Ключи - cdo

Ответы, указания, решения к олимпиадным задачам
8 класс
1. Путешественник 1ч 30 мин ехал со скоростью 10 км/ч на верблюде и
потом 3 ч – на осле со скоростью 16 км/ч. Какой была средняя скорость
путешественника на всем пути?
Решение.
1) Средняя скорость на всем пути:  ср 
so s1  s 2

.
t o t1  t 2
2) Пройденный путь на первом этапе движения: s1  1t1 ;
s1  10
км
1,5ч  15км.
ч
3) Пройденный путь на втором этапе движения: s2   2t 2 ;
s 2  16
км
 3ч  48км.
ч
4) Средняя скорость на всем пути:  ср 




so s1  s 2 63км
км


 14 .
t o t1  t 2
4,5ч
ч
Критерии оценивания:
Запись формулы средней скорости движения – 1 балл
Нахождение пройденного пути на первом этапе движения – 1балл
Нахождение пройденного пути на втором этапе движения – 1балл
Математические расчеты, перевод единиц измерения – 2 балла
2. В то утро попугай Кешка, как обычно, собирался сделать доклад о
пользе банановодства и бананоедства. Позавтракав 5 бананами, он взял
мегафон и полез на «трибуну» - на верхушку пальмы высотой 20м. На полпути
он почувствовал, что с мегафоном ему не добраться до вершины. Тогда он
оставил мегафон и полез дальше без него. Сумеет ли Кешка сделать доклад,
если для доклада нужен запас энергии в 200 Дж, один съеденный банан
позволяет совершить работу в 200 Дж, масса попугая 3 кг, масса мегафона 1 кг?
Решение.
1) Запас энергии, который дают пять съеденных бананов:
E o  5  200 Дж  1000 Дж.
2) Для того, чтобы попугаю Кеше забраться на пальму с мегафоном,
потребовалось бы: E1  M  mgh энергии: E1  3кг  1кг  10
Н
 20 м  800 Дж.
кг
3) После этого у него оставалось 200 Дж энергии на то, чтобы сделать
доклад.
4) Ответ: Кешка сумеет сделать доклад, он даже мог и не оставлять
мегафон на полпути.
Критерии оценивания:
 Нахождение общего запаса энергии от съеденных бананов – 1 балл
 Энергия, затраченная для поднятия тела на высоту h – 2 балла
 Энергия, затраченная Кешкой для подъема на трибуну и выступления
– 1 балл
 Математические расчеты, правильная формулировка окончательного
ответа – 1 балл
3. В воду массой 1 кг, температура которой 10 оС, вливают 800г кипятка.
Какой станет конечная температура смеси? Удельная теплоемкость воды
4200
Дж
.
(кг  0 С )
1)
2)
3)
4)
Решение.
В теплообмене участвуют два тела: холодная вода получает
количество теплоты: Q1  cm1 t  t1 .
Горячая вода отдает количество теплоты: Q2  cm2 t 2  t .
Согласно уравнению теплового баланса: Q1  Q2.
Следовательно, cm1 t  t1   cm2 t 2  t   t m1  m2  m1 t1  m2t 2 .
5) t 
m1t1  m2 t 2
; t  50 o C.
m1  m2
Критерии оценивания:
 Составление уравнения количества теплоты, полученного холодной
водой – 1 балл
 Составление уравнения количества теплоты, отданного горячей
водой – 1балл
 Запись уравнения теплового баланса – 2балла
 Решение уравнения теплового баланса (запись формулы в общем
виде, без промежуточных вычислений) – 5 баллов
 Математические расчеты – 1 балл
4. В реке плавает плоская льдина толщиной 0,3 м. Какова высота
выступающей над водой части льдины? Плотность воды 1000
льда 900
кг
, плотность
м3
кг
.
м3
Решение.
1) Условия плавания льдины: FT  FA .
2) Масса льдины: m   л SH ; объем погруженной части льдины (объем
вытесненной воды): V  S ( H  h).
3) Поскольку FT  mg  FT   л SHg ;
4) FA   в gVпчт  FА   в gS ( H  h).
5) Решаем систему двух уравнений:  л SHg   в gS ( H  h).
H (в   л )
.
6)  h 
в
7) h  0,03 м  3см.
Критерии оценивания:
 Запись условия плавания тел – 1 балл
 Запись формулы нахождения силы тяжести, действующей на льдину
– 2 балла
 Запись формулы нахождения силы Архимеда, действующей на льдину
в воде – 3 балла
 Решение системы двух уравнений – 3балла
 Математические вычисления – 1 балл
9 класс
1. Экспериментатор Глюк наблюдал за встречным движением скорого
поезда и электрички. Оказалось, что каждый из поездов прошел мимо Глюка за
одно и тоже время t1 = 23c. А в это время друг Глюка, теоретик Баг, ехал в
электричке и определил, что скорый поезд прошел мимо него за t2 = 13c. Во
сколько раз отличаются длины поезда и электрички?
Решение.
1) Пусть скорость скорого поезда: 1 , его длина - L1.
2) Для электрички соответственно:  2 , ее длина - L2 .
3) Следовательно: L1  1t1 ; L2  2t1.
4) Скорость сближения поезда и электрички равна сумме их скоростей.
Поэтому: L1  1  2 t 2 .
5) Выразим из (1) уравнения скорость поезда, из (2) – скорость электрички,
подставим в (3).
6) Решая полученное уравнение, найдем отношение длин поезда и электрички:
L1
t
 2  1,3.
L2 t1  t 2
Критерии оценивания:
 Запись уравнения движения скорого поезда – 1 балл
 Запись уравнения движения электрички – 1 балл
 Запись уравнения движения при сближении скорого поезда и электрички –
2 балла
 Решение уравнения движения, запись формулы в общем виде – 5 баллов
 Математические расчеты –1 балл
2. Каково сопротивление цепи при разомкнутом и замкнутом ключе? R1 = R4 =
600 Ом, R2 = R3 = 1,8 кОм.
Решение.
1) При разомкнутом ключе: Ro = 1,2 кОм.
2) При замкнутом ключе: Ro = 0,9 кОм
Эквивалентная схема при замкнутом ключе:




Критерии оценивания:
Нахождение общего сопротивления цепи при разомкнутом ключе – 3 балла
Эквивалентная схема при замкнутом ключе – 2 балла
Нахождение общего сопротивления цепи при замкнутом ключе – 3 балла
Математические вычисления, перевод единиц измерения – 2 балла
3. В калориметр с водой, температура которой t0, бросили кусочек льда,
имевшего температуру 0 оС. После установления теплового равновесия
оказалось, что четверть льда не растаяло. Считая известными массу воды М, ее
удельную теплоемкость с, удельную теплоту плавления льда λ, найдите
начальную массу кусочка льда m.
Решение.
1) Поскольку не весь лед растаял, то после установления теплового
равновесия в калориметре находится и вода, и лед.
2) Это возможно только при температуре плавления льда, значит конечная
температура системы равна 0 оС.
3) Четверть льда не растаяло, значит, растаяло (расплавилось) три четверти
льда.
4) Вода, охладившись до нуля градусов Цельсия, отдает количество теплоты:
Q1  cMt o .
3
4
5) Теплоту, необходимую для плавления, лед получил от воды: Q2  m .
6) Согласно уравнению теплового баланса: Q1  Q2.
3
4
7) Следовательно, cMt o  m.
8)
m
4cMt o
.
3
Критерии оценивания:
 Составление уравнения количества теплоты, отданного холодной водой –
2 балла
 Составление уравнения количества теплоты, необходимого для плавления
льда – 3 балла
 Запись уравнения теплового баланса – 1 балл
 Решение уравнения теплового баланса (запись формулы в общем виде, без
промежуточных вычислений) – 3 балла
 Вывод единиц измерения для проверки расчетной формулы – 1 балл
4. На тетради написано красным карандашом «отлично» и «зеленым» «хорошо». Имеются два стекла – зеленое и красное. Через какое стекло нужно
смотреть, чтобы увидеть слово «отлично»? Свой ответ поясните.
Решение.
1) Если красное стекло поднести к записи красным карандашом, то она не
будет видна, т.к. красное стекло пропускает только красные лучи и весь фон
будет красным.
2) Если же рассматривать запись красным карандашом через зеленое стекло,
то на зеленом фоне мы увидим слово «отлично», написанное черными
буквами, т.к. зеленое стекло не пропускает красные лучи света.
3) Чтобы увидеть слово «отлично» в тетради, нужно смотреть через зеленое
стекло.
Критерии оценивания:
 Полный ответ – 5 баллов
5. Колба из стекла плотностью 2,5 г/см3 вместимостью 1,5 л имеет массу 250 г.
Груз какой массы надо поместить в колбу, чтобы она утонула в воде?
Плотность воды 1 г/см3.
Решение.
1) Чтобы колба утонула в воде, необходимо, чтобы она полностью погрузилась
в воду. Условия плавания колбы: FT  FA .
2) Объем колбы больше ее вместимости на объем стекла, из которого она
изготовлена: V  VB V C.
3) Сила тяжести, действующая на колбу с грузом: FT  mГ  mC g.
4) Сила Архимеда, действующая на колбу при полном погружении: FA   в gV
 FА   в g VB V C .
5) Решаем систему двух уравнений: mГ  mC g =  в g VB V C .
6)  mГ   BV mC .
7) m  1,35кг .
Критерии оценивания:

Запись условия плавания тел – 1 балл
 Запись формулы нахождения силы тяжести, действующей на колбу с
грузом – 2 балла
 Запись формулы нахождения силы Архимеда, действующей на колбу,
погруженную в воду – 3 балла
 Решение системы двух уравнений – 3балла
 Математические вычисления – 1 балл
10 класс
1. Путешественник добирался из города А до города Б сначала на поезде, а
потом на верблюде. Какой была средняя скорость путешественника, если две
трети пути он проехал на поезде, а одну треть пути – на верблюде? Скорость
поезда 90 км/ч, скорость верблюда 15 км/ч.
Решение.
1) Обозначим расстояние между пунктами через s.
Тогда время движения на поезде: t1 
2) Время движения на верблюде: t 2 
s2
2
s1


s
1
2s
.
31
3 2
.
s1  2 2 
2s
s


.
31 3 2
31 2
31 2
s
4) Средняя скорость на всем пути:  ср  s  2     2 .
1
2
1
2
31 2
км
5)  ср  33,75 .
ч
3) На весь путь будет затрачено время: t  t1  t 2 
Критерии оценивания:
 Запись формулы нахождения времени на первом этапе пути – 1 балл
 Запись формулы нахождения времени на втором этапе движения – 1балл
 Нахождение всего времени движения – 3 балла
 Вывод расчетной формулы для нахождения средней скорости (запись
формулы в общем виде, без промежуточных вычислений) – 3 балла
 Математические расчеты – 2 балла.
2. Эскалатор метро поднимает стоящего на нем пассажира за 1мин. Если же
человек будет идти по остановившемуся эскалатору, на подъем уйдет 3 мин.
Сколько времени понадобится на подъем, если человек будет идти по
движущемуся вверх эскалатору?
Решение.
1) l – длина эскалатора, 1 - скорость эскалатора,  2 - скорость пассажира
(эскалатор неподвижен) , t1 – время подъема пассажира на движущемся
эскалаторе, t2 – время подъема человека по неподвижному эскалатору,
t – время подъема движущегося пассажира по движущемуся
эскалатору.
2) Составим уравнения движения для этих случаев: l  1t1 ; l  2t 2 ; l  1  2 t.
3) Решая эту систему уравнений, получим: t 
t1t 2
t1  t 2
4) t = 45c.
Критерии оценивания:
 Составление уравнения движения для пассажира на движущемся
эскалаторе – 1балл
 Составление уравнения движения для пассажира, движущегося на
неподвижном эскалаторе – 1 балл
 Составление уравнения движения для движущегося пассажира, на
движущемся эскалаторе –2 балла
 Решение системы уравнений, нахождение времени движения для
движущегося пассажира на движущемся эскалаторе (вывод расчетной
формулы в общем виде без промежуточных вычислений) – 4 балла
 Математические расчеты – 1 балл
3. В ведре находится смесь воды со льдом общей массой М = 10 кг. Ведро
внесли в комнату и сразу же начали измерять температуру смеси.
Получившаяся зависимость температуры от времени изображена на рисунке.
Удельная теплоемкость воды с = 4200 Дж/(кг оС ). Удельная теплота плавления
льда λ = 340000 Дж/кг. Определите массу льда в ведре, когда его внесли в
комнату. Теплоемкостью ведра пренебречь.
t˚,˚С
3
2
1
20
0
40
60
t, мин
минмиминмин
Решение.
1) Температура смеси начала меняться, когда весь лед растаял, и в ведре
оказалась одна вода.
2) За 10 минут (с 50-й по 60-ю) температура воды увеличилась на 2 оС.
3) Количество теплоты, полученное водой в комнате: QВ  cMt.
4) Лед плавился 50 минут (с 0-й по 50-ю), а значит, и тепла получил в 5 раз
больше: QЛ  5QВ .
5) Найдем массу льда, первоначально находившегося в ведре: m 
6) Следовательно, m 
7)
m  1,2кг .
5сMt

QЛ

.
.
Критерии оценивания:
 Составление уравнения количества теплоты, полученного водой – 2 балла
 Составление уравнения количества теплоты, необходимого для плавления
льда – 3 балла
 Запись уравнения теплового баланса – 1 балл
 Решение системы уравнений (запись формулы в общем виде, без
промежуточных вычислений) – 3 балла
 Математические расчеты – 1 балл
4. Найдите сопротивление цепи, показанной на рисунке.
R
R- ?
2R
R
2R
R
2R
R
2R
2R
2R
Решение:
1) Два правых сопротивления соединены параллельно и вместе дают R.
2) Это сопротивление подсоединено последовательно самому правому
сопротивлению величиной R. Вместе они дают сопротивление величиной 2R.
3) Далее процесс повторяется.
4) Таким образом, двигаясь от правого конца цепи к левому, получим, что
общее сопротивление между входами цепи равно R.
Критерии оценивания:
 Расчет параллельного соединения двух резисторов – 2 балла
 Расчет последовательного соединения двух резисторов – 2 балла
 Эквивалентная схема цепи – 5 баллов
 Математические вычисления – 1 балл
5. В ящик массой М, подвешенный на тонкой нити, попадает пуля массой m,
летевшая горизонтально со скоростью  o , и застревает в нем. На какую высоту
Н поднимается ящик после попадания в него пули?
Решение.
1) Рассмотрим систему: ящик-нить-пуля. Эта система является замкнутой, но в
ней внутренняя неконсервативная сила трения пули о ящик, работа которой не
равна нулю, следовательно, механическая энергия системы не сохраняется.
Выделим три состояния системы:
 Первое – пуля движется со скоростью  o , ящик покоится.
 Второе - пуля застряла в ящике, ящик вместе с ней приобретает некоторую
скорость u; нить вертикальна, т.к. время соударения мало.
 Третье – ящик с пулей внутри поднялся на высоту Н; его скорость равна
нулю.
2) При переходе системы из 1 состояния во 2 ее механическая энергия не
сохраняется.
Поэтому во втором состоянии применяем закон сохранения импульса в
m o
.
проекции на ось Х: pдо  pпосле m o  M  mu  u 
M m
3) Закон сохранения энергии при переходе системы из второго в третье
состояние:
M  mu 2  m  M gH .
2
4) Решая систему уравнений, находим искомую величину
2
u 2  m   o2
H
2g

.

 M  m  2g
Критерии оценивания:
 Выделение трех состояний системы, наличие рисунка к каждому
состоянию – 2 балла
 Запись закона сохранения импульса в проекции на ось Х, решение уравнения
– 2 балла
 Запись закона сохранения механической энергии – 2 балла
 Решение системы двух уравнений – 3 балла
 Вывод единиц измерения – 1 балл
11 класс
1. В ящик массой М, подвешенный на тонкой нити, попадает пуля массой m,
летевшая горизонтально со скоростью  o , и застревает в нем. На какую высоту
Н поднимается ящик после попадания в него пули?
Решение.
1) Рассмотрим систему: ящик-нить-пуля. Эта система является замкнутой, но в
ней внутренняя неконсервативная сила трения пули о ящик, работа которой
не равна нулю, следовательно, механическая энергия системы не
сохраняется.
Выделим три состояния системы:
 Первое – пуля движется со скоростью  o , ящик покоится.
 Второе - пуля застряла в ящике, ящик вместе с ней приобретает некоторую
скорость u; нить вертикальна, т.к. время соударения мало.
 Третье – ящик с пулей внутри поднялся на высоту Н; его скорость равна
нулю.
2) При переходе системы из 1 состояния во 2 ее механическая энергия не
сохраняется.
Поэтому во втором состоянии применяем закон сохранения импульса в
m o
.
проекции на ось Х: pдо  pпосле ; m o  M  mu  u 
M m
3) Закон сохранения энергии при переходе системы из второго в третье
состояние:
M  mu 2  m  M gH .
2
4) Решая систему уравнений, находим искомую величину
2
u 2  m   o2
H
2g

.

 M  m  2g
Критерии оценивания:
 Выделение трех состояний системы, наличие рисунка к каждому
состоянию – 2 балла
 Запись закона сохранения импульса в проекции на ось Х, решение уравнения
– 2 балла
 Запись закона сохранения механической энергии – 2 балла
 Решение системы двух уравнений – 3 балла
 Вывод единиц измерения – 1 балл
2. По условию первой задачи определите количество теплоты, выделившееся
при ударе пули о ящик. Какую часть  составляет это количество теплоты от
первоначальной энергии пули?
Решение.
1) При переходе указанной в задаче №1 системы из первого состояния во
второе выделяется количество теплоты Q, равное со знаком минус
работе сил трения между пулей и ящиком: Q   Aтр.
2) Согласно закону изменения механической энергии: Е к  Ен  Атр  Q .
Отсюда искомое количество теплоты: Q  Ен  Ек.
m o2
, конечная 3) Начальная механическая энергия системы: Ен 
Ек
M  mu
2
2
2

m
,
2M  m
2
2
o
mo2
m 2o2
Mmo2


.
4) Количество теплоты: Q 
2
2M  m 2M  m
5) Определим ту часть механической энергии пули (т.е. первоначальной
энергии системы), которая уходит на нагрев пули и ящика:  
Q
M

.
Eн M  m
Критерии оценивания:
 Составление формулы количества теплоты, равному со знаком минус
работе силы трения между пулей и ящиком – 2 балла
 Запись формулы количества теплоты, выделившегося при ударе пули о ящик
в общем виде – 3 балла
 Решение уравнения количества теплоты, выделившегося при ударе пули о
ящик – 4 балла
 Нахождение части механической энергии пули, которая идет на нагрев пули
и ящика – 1 балл
3. На какой глубине h находился пузырек воздуха, если в процессе его
всплытия на поверхность воды его радиус успел увеличиться в n = 2 раза?
Атмосферное давление 100 кПа, плотность воды 1000 кг/м3. Температуру воды
считать постоянной.
Решение.
1) Считаем, что температура воздуха внутри пузырька не меняется, т.е.
он вплывает достаточно медленно, тогда справедлив закон БойляМариотта: p1V 1 p2V2.
2) Давление воздуха внутри пузырька на глубине h равно сумме атмосферного
и гидростатического давлений: p1  p  gh.
3) Давление на поверхности воды равно атмосферному давлению: p2  p.
4
3
4
3
3
3
4) Начальный объем пузырька: V1  R1 . Конечный - V2  R2 .
3
3
5) Подставим, получим:  p  gh  R1  p  R2 .
4
3
6) С учетом условия
R2
 n  2, получим: p  gh  p  n 3 .
R1
7) Отсюда искомая глубина: h 






4
3


p n3  1
 70 м.
g
Критерии оценивания:
Запись уравнения закона Бойля-Мариотта – 1 балл
Запись уравнения давления воздуха на глубине h – 1 балл
Запись уравнения давления воздуха на поверхности воды – 1 балл
Формулы начального и конечного объемом пузырьков – 2 балла
Вывод расчетной формулы в общем виде – 4 балла
Математические расчеты – 1 балл
4. Найдите ЭДС и внутреннее сопротивление аккумулятора, если при силе тока
15А он отдает во внешнюю цепь мощность 135 Вт, а при токе 6А – мощность
64,6 Вт.
Решение.
1) Воспользуемся соотношением для полезной мощности: P  I  I 2 r , где I полная мощность, а I 2 r - потери мощности в источнике.
P1  I1  I12 r
2) Тогда имеем систему уравнений:
P2  I 2  I 22 r
P2 I12  P1 I 22


 12 В.
3) Решая систему уравнений, получаем:
I 1 I 2 I 1  I 2 
4) Умножим (1) на I 2 , а (2) на I1 , а затем вычтем и получим:
r
P2 I1  P1 I 2
 0,2Ом.
I 1 I 2 I 1  I 2 
Критерии оценивания:
 Уравнение для полезной мощности – 1 балл
 Составление системы уравнений – 2 балла
 Решение системы уравнений, вывод формулы в общем виде – 3 балла
 Нахождение внутреннего сопротивления источника тока – 3 балла
 Математические вычисления – 1 балл
5. Непроводящая отрицательно заряженная пластина, создающая вертикально
направленное однородное электрическое поле напряженностью 10 4 В/м,
укреплена горизонтально. На нее с высоты 10 см падает шарик массой 20 г,
имеющий положительный заряд 10-5 Кл. Какой импульс шарик передает
пластине при абсолютно упругом ударе?
Решение.
1) Поскольку пластина заряжена отрицательно, напряженность поля над ней
направлена вертикально вниз, поэтому при падении шарика на него


действуют две сонаправленные силы: сила тяжести mg и электрическая qE .
2) Перемещая шарик на расстояние h, они совершают работу: A  mg  qE h,
что по теореме о кинетической энергии приводит к приобретению конечной
скорости  : A  Eк .
2mg  qE h
m 2
,и  
.
3) mg  qE h 
2
m
4) При абсолютно упругом ударе скорость шарика не изменится по модулю, но
изменится по направлению на противоположное, что соответствует изменению

импульса, по модулю равного: p  2m.
5) Такой импульс он и передаст пластине: p  2 2mmg  qE h  0,07
кг  м

с
Критерии оценивания:
 Запись второго закона Ньютона в векторной форме – 1 балл
 Запись формулы работы сил – 1 балл
 Запись теоремы о кинетической энергии - 1 балл
 Решение системы уравнений – 3 балла
 Нахождение импульса, переданного телом, вывод формулы в общем виде – 2
балла
 Вывод единиц измерения – 1 балл
Математические вычисления – 1 б