спецкурс Пространства модулей пучков и GIT

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Пространства модулей пучков и GIT» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины спецкурс
«Пространства модулей пучков и GIT»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
для направления 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Автор программы: Тихомиров А.С., д.ф.-м.н., atikhomirov@hse.ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2014 г.
Председатель С.М. Хорошкин ____________________
Утверждена УС факультета математики
«___»_____________ 2014 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман _____________________
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Пространства модулей пучков и GIT» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра

Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления
010100.68 «Математика» подготовки магистра
Программа разработана в соответствии с:
 ОС НИУ ВШЭ;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра, специализации
Математика, утвержденным в 2014 г

Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Пространства модулей пучков и GIT» являются:





Формирование у слушателей ясного представления о базисных понятиях и основных
методах теории пространств модулей когерентных алгебраических и аналитических пучков;
Знакомство с феноменами, возникающими при построении пространств модулей
полустабильных пучков на проективных многообразиях как факторов в геометрической
теории инвариантов (GIT-факторов);
Углубленное изучение некоторых конкретных тем и методов, в частности, пространств
модулей артиновых пучков на многообразиях произвольной размерности, пространств
модулей векторных расслоений на алгебраических кривых, пространств модулей
полустабильных пучков на алгебраических поверхностях, в частности, на проективной
плоскости, пространств модулей полустабильных пучков на многообразиях высших
размерностей, в том числе на проективном пространстве и многообразиях Фано.
Изучение общих принципов GIT-факторов в алгебраической геометрии.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:




Получить общее представление о предмете «Пространства модулей пучков и GIT», изучить
базисные понятия и основные методы;
Изучить основные методы, принципы и математические структуры, используемые при
построении пространства модулей когерентных пучков на проективных многообразиях как
факторов геометрической теории инвариантов;
Ознакомиться с применением пространств модулей когерентных пучков в других разделах
математики, в частности, в дифференциальной топологии и калибровочной теории;
Быть готовым использовать основные принципы и методы построения пространств модулей
когерентных пучков в последующей профессиональной деятельности в качестве научных
сотрудников, преподавателей вузов.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Пространства модулей пучков и GIT» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
умение
формулировать
результат
Код по
ФГОС/
НИУ
ПК-3
умение строго
ПК-4
доказать утверждение
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Правильно воспроизводит чужие
результаты
Правильно формулирует собственные результаты
Воспроизводит доказательства
стандартных результатов, услышанных на лекциях
Оценивает строгость и корректность научных текстов по пространствам модулей в алгебраической геометрии
Владеет профессиональной
лексикой теории пространств
модулей пучков и геометрической
теории инвариантов
умение грамотно
пользоваться языком
предметной области
ПК-7
Распознает и воспроизводит названия основных математических
структур, возникающих при изучении данной дисциплины, умеет
корректно формулировать утверждения и их доказательства.
Понимает постановки проблем
понимание
корректности
постановок задач
ПК-10
выделение главных
смысловых аспектов
в доказательствах
ПК-16
Адекватно оценивает корректность
использования тех или иных
математических методов,
применяемых при формулировке и
решении задач
Понимает и воспроизводит ключевые идеи, методы и геометрические конструкции, используемые при
построении пространств моду-лей в
алгебраической геометрии
Обосновывает и оценивает мотивировки и логические ходы доказательств основных результатов теории пространств модулей когерентных пучков
Формы и методы обучения,
способствующие формированию
и развитию компетенции
Компетенция формируется в
любом сегменте учебного
процесса
Формируется в процессе
активных занятий (участие в
семинарах, выполнение курсовых
и дипломных работ).
Изучение базового курса
За счет повышения общефизической и математической
культуры в процессе обучения
Продумывание и повторение
услышанного на семинарах и
лекциях. Беседы с
преподавателями во время
консультаций.
Компетенция достигается в
процессе накопления опыта
работы по данной теме и
общения с преподавателями.
Продумывание базовых понятий
курса
Вырабатывается в процессе
решения задач, самостоятельного
чтения, работы над курсовыми
заданиями
Продумывание ключевых
моментов лекций
Вырабатывается путем активного
решения задач, самообразования,
общения с преподавателем
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Пространства модулей пучков и GIT» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра

Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно научных дисциплин и
блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра и магистра направления подготовки
«Математика»
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

алгебраическая геометрия (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата);
Желательно, но не необходимо также знакомство с некоторыми основными понятиями и
результатами из курсов:

пучки и гомологическая алгебра (I-II модули, 3, 4 год бакалавриата);
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
- свободное владение основными понятиями алгебраической геометрии
(аффинные и проективные схемы, проективные и собственные морфизмы схем, обильные
обратимые пучки на схемах);
- знакомство с основными понятиями теории пучков и гомологической алгебры
(пучки, высшие прямые образы пучков, пучковые и глобальные функторы Ext)
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
следующих дисциплин:



№
Дополнительные главы алгебраической геометрии, в особенности,
голоморфная
симплектическая геометрия пространств модулей, пространства модулей с
гиперкэлеровой структурой, преобразование Фурье-Мукаи;
Дифференциальная геометрия и топология алгебраических многообразий, в частности,
соответствие Кобаяши-Хитчина, полиномиальные инварианты Дональдсона, теория
Дональдсона-Томаса.
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Всего
часов
Аудиторные часы
Практиче
Лекц Семи
ские
ии
нары
занятия
Самостоятельная
работа
1
Необходимые сведения из алгебраической
геометрии, представимые функторы, относительный функтор Грассмана Grass
4
6
2
Функтор Quot, Quot-схемы, схемы Гильберта,
плоские морфизмы и пучки, замена базы
8
12
3
Полустабильные пучки на проективных
многообразиях, фильтрация ЖорданаГельдера, S-эквивалентность
4
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Пространства модулей пучков и GIT» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
4
Функтор модулей, копредставимость, схемы
модулей, связь копредставимости с S-эквивалентностью
4
6
5
Действие групп на многообразиях, категорные, хорошие и геометрические факторы,
линеаризация действия группы на пучках
6
9
6
Геометрическая теория инвариантов. GITфакторы по действию редуктивных групп на
проективных многообразиях с линеаризацией
4
6
7
Пространства модулей полустабильных
пучков как GIT-факторы I: конструкция
6
9
8
Пространства модулей полустабильных
пучков как GIT-факторы II: доказательства
основных результатов
8
12
9
Пространство модулей артиновых пучков на
проективном многообразии. Морфизм Гильберта-Чжоу
Пространство модулей полустабильных
расслоений на алгебраической кривой
Модули полустабильных пучков на
проектив-ной плоскости I: пучки ранга 2
Модули полустабильных пучков на
проектив-ной плоскости II: пучки высших
рангов
Модули полустабильных пучков на
проектив-ном пространстве и многообразиях
Фано
Итого:
2
3
6
9
8
12
4
6
8
12
72
108
10
11
12
13

180
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Форма контроля
Решение
домашнего
задания
Промежу- Зачет
точный
Параметры **
1 2 3 4
v v v v Письменное задание, выдаваемое студентам на дом. Срок сдачи
4 письменных домашних задания
задания – от 7 до 14 дней (в зависимости от его объема). Срок
проверки заданий – в течение недели со дня сдачи.
Письменная работа + беседа с преподавателем (всего 1,5-2 часа)
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Пространства модулей пучков и GIT» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра

Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале. Основная форма текущего контроля – решение задач из домашних заданий (2-3 задач по каждой теме).
Задачи подбираются так, чтобы их решение потребовало от студента свободного владения
основными понятиями и умения пользоваться техническими (вычислительными) приемами,
которые изучаются в соответствующем разделе курса. Часть задач повышенной сложности носят
исследовательский характер и предполагают самостоятельное изучение студентами материала, не
излагавшегося на лекциях. Решение некоторых (но не обязательно всех) задач повышенной
сложности является необходимым условием получения отличной оценки за домашнее задание (8-10
баллов).
Экзамен (зачет) включает в себя письменную подготовку, состоящую из одной-двух
распространенных задач, решение которых требует от студента владения как понятийным, так и
техническим аппаратом по изучавшимся в течение модуля темам, а также из одного теоретического
вопроса. На письменную подготовку отводится 1 час во время зачета и 1,5 часа во время экзамена.
Затем студент в очной беседе с преподавателем излагает результаты своей письменной работы и,
при необходимости, отвечает на 1-2 дополнительных вопроса. Время, отводимое на беседу: ½ - 1
час во время зачета, и ½ - 1½ часа во время экзамена.

Порядок формирования оценок по дисциплине
Промежуточная оценка за первый модуль Опромежуточная 1 и накопленная оценка за 2 модуль
Онакопленная 2 рассчитываются аналогично:
Опромежуточная 1 (Онакопленная 2) = 0.5*Отекущий + 0.5*Осам.работа ,
где Отекущий и Осам.работа --- оценки текущего контроля и самостоятельной работы студентов в
соответствующих модулях.
Здесь оценка текущего контроля Отекущий рассчитывается как взвешенная сумма трех форм
текущего контроля, предусмотренных в РУП
Отекущий = 0.5* Од/з + 0.5* Окол/зачет ,
Оценки за домашнее задание Од/з и коллоквиум/зачет Окол/зачет выставляются по 10-балльной
шкале. Способ округления накопленной оценки текущего контроля: в пользу студента.
Студент, получивший низкие оценки текущего контроля, имеет возможность их однократной
пересдачи.
Самостоятельная работа студентов, а именно: изучение по поручению преподавателя
дополнительных материалов, подготовка на их основе сообщений и выступление с ними на
семинарах, а также разбор у доски задач повышенной сложности --- оценивается по 10-бальной
шкале оценкой Осам.работа. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет
в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа окончательно определяется перед
промежуточным (итоговым) контролем.
Накопленная итоговая оценка за весь период изучения дисциплины определяется как среднее
арифметическое оценкок за 1 и 2 модули:
Онакопленная итоговая = 0.5*(Опромежут 1+ Онакопленная 2)
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Пространства модулей пучков и GIT» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Результирующая итоговая оценка за дисциплину учитывает также оценку за экзамен
Оитог.контроль, выставляемую по 10-бальной шкале, и определяется по формуле
Орезультирующая итог = 0,5*Онакопленная итоговая + 0,5*Оитог.контроль
Способ округления накопленной и результирующей итоговых оценок: в пользу студента.
На экзамене(зачете) студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную
задачу), ответ на который оценивается в 1 балл.
Оценка за итоговый контроль - блокирующая, при неудовлетворительной итоговой оценке
она равна результирующей.
В диплом ставится результирующая итоговая оценка по учебной дисциплине.

Образовательные технологии
На лекции обсуждаются ключевые понятия и технические выкладки разбираемой темы,
даются необходимые определения, разбираются поучительные примеры. Студентам на дом даются
задачи для самостоятельного разбора, содержащие как упражнения для усвоения пройденного
материала, так и нестандартные задачи, позволяющие проверить уровень общего понимания
предмета и требующие изучения дополнительного материала. Некоторые задачи предваряют
(продолжают) тематику лекций. Студент сдает задачи как в виде письменных домашних работ, так
и в виде устной беседы с преподавателем.


Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерный список задач по курсу «Пространства модулей пучков и GIT»
Докажите совместимость Quot-схем с заменой базы.
Докажите совместимость схем Grass с заменой базы.
Докажите полустабильность фактора полустабильного пучка по его цоколю.
Покажите, что в точной тройке ненулевых пучков на проективном многообразии
равенство приведенных многочленов Гильберта любых двух из них влечет равенство
приведенных многочленов Гильберта всех трех пучков.
5. Докажите, что категорный фактор Y схемы X по действию алгебраической группы G
копредставляет функтор Mor(-,X)/Mor(-,G). Докажите обратное утверждение.
6. Пусть в обозначениях задачи 5 объект F категории C представляет функтор F∈ C'.
Докажите, что изоморфизм F→Mor(-,F) универсально копредставляет функтор F.
7. Докажите, что если объект F копредставляет функтор F, то F определен однозначно с
точностью до единственного изоморфизма.
8. Докажите, что тривиальное главное расслоение X=YхG представляет функтор Mor(,X)/Mor(-,G).
9. Пусть C - малая категория и C ' := Funct(C^{dual} , Sets) - категория функторов из
C^{dual} в категорию множеств Sets. Докажите, что функтор C → C' : x |→Mor(−, x)
есть вложение категории C в категорию C '.
10. Опишите посредством критерия Гильберта-Мамфорда стабильные и полустабильные
точки в проективизированных пространствах бинарных форм относительно естественных GL-линеаризованных обильных обратимых пучков на этих пространствах.
1.
2.
3.
4.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Пространства модулей пучков и GIT» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Дайте геометрическую интерпретацию полученного описания для форм степени два и
три.
11. Опишите посредством критерия Гильберта-Мамфорда стабильные и полустабильные
точки в проективизированных пространствах тернарных форм степени два, три и
четыре относительно естественных GL-линеаризованных обильных обратимых пучков на этих пространствах.

Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету.
1. Установить связь между схемами Гильберта, относительными грассманианами и
Quot-схемами.
2. Свойства морфизма замены базы для плоских семейств пучков. Применение теорем
Серра А и В к плоским семействам пучков.
3. Доказать существование фильтрации Жордана-Гельдера для полустабильных пучков
на гладком проективном многообразии.
4. Доказать простоту стабильных пучков на гладком проективном многообразии.
5. Доказать, что модулярный морфизм постоянен на классах S-эквивалентности
полустабильных пучков.
6. Показать, что проективное вложение схемы линейным рядом G-линеаризованного
очень обильного обратимого пучка на ней является G-инвариантным.
7. Для редуктивной группы G дать описание нестабильных точек на схеме
относительно G-линеаризованного очень обильного обратимого пучка на схеме в
терминах морфизма факторизации.
8. Получить описание стабильных и полустабильных точек в проективизированных
пространствах бинарных и тернарных форм малой степени относительно естественных GL-линеаризованных обильных обратимых пучков на этих пространствах.

Перечень вопросов к экзамену
1. Представимые функторы, относительный функтор Грассмана Grass.
2. Функтор Quot, Quot-схемы, схемы Гильберта, плоские морфизмы и пучки, замена
базы.
3. Действие групп на многообразиях, категорные, хорошие и геометрические факторы,
линеаризация действия группы на пучках.
4. Полустабильные пучки на проективных многообразиях, фильтрация ЖорданаГельдера, S-эквивалентность.
5. Действие групп на многообразиях, категорные, хорошие и геометрические факторы,
линеаризация действия группы на пучках.
6. Геометрическая теория инвариантов. GIT-факторы по действию редуктивных групп на
проективных многообразиях с линеаризацией.
7. Конструкция пространства модулей полустабильных пучков как GIT-факторы.
8. Пространства модулей полустабильных пучков как GIT-факторы: доказательства
основных результатов.
9. Пространство модулей артиновых пучков на проективном многообразии. Морфизм
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Пространства модулей пучков и GIT» для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
10.
11.
12.
13.

9.1
Гильберта-Чжоу.
Пространство модулей полустабильных расслоений на алгебраической кривой.
Модули полустабильных пучков ранга два на проективной плоскости.
Модули полустабильных пучков высших рангов на проективной плоскости.
Модули полустабильных пучков на проективном пространстве и многообразиях Фано.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Дьёдонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. «Геометрическая теория инвариантов», 146 стр., М.:
Мир, 1974.
2. Huybrechts D., Lehn M. «The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves», 2nd ed. 344 pp.,
Cambridge University Press, 2010.
3. Mumford D., Fogarty J., Kirwan F. «Geometric invariant theory», 3rd enl. ed., 305 pp., Ergebnisse
der Math. 34, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1994.
9.2 Дополнительная литература
4. Friedman R., Morgan J. «Gauge theory and topology of four-manifolds|», 230 pp., Ias/Park City
Mathematics Series, V. 4 American Mathematical Society, 1997.
5. Le Potier J. «Lectures on Vector Bundles», 245 pp. Cambridge Studies in Advanced Mathematics
54: Cambridge University Press, 1997.
6. Mukai S. «An Introduction to Invariants and Moduli», 524 pp., Cambridge Studies in Advanced
Mathematics 81: Cambridge University Press, 2002.
7. Newstead P. «Lectures on introduction to moduli problems and orbit spaces», 100 pp., Tata
Institute of Fundamental Research lectures on mathematics and physics. Springer-Verlag, 1978.
8. Hartshorne R. «Stable vector bundles of rank 2 on P3», Math. Ann., 238 (1978), 229-280.

Справочники, словари, энциклопедии
При освоении курса могут быть полезны материалы по темам, размещенные в онлайн
энциклопедии: http://gufo.me/content_matenc/modulej-problema-52521.html,
http://gufo.me/content_matenc/modulej-teorija-77625.html

Программные средства
Специальные программные средства не предусмотрены.

Дистанционная поддержка дисциплины
Специальные дистанционные ресурсы не предусмотрены. Однако должна быть обеспечена
возможность дистанционных консультаций по электронной почте и-или через skype.
10. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для проведения спецкурса не используется специальное оборудование, кроме, возможно,
компьютерного проектора и системы видеозаписи лекций.