Системы счисления Позиционные и непозиционные системы счисления

Системы счисления
Позиционные и непозиционные системы
счисления
19.2.2015
Системы счисления
Позиционные системы счисления
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая
цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Например, запись «14»
обозначает четырнадцать, «41» — сорок один, при этом для записи числа
используются одни и те же цифры, число зависит от их позиции.
Количество используемых цифр называется основанием системы
счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией.
Двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная
системы с основаниями два, десять, восемь и шестнадцать соответственно
являются позиционными системами счисления.
Продвижением цифры называют её замену на следующую по
величине. Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру
2 значит заменить её на 3. Продвижение старшей цифры в десятичной
системе (это цифра 9) означает замену её на 0.
Для образования целого числа, следующего за любым данным
целым числом, нужно продвинуть крайнюю правую цифру числа, при этом
если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно также
продвинуть цифру, стоящую слева от неё. Если цифры слева нет, вместо
нее ставится ноль и продвигается.
Примеры первых десяти цифр в разных системах счисления:

Двоичная: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001.

Десятичная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Восьмеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Шестнадцатеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (числа от 10 до 15 в
шестнадцатеричной системе изображаются буквами A, B, C, D, E,
F).
Развернутая форма записи чисел
Как уже говорилось выше, основание системы счисления
показывает, сколько цифр используется для записи числа.
Возьмем число в десятичной системе счисления, например 247,32,
и представим его в следующем виде:
247,32 = 2*102 + 4*101 + 7*100 + 3*10-1 + 2*10-2
Мы записали число в развернутой форме, в которой: 2,4,7,3,2 цифры числа.
1
Позиционные и непозиционные системы счисления
10 - основание системы счисления. Показатели степени: 2,1,0,-1,-2
соответствуют номеру позиции цифры в числе.
Основанием системе счисления. может служить любое натуральное
число: 2, 3, 4, и т.д.. Следовательно, возможно бесчисленное множество
позиционных систем.
Пусть q - основание системы счисления;
n - число разрядов целой части числа;
m - число разрядов дробной части числа;
ai - цифра числа;
Aq - само число, тогда развернутую форму для числа
представленного в любой системе счисления можно записать в общем
виде следующим образом:
Aq = an-1*qn-1 + an-2*qn-2 + ... + a0*q0 + a-1*q-1 + a-2*q-2+ ... +a-m*q-m
𝑖
или 𝐴𝑛 = ∑𝑛−1
𝑖=−𝑚 𝑎𝑖 ∗ 𝑞
qi - называется весом цифры числа
Развернутая форма записи числа равна сумме произведений цифры
числа на ее вес1.
Примеры развернутых2 записей чисел в различных системах
счисления:
1. 423,31210 = 4*102 + 2*101+ 3*100+ 3*10-1+1*10-2 +2*10-3
2. 423,3125 = 4*52 + 2*51+ 3*50+ 3*5-1+1*5-2 +2*5-3
3. 423,3128 = 4*82 + 2*81+ 3*80+ 3*8-1+1*8-2 +2*8-3
Примеры перевода чисел из пятеричной и восьмеричной систем
счисления в десятичную систему счисления:
423,3125 = 4*52 + 2*51+ 3*50+ 3*5-1+1*5-2 +2*5-3 = 113,01651210
423,3128 = 4*82 + 2*81+ 3*80+ 3*8-1+1*8-2 +2*8-3 = 275,00407410
Двоичная система счисления
Двоичная система счисления — это позиционная система счисления
с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью
двух символов: 0 и 1.
Двоичную цифру называют битом. Двоичная система счисления
является основной системой представления информации в памяти
компьютера.
1
Вес цифры числа равен степени, где основание степени равно основанию системы счисления, а
показатель номеру позиции цифры в числе.
2
Развернутая форма служит для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную .
Системы счисления
Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел.
Таблица сложения
Таблица вычитания
Таблица умножения
Пример: 1001 + 10 =
1011
Пример: 1111101 10001 = 1101100
Пример: 1111 · 1001
= 10000111
Перевод чисел.
Для перевода десятичного числа в двоичное надо разделить его
на 2 и собрать остатки, начиная с последнего частного.
Пример: 7310 = 10010012
Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это
число представить в виде суммы произведений степеней основания
двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах
двоичного числа.
Пример: требуется перевести двоичное число 10110110 в
десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (разряды считаются,
начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). Представим
его в виде суммы степеней с основанием 2:
101101102 = (1·27)+(0·26)+(1·25)+(1·24)+(0·23)+(1·22)+(1·21)+(0·20) =
128+32+16+4+2 = 18210
Восьмеричная система счисления
Итак, современное «железо понимает» лишь двоичную систему
счисления. Однако человеку трудно воспринимать длинные записи нулей
и единиц с одной стороны, а с другой – переводит числа из двоичной в
десятичную систему и обратно, достаточно долго и трудоемко. В
результате, часто программисты используют другие системы счисления:
восьмеричную и шестнадцатеричную. И 8 и 16 являются степенями
двойки, и преобразовывать двоичное число в них (так же как и выполнять
обратную операцию) очень легко.
3
Позиционные и непозиционные системы счисления
В восьмеричной системе счисления используется восемь знаковцифр (от 0 до 7). Каждой цифре соответствуют набор из трех цифр в
двоичной системе счисления:
000 – 0
011 – 3
110 – 6
001 – 1
100 – 4
111 – 7
010 – 2
101 – 5
Для преобразования двоичного числа в восьмеричное достаточно
разбить его на тройки и заменить их соответствующими им цифрами из
восьмеричной системы счисления. Разбивать на тройки нужно начинать с
конца, а недостающие цифры вначале заменить нулями. Например:
1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135
Т. е число 1011101 в двоичной системе счисления равно числу 135 в
восьмеричной системе счисления. Или 10111012 = 1358.
Обратный перевод. Допустим, требуется перевести число 1008 (не
заблуждайтесь! 100 в восьмеричной системе – это не 100 в десятичной) в
двоичную систему счисления.
1008 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002
Перевод восьмеричного числа в десятичное можно осуществить по
уже знакомой схеме:
6728 = 6 * 82 + 7 * 81 + 2 * 80 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
1008 = 1 * 82 + 0 * 81 + 0 * 80 = 6410
Шестнадцатеричная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления, на сегодняшний день
является наиболее популярным средством компактной записи двоичных
чисел. Очень широко используется при разработке и проектировании
цифровой техники.
Как следует из названия, основанием данной системы является
число шестнадцать 16 или в шестнадцатеричной системе 1016. Чтобы не
было путаницы, при записи чисел в системах счисления отличных от
десятичных, справа внизу от основной записи числа будем указывать
основание системы счисления. Раз основанием системы является число
шестнадцать, значит, для изображения чисел нам потребуется
шестнадцать цифр. Первые десять цифр берутся из, привычной нам,
десятичной системы (0,1,..,8,9) и еще добавляются шесть букв латинского
алфавита (a,b,c,d,e,f) . Например, в шестнадцатеричном числе 3f7c2 буквы
"f" и "c" являются шестнадцатеричными цифрами.
Системы счисления
Ниже представлена таблица соответствия кодов чисел четырех
систем счисления.
Двоичный код числа представлен 8 разрядами - 1 байтом.
0 0 00000000 0 8 10 00001000 8
1 1 00000001 1 9 11 00001001 9
2 2 00000010 2 10 12 00001010 A
3 3 00000011 3 11 13 00001011 B
4 4 00000100 4 12 14 00001100 C
5 5 00000101 5 13 15 00001101 D
6 6 00000110 6 14 16 00001110 E
7 7 00000111 7 15 17 00001111 F
Для записи 1 цифры шестнадцатеричного числа в двоичной системе
счисления требуется 4 разряда.
Алгоритм перевода чисел из 2-ой в 16-ую систему счисления
Примеры:
1.
1001 11102 = 9E16
2.
0010 00102 = 2216
Алгоритм перевода чисел из 16-ой в 2-ую
Для перевода из 16-ой в 2-ую используется обратное правило.
Примеры:
Перевод из 16-ой в 2-ую
17316 = 1011100112
Перевод из 16-ой в 10-ую
17316 = 1*162 + 7*161 + 3*160 = 256 + 112 + 3 =
(используем
развернутую
37110
форму)
Перевод из 10-ой в 16-ую:
37110= А16?
37110= 17316
Непозиционные системы счисления
Непозиционная система счисления — это такая система счисления,
в которой положения цифры в записи числа не зависит величина, которую
она обозначает. Система может накладывать определенные ограничения
на порядок цифр3. Примером непозиционной системы счисления является
римская система, в которой в качестве цифр используются латинские
буквы.
3
расположение по возрастанию или убыванию
5
Позиционные и непозиционные системы счисления
Отличие позиционной системы счисления от непозиционной
В позиционных системах счисления значение цифры зависит от
местонахождения в записи числа. Например, в числе 12 цифра 1 означает
десять, а в числе 122 — сотню. В непозиционных системах счисления, где
бы цифра не находилась, она имеет одно и то же значение. Например, в
римской системе счисления IV и XI цифра I означает единицу.
Римская система счисления
Римская система счисления - непозиционная система счисления, в
которой для записи чисел используются буквы латинского алфавита:
1 - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500 - D и 1000 - M.
Для правильной записи больших чисел римскими цифрами
необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем
десятков и, наконец, единиц.
Натуральные числа записываются при помощи повторения этих
цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они
добавляются (принцип сложения), если же меньшая – перед большей, то
меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее
правило применяется только во избежание четырехкратного повторения
одной цифры. Например, I, Х, С ставятся соответственно перед Х, С, М для
обозначения 9, 90, 900 или перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400.
Например, VI = 5 + 1 = 6, IV = 5 - 1 = 4 (вместо IIII); XIX = 10 + 10 – 1 = 19
(вместо XVIIII), XL = 50 - 10 = 40 (вместо XXXX).
В настоящее время римская система счисления не применяется,
за некоторыми исключениями:

Обозначения веков (XV век и т.д.), годов н. э. (MCMLXXVII т. д.)
и месяцев при указании дат (например, 1. V.1975).

Обозначение порядковых числительных.

Обозначение производных небольших порядков, больших
трёх: yIV, yV и т.д.

Обозначение валентности химических элементов.
Системы счисления
Текст создан по материалам сайтов:
Непозиционные системы счисления
http://yandex.ru/yandsearch?text=%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0
%20%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B8%20%D1%87%D0%B8
%D1%81%D0%BB%D0%B0&lr=54&suggest_reqid=93071886314242416002186
3225929774&csg=2861%2C7230%2C18%2C18%2C0%2C1%2C0
Шестнадцатеричная система счисления
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D8%E5%F1%F2%ED%E0%E4%F6%E0%F2%E5%F
0%E8%F7%ED%E0%FF_%F1%E8%F1%F2%E5%EC%E0_%F1%F7%E8%F1%EB%E5
%ED%E8%FF
Формы записи чисел
http://gimn1567.ru/metod/less_qb/6.htm
7
Позиционные и непозиционные системы счисления
Оглавление
Позиционные системы счисления ................................................................... 1
Развернутая форма записи чисел ................................................................. 1
Двоичная система счисления ....................................................................... 2
Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел.............................. 3
Перевод чисел. ........................................................................................... 3
Восьмеричная система счисления................................................................ 3
Шестнадцатеричная система счисления ...................................................... 4
Непозиционные системы счисления ............................................................... 5
Отличие позиционной системы счисления от непозиционной .................. 6
Римская система счисления .......................................................................... 6
Список использованных материалов .............................................................. 9
Системы счисления
Предметный указатель использованных сайтов
Н
Непозиционные системы счисления ............................................................... 7
Ф
Формы записи чисел ........................................................................................ 7
Ш
Шестнадцатеричная система счисления ......................................................... 7
9