )  yx dx cos( )  0
(5.4)
(5.5)
(5.6)
Разделим уравнение (5.6) на ds и с учетом (5.4) и (5.2) получим:
 
( x   y )
2
sin( 2 )   xy cos(2 )
(5.7)
Сумма нормальных напряжений на взаимно ортогональных площадках не зависит
от угла α (инвариантна к направлением осей координат) и, следовательно, для данной
точки эта сумма постоянна:
(5.8)
      90   x   y  const
5.3 Главные площадки и главные напряжения.
Выражение (5.5) показывает, что
  является функцией угла наклона площадки α.
Рассмотрим задачу об отыскании площадок, в которых возникают экстремальные для
точки нормальные напряжения. Для этого найдем производную от (5.5) и приравняем её
нулю:
(5.9)
 x  y
d 
 2[
sin(2 )   xy cos(2 )]  0
d
2
Сравнив выражение в квадратных скобках с формулой (5.7), можем равенство (5.9)
переписать в эквивалентной форме:
(5.10)
d 
 2   0
d
Из (5.10) следует, что на площадках где действуют экстремальные нормальные
напряжения, касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называются
главными, а соответствующие им нормальные напряжения – главными
напряжениями в точке.
Из выражения (5.9) получим тангенс двойного угла наклона нормалей главных
площадок:
(5.11)
 2 xy
tg (2 0 ) 
x  y
Выражение (5.11) дает два взаимно перпендикулярных направления с углами  0 и
'
 0'"   0'  90 0 , по которым действуют главные напряжения σmax, σmin.
Для определения значений главных напряжений подставим в формулу (5.5) α=α0
(α0-определено из решения уравнения). После преобразований (см. стр. 348, 349 учебник
«Сопротивление материалов» А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин.) получим:
(5.12)
 
 
 1, 2 
x
y
2
 (
x
)   xy 2
y 2
2
В этой формуле знак плюс соответствует максимальному главному напряжению, а
минус – минимальному. Очевидно, что
(5.13)
1   2   max   min   x   y
Из приведенного вывода следует, что при любых исходных напряжениях σx,σy,τxy в
данной точке существует параллелепипед, на гранях которого действуют только
нормальные напряжения.
Приведем формулу для тангенса одиночного угла наклона искомой главной
площадки, на которой действует  max
(5.14)

 x 
 max  arctg  max
.



 xy


В формуле (5.14) положительный угол отсчитывается от оси x по ходу часовой
стрелки.
Угол между осью x и внешней нормалью к сечению, в котором действует  min
определяется по формуле  min   max  900 .
Простое универсальное правило для направления  max . Направление σmax всегда
проходит через те две четверти осей координат, к которым сходятся стрелки
касательных напряжений τxy,и τyx (см. рис. 5.6)
Рис. 5.6 Направление σmax
5.4 Экстремальные касательные напряжения
Экстремальные касательные напряжения в точке равны полуразности главных
напряжений и действуют на площадках, наклоненных к главным на угол 450.
(5.15)
 1   2  max   min
 max 
2

2
Рис. 5.7 Площадки с экстремальными касательными напряжениями повернуты к
главным на 450.
На площадках, где действуют τmax , нормальные напряжения определяются по
формулам:
(5.16)
x  y
 
 
 45 
0
1
2
2

max
min
2

2
5.5 Главные деформации
В соответствии с формулами обобщенного закона Гука (см. (3.13)) деформации в
направлении главных напряжений вычисляются по формулам:
(5.17)
( max   min )
( min   max )
 max 
E
 min 
E
5.6 Чистый сдвиг.
Если по граням плоского элемента действуют только касательные напряжения
интенсивностью  , то такой вид деформации элемента называется чистым сдвигом
(рис. 5.8)
Рис.5.8 Чистый сдвиг
Таким образом, мы имеем частный случай плоского напряженного состояния:
 x  0, y  0, xy   . По формулам (5.12) получаем главные напряжения:
 max   ,  min   .
(5.18)
По формулам (5.14) находим положение главных сечений:
  max   x 
(  0)
)  arctg (1)  450 ,  min   max  900  1350
  arctg (


 xy



По формулам (5.17) находим главные деформации:
 max  arctg 
 max 
( max   min )  (1   )
(
  max )  (1   )
,  min  min


E
E
E
E
(5.19)
(5.20)
Главные деформации равны по модулю, но противоположны по знаку, следовательно,
относительное изменение объема (см. 3.14) пластины равно нулю
(5.21)
   max   min  0
Таким образом, при чистом сдвиге изменения объема не происходит, а меняется
только форма пластины. Квадратная пластина переходит в ромб (рис. 5.8б).