Задачи с параметрами - Издательство "Легион".

Автор: Коннова Е.Г.
Название предметной области: математика и информатика.
Название элективного курса: Задачи с параметрами.
1. Пояснительная записка
1.1. Цели реализации программы:



Расширить математический кругозор обучающихся, возможности тренинга логического
мышления, математического рассуждения и исследования на материале заданий
повышенного уровня сложности.
Освоить межпредметные понятия, универсальные учебные действия, обеспечивающие
успешное изучение данного раздела математики на повышенном уровне, обеспечить
готовность применять математические знания в нестандартных ситуациях.
Обеспечить обучающимся, имеющим высокую мотивацию, условия для развития и
применения математических способностей.
1.2. Задачи реализации программы:






ознакомить обучающихся с методами научного познания и методами исследования
математических объектов на примере решения задач с параметрами;
обеспечить высокий уровень усвоения обучающимися раздела «Задачи с параметром»
через систему подготовительных усложняющихся заданий, образцов наиболее
рациональных решений;
создать в процессе изучения предмета условия для развития личности, способностей,
удовлетворения познавательных интересов, самореализации обучающихся, в том числе
одаренных, предпрофильной подготовки;
создать в процессе изучения предмета условия для формирования у обучающихся
опыта самостоятельной учебной деятельности;
ознакомить обучающихся с методами научного познания и методами исследования
математических объектов на примере решения задач с параметрами;
способствовать овладению обучающимися такими общенаучными понятиями, как
проблема, гипотеза, теоретический вывод.
2. Общая характеристика элективного курса «Задачи с параметром».
На государственной итоговой аттестации, как в 9, так и в 11 классе, обязательно встречаются
задания с параметром. Кроме того, такие задачи --- обязательная часть олимпиад различного
уровня. С помощью этих задач проверяются не базовые умения выпускников, а уровень
математического и логического мышления и навыки исследовательской деятельности.
Некоторые учащиеся при подготовке к экзаменам боятся даже браться за такие задачи,
уверенные, что ничего у них не получится. В школьных учебниках задачи с параметром относятся к
заданиям повышенного уровня сложности, часто они приводятся без решения, и на уроках им
уделяется мало внимания. При этом часто нужно просто применить свой здравый смысл и
потренироваться на простых задачах, тогда решать задачи с параметром станет пусть не всегда
легко, но возможно.
Настоящий курс поможет учащимся подготовиться к решению таких задач на примере
математического материала 7--9 классов.
2.1. Основные разделы программы учебного предмета, курса.
1. Решение линейных уравнений и неравенств с параметром.
2. Графики уравнений и неравенств на координатной плоскости Оху и плоскости Оха.
3. Решение квадратных уравнений с параметром. Формулы Виета .
4. Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек.
5. Дробно-рациональные уравнения. Отбор корней.
6. Использование свойств функций и алгебраических выражений.
2.2. Организация учебной деятельности обучающихся предполагается по форме
преимущественно урочная, в том числе фронтальная, групповая и индивидуальная.
Фронтальная работа предполагает совместную деятельность всей группы и обеспечивает общее
продвижение вперед: преподаватель для всей группы излагает учебный материал, ставит задачу,
а учащиеся решают одну проблему, овладевают общей темой.
При групповой работе учебная группа разделяется на несколько групп, которые выполняют
одинаковые или различные задания. Состав и численность этих коллективов непостоянные.
Групповая работа создает благоприятные воспитательные возможности, приучает к коллективной
деятельности.
При индивидуальной работе каждый обучающийся получает свое задание, которое выполняет
независимо от других, такая работа имеет особое значение для формирования потребности в
самообразовании и выработки умений самостоятельно работать.
2.3. Перечень методов организации учебной деятельности, включая методы интенсивного
обучения (групповая работа), с обоснованием выбора методов.
Для изучения нового материала предполагается применять такие уроки как урок-лекция,
проблемный урок, урок-исследование. Уроки закрепления знаний и совершенствования умений и
навыков планируется проводить в виде семинара, практикума. При проведении урока обобщения
и систематизации учитель указывает источники получения дополнительной информации, а также
типичные задачи и практические упражнения, ставит проблемы, предлагает задания и работы
творческого характера.
Для развития коммуникативных компетенций планируется использовать и такие типы уроков, как
урок-соревнование, консультация, взаимообучение – работа в парах, игра – математический бой.
Для лучшего усвоения и погружения в материал можно использовать лекции-визуализации в
форме подачи лекционного материала средствами ТСО (например, презентаций). Чтение такой
лекции сводится к развернутому или краткому комментированию просматриваемых визуальных
материалов и позволяет сократить время за счет готовых выкладок. (Не следует злоупотреблять
такой формой из-за опасности поверхностного восприятия материала.)
В части преемственности содержания элементов образования, темы курса изучаются после
прохождения соответствующих тем основной программы по математике. Обеспечение
проектной деятельности проходит в рамках организации конференции в конце учебного года по
представлению и составлению сборника авторских задач с решениями по различным темам курса
силами обучающихся.
3. Место курса в учебном плане
Возможно проведение курса в рамках компоненты учебной программы, формируемой
участниками образовательного процесса или за счет часов в рамках внеурочной деятельности.
3.1. Количество часов на освоение курса на уровне основного общего образования – всего 68 ч.
3.2. Освоение учебного курса планируется в рамках 8 и (или) 9 класса, количество часов в каждом
из периодов обучения - 1 ч в неделю в 8 и в 9 классах или 2 ч в неделю в 9 классе, отведенных на
изучение данного курса.
3.3. Организация промежуточной аттестации и итоговой аттестации по итогам освоения курса.
Аттестация обучающихся возможна в рамках системы «зачет – не зачет» по итогам участия в
конференциях в середине и конце изучения курса или в рамках накопительной системы баллов за
участие в семинарах, практических работах и подготовке, организации и (или) проведении
конференций и участие в составлении сборника авторских задач с параметром.
Если учитель желает аттестовать обучающихся по 5-бальной шкале, он может сам
разработать проверочные работы, но при этом нужно помнить, что весь материал курса
находится за рамками базового уровня обучения и неусвоение материала курса не может
препятствовать продолжению обучения.
3.4. Описание связи с содержанием учебного предмета математика.
К 8 классу обучающиеся уже изучили линейные уравнения и неравенства, координатную
плоскость и преобразования многочленов, поэтому разумно начинать изучение элективного курса
с модулей 1 «Решение линейных уравнений и неравенств с параметром», 2 « Графики уравнений
и неравенств на координатной плоскости Оху и плоскости Оха». После прохождения квадратных
уравнений и квадратичной функции органично в рамках курса следует расширение модуля 2 на
новый вид графиков и изучение модуля 3 «Решение квадратных уравнений с параметром.
Формулы Виета». В 9 классе появляется возможность приступить к изучению модулей 4
«Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек», 5 «Дробнорациональные уравнения. Отбор корней», 6 «Использование свойств функций и алгебраических
выражений».
3.5. На освоение элективного учебного курса требуется не менее 68 часов, что позволит
осуществить поддержку приоритетного направления обучения в образовательной области
математика по выбору учащихся, в рамках организации системы предпрофильной подготовки.
4. Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения учебного предмета, курса
4.1. Личностные и метапредметные результаты
№
модуля
Образовательный результат
Подлежит ли
промежуточной
аттестации
4.1.1. Метапредметные результаты:
1. Регулятивные
выдвигать версии решения проблемы, формулировать
гипотезы, предвосхищать конечный результат, формулировать
учебные задачи как шаги достижения поставленной цели
деятельности, анализировать существующие и планировать
будущие образовательные результаты
определять действие(я) в соответствии с учебной и
познавательной задачей, составлять алгоритм действий,
составлять план решения проблемы (выполнения проекта),
определять потенциальные затруднения при решении задачи и
находить средства для их устранения;
оценивать свою деятельность, аргументируя причины
достижения или отсутствия планируемого результата, принимать
решение в учебной ситуации и нести за него ответственность
2. Познавательные
строить рассуждение от общих закономерностей к частным
явлениям и от частных явлений к общим закономерностям,
строить рассуждение на основе сравнения предметов и
явлений, выделяя при этом общие признаки;
излагать полученную информацию, интерпретируя ее в контексте
решаемой задачи; самостоятельно указывать на информацию,
нуждающуюся в проверке, предлагать и применять способ
проверки достоверности информации
делать вывод на основе критического анализа разных точек
зрения, подтверждать вывод собственной аргументацией или
самостоятельно полученными данными
создавать модели с выделением существенных характеристик
объекта для определения способа решения задачи в
соответствии с ситуацией
3. Коммуникативные
работать индивидуально и в группе: находить общее решение и
разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета
интересов; формулировать, аргументировать и отстаивать свое
мнение
высказывать и обосновывать мнение (суждение) и запрашивать
мнение партнера в рамках диалога
использовать компьютерные технологии для решения
информационных и коммуникационных учебных задач, в том
числе: написание текстов, создание презентаций
4.1.2. Личностные результаты:
Здесь и далее на
усмотрение
учителя
Да - нет
да
1
Готовность и способность к переходу к самообразованию на
основе учебно-познавательной мотивации, в том числе
готовности к выбору направления профильного образования с
учетом устойчивых познавательных интересов.
2
Готовность и способность вести диалог с другими людьми и
достигать в нем взаимопонимания. Сформированность
коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве
со сверстниками и учителем.
3
Формирование компетенций анализа, проектирования,
организации деятельности
4.2. Предметные результаты
нет
нет
да
I. Учащийся научится:
№
Предметный результат
классы
1
Строить графики линейной, квадратичной, обратнопропорциональной функций, графики круга и
окружности
Использовать параллельный перенос при
построении графиков
Получат представление о применении формул Виета
и разложении на множители квадратного трехчлена
Исследовать и решать простые уравнения с модулем
и с параметром (пример |x|=a+3).
8
Подлежит ли
промежуточной
аттестации
да
8
да
8, 9
да
9
да
Подлежит ли
промежуточной
аттестации
Здесь и далее на
усмотрение
учителя
2
3
4
II. Учащийся получит возможность научиться:
№
Предметный результат
классы
1
Изображать графики неравенств, пользоваться
методом областей
8,9
2
Решать линейные уравнения и неравенства с
параметром
Решать и исследовать квадратные уравнения и
неравенства с параметром
Применять свойства функций (четность,
монотонность, множества определения и значений
функции, ограниченность) при решении задач с
параметром
Решать задачи с параметром, содержащие модуль и
кусочные функции
Решать и исследовать дробно-рациональные
уравнения
8
3
4
5
6
8
9
8,9
9
5. Содержание учебного предмета, курса
1. Решение линейных уравнений и неравенств с параметром.
Алгоритм решения линейных уравнений. Анализ и решение простейших линейных уравнений с
параметром. Равносильность алгебраических преобразований, в том числе условие возможности
деления обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Ветвление в задачах с параметром.
Решение линейных уравнений с параметром. Алгоритм решения систем линейных уравнений.
Решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными с параметром. Алгоритм решения
линейных неравенств. Анализ и решение простейших линейных неравенств с параметром.
Линейные неравенства с параметром и их системы.
2. Графики уравнений и неравенств на координатной плоскости Оху и плоскости Оха.
Уравнение прямой, угловой и свободный коэффициент как параметры. Взаимное расположение
прямых на плоскости. Системы линейных уравнений. График функции y = k/x. Окружность.
Парабола. Кусочные функции. Задачи с параметром, решаемые с помощью графиков уравнений.
Графики неравенств. Уравнение полуплоскости. Уравнение круга. Метод областей. Задачи с
параметром, решаемые с помощью графиков неравенств.
3. Решение квадратных уравнений с параметром. Формулы Виета .
Квадратные уравнения с параметром. Аналитический и графический способы исследования
квадратичного выражения (уравнения). Задачи о числе корней квадратного уравнения с
параметром. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Выделение полного квадрата.
Прямая и обратная теоремы Виета.
4. Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек.
Непосредственный поиск корней и ограничения. Сравнение корней с нулём. Расположение
корней квадратичной функции относительно числа (чисел).
5. Дробно-рациональные уравнения. Отбор корней.
Простейшие дробно-рациональные уравнения и алгоритм их решения. Простейшие дробнорациональные уравнения с параметром. Отбор корней – аналитический и графический методы.
Применение метода областей.
6. Использование свойств функций и алгебраических выражений.
Использование симметрии в задачах, где требуется единственность или нечётность числа корней
уравнения. Использование монотонности функций. Использование ОДЗ и оценка множества
значений выражения. Метод оценки. Задачи с модулем.
6. Тематическое планирование
8 класс
34 ч
Модуль 1. Решение линейных уравнений и неравенств с параметром.
10 ч
№
1
Темы
Количество дата
часов
1
Алгоритм решения линейных уравнений. Анализ и решение
простейших линейных уравнений с параметром
2
Равносильность алгебраических преобразований, в том числе
1
условие возможности деления обеих частей уравнения на
одно и то же выражение. Ветвление в задачах с параметром.
3
Решение линейных уравнений с параметром.
1
4
Алгоритм решения систем линейных уравнений. Решение
1
систем линейных уравнений с двумя неизвестными с
параметром.
5
Алгоритм решения линейных неравенств. Анализ и решение
1
простейших линейных неравенств с параметром.
6
Линейные неравенства с параметром и их системы.
1
7
Обобщающий урок по модулю 1.
1
8
Практикум по решению задач по модулю 1.
1
9
Практикум по составлению задач по модулю 1.
2
Модуль 2. Графики уравнений и неравенств на координатной плоскости Оху и плоскости Оха.
11 ч
1
Уравнение прямой, угловой и свободный коэффициент как
1
параметры.
2
Взаимное расположение прямых на плоскости. Системы
1
линейных уравнений.
3
График функции y = k/x. Окружность. Парабола.
1
4
Кусочные функции. Задачи с параметром, решаемые с
1
помощью графиков уравнений.
5
Графики неравенств. Уравнение полуплоскости. Уравнение
1
круга
6
Метод областей. Задачи с параметром, решаемые с помощью
2
графиков неравенств.
7
Обобщающий урок по модулю 2.
1
8
Практикум по решению задач по модулю 2.
1
9
Практикум по составлению задач по модулю 2.
2
Модуль 3. Решение квадратных уравнений с параметром. Формулы Виета .
9ч
1
Квадратные уравнения с параметром.
1
2
Аналитический и графический способы исследования
1
квадратичного выражения (уравнения).
3
Задачи о числе корней квадратного уравнения с параметром.
1
4
Разложение квадратного трёхчлена с параметром на
1
множители. Выделение полного квадрата.
5
Прямая и обратная теоремы Виета.
1
6
Обобщающий урок по модулю 3.
1
7
Практикум по решению задач по модулю 3.
1
8
Практикум по составлению задач по модулю 3.
2
Проект: Конференция-представление части 1 сборника задач с параметрами.
4ч
1
Подготовка к проведению конференции
3
2
Конференция
1
9 класс
34 ч
Повторение материала курса, изученного в 8 классе
3ч
1
Линейные уравнения с параметром
1
2
Квадратные уравнения с параметром
1
3
Графики уравнений и неравенств на координатной плоскости
1
Оху и плоскости Оха.
Модуль 4. Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек.
9ч
1
Непосредственный поиск корней и ограничения.
2
2
3
Сравнение корней с нулём.
Расположение корней квадратичной функции относительно
числа (чисел).
4
Обобщающий урок по модулю 4.
5
Практикум по решению задач по модулю 4
6
Практикум по составлению задач по модулю 4.
Модуль 5. Дробно-рациональные уравнения. Отбор корней.
8ч
1
Простейшие дробно-рациональные уравнения и алгоритм их
решения.
1
2
1
1
2
1
2
Простейшие дробно-рациональные уравнения с параметром
1
3
Отбор корней – аналитический и графический методы.
1
4
Применение метода областей.
1
5
Обобщающий урок по модулю 5.
1
6
Практикум по решению задач по модулю 5.
1
7
Практикум по составлению задач по модулю 5.
2
Модуль 6. Использование свойств функций и алгебраических выражений.
10 ч
1
Использование симметрии в задачах, где требуется
1
единственность или нечётность числа корней уравнения.
2
3
4
5
6
7
8
Использование монотонности функций.
Использование ОДЗ и оценка множества значений выражения.
Метод оценки.
Задачи с модулем.
Обобщающий урок по модулю 6.
Практикум по решению задач по модулю 6.
Практикум по составлению задач по модулю 6.
1
1
1
2
1
1
2
Проект: Конференция-представление части 2 сборника задач с параметрами.
4ч
1
Подготовка к проведению конференции
3
2
Конференция
1
6.1. Характеристика основных видов деятельности обучающихся (на уровне учебных действий).
Модуль 1.
Выполнять преобразования выражений, выражать в уравнениях и неравенствах неизвестную
через параметр. Решать уравнения и неравенства вида f(a)x=g(a), f(a)x< (>)g(a), исследовать
линейные уравнения и неравенства на число решений. Соотносить множества решений
неравенств с заданными числовыми промежутками. Решать задачи вида «найти а , при которых
уравнение (неравенство) имеет корень (решение) заданного вида (удовлетворяющий условию)».
Решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными и системы линейных неравенств с
одним неизвестным с параметром, исследовать число их решений.
Модуль 2.
Строить графики уравнения прямой, воспринимая угловой и свободный коэффициент как
параметры. Определять взаимное расположение прямых на плоскости, применять графический
способ решения систем линейных уравнений. Строить график функции y = k/x в зависимости от
значения параметра. Строить графики окружностей и параболы в зависимости от значений
коэффициентов. Строить графики кусочных функций. Решать задачи с параметром с помощью
графиков уравнений. Строить множества точек, являющихся графиками неравенств, в том числе
полуплоскости и круги. Пользоваться методом областей при решении задач с параметром.
Модуль 3.
Решать квадратные уравнения с параметром. Исследовать квадратичное выражение (уравнение)
аналитическим и графическим способами. Решать задачи о числе корней квадратного уравнения с
параметром. Раскладывать квадратный трёхчлен с параметром на множители, выделять полный
квадрат. Применять прямую и обратную теоремы Виета для определения коэффициентов и
корней квадратного уравнения с параметром.
Модуль 4.
Находить корни квадратного уравнения и искать параметры с учетом ограничений. Решать задачи
с параметром, в которых нужно сравнивать корни с нулём с помощью формул Виета. Решать
задачи с параметром, в которых нужно учитывать расположение корней квадратичной функции
относительно числа (чисел).
Модуль 5.
Решать простейшие дробно-рациональные уравнения с учетом области допустимых значений
переменных. Применять аналитический и графический методы при отборе корней. Применять
метод областей для исследования уравнения на число решений.
Модуль 6.
Определять наличие и использовать симметрию в задачах, где требуется единственность или
нечётность числа корней уравнения (системы уравнений). Использовать монотонность функций
для доказательства единственности точки пересечения функций. Использовать ограниченность
некоторых выражений (функций) при решении уравнений (неравенств). Решать несложные задачи
с модулем и параметром, строить графики уравнений с модулем и применять их при решении
задач с параметром.
Проектная работа
В ходе практикума по составлению задач по каждому модулю в группах сменного состава
составлять условия и писать решения задач с параметрами по теме модуля, обсуждать их в
пределах своей группы и отбирать из них задачи для сборника.
В ходе подготовки к проекту: «Конференция-представление сборника задач с параметрами»
осуществлять набор текста задач (в доступном редакторе)по соответствующему разделу сборника,
собирать отдельные темы в сборник по разработанному плану. Осуществлять подготовку
презентаций по разработанным разделам. Выступать на конференции.
4ч
7. Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение образовательного процесса
7.1. Учебно-методическое обеспечение
7.1.1.2. Перечень учебных пособий, изданных организациями, входящими в перечень
организаций, осуществляющих издание учебных пособий, которые допускаются к
использованию в образовательном процессе.
№
1
2
3
Название
Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА.
Задания с параметром
Задачи с параметром и другие
сложные задачи
Задачи с параметрами
Авторы
Коннова Е.Г.
Козко А.И., Чирский
В.Г.
Горнштейн П.И.,
Полонский В.Б.,
Якир М.С.
Издательство
Ростов-на-Дону, Легион,
2014
М.:МЦНМО, 2007
Илекса, 2007
Курс построен на основе книги [1].
В книге [2] возможно использование некоторых заданий §§ 1.1, 1.2, 1.5, 1.6,1.10.
В книге [3] возможно использование некоторых заданий главы 1 и главы 2 §§ 2, 3.
7.2. Материально-техническое обеспечение
7.2.1. Учебное оборудование и компьютерная техника
№
I.
II.
Наименование учебного
оборудования
Учебное оборудование
Оргтехника для доски (мел,
фломастеры и т.п.)
Экран (телевизор) для проектора
Темы, в изучении которых
Применяется данное оборудование
Классы
компьютеры
Практикум по составлению задач.
8, 9
Подготовка и проведение
конференции.
Лекции –визуализации при объяснении 8, 9
нового материала.
постоянно
Лекции –визуализации при объяснении
нового материала.
Обобщающие уроки по модулям.
Проведение конференции.
Линейка, циркуль
постоянно
Компьютерная техника и интерактивное оборудование
мультимедийный проектор
Принтер или копировальный центр
или «школьная типография»
Обобщающие уроки по модулям.
Проведение конференции.
Печать сборника задач с параметрами,
авторами которого являются
обучаемые
8, 9
7.2.1. Основные электронные образовательные ресурсы, применяемые в изучении курса
Свободные образовательные Интернет-ресурсы
1. Открытый банк заданий по математике ГИА, http://mathgia.ru
2. Единое окно доступа к образовательным ресурсам,
http://window.edu.ru/resource/092/54092
3. Физмат - класс: образовательный портал, Автор/создатель: Гущин
Д.Д., http://fmclass.ru